羅素悖論研究進(jìn)展

杜國平

（中國社會科學(xué)院哲學(xué)研究所，北京 100732）

一、羅素悖論概述

20世紀(jì)之初，數(shù)學(xué)界甚至整個科學(xué)界籠罩在一片喜悅祥和的氣氛之中，科學(xué)家們普遍認(rèn)為，數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性已經(jīng)達(dá)到，科學(xué)大廈已經(jīng)基本建成。例如，德國物理學(xué)家基爾霍夫（G.R.Kirchhoff）就曾經(jīng)說過：“物理學(xué)將無所作為了，至多也只能在已知規(guī)律的公式的小數(shù)點(diǎn)后面加上幾個數(shù)字罷了?！庇锢韺W(xué)家開爾文（L.Kelvin）在1900年回顧物理學(xué)的發(fā)展時也說：“在已經(jīng)基本建成的科學(xué)大廈中，后輩物理學(xué)家只能做一些零碎的修補(bǔ)工作了?！盵1]313法國大數(shù)學(xué)家彭迦萊（Poincaré）在1900年的國際數(shù)學(xué)家大會上也公開宣稱，數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性，現(xiàn)在看來可以說是實(shí)現(xiàn)了[2]94。然而好景不長，時隔不到兩年，科學(xué)界就發(fā)生了一件大事，這件大事就是羅素（Russell）悖論的發(fā)現(xiàn)。

所謂羅素悖論指的是由羅素發(fā)現(xiàn)的一個集合論悖論。其基本思想是：對于任意一個集合A，A要么是自身的元素，即A∈A；A要么不是自身的元素，即A?A。根據(jù)唐托爾（Cantor）素樸集合論的概括原則，可將所有不是自身元素的集合構(gòu)成一個集合S1，即S1={x：x?x}?，F(xiàn)在問：集合S1是否是自身的元素？假設(shè)S1是自身的元素，因?yàn)镾1的每個元素都不是自身的元素，所以可以得出S1不是自身的元素，這與假設(shè)相矛盾；假設(shè)S1不是自身的元素，由集合S1的構(gòu)造可知，對于任一集合，如果它不是自身的元素，那么它就是集合S1的一個元素，這樣就得出S1又是自身的一個元素，這也與假設(shè)相矛盾。S1或者是自身的元素，或者不是自身的元素，總之都得出矛盾，這就是著名的羅素悖論。

羅素悖論還可以更為簡練地表述如下：根據(jù)概括原則可構(gòu)造集合S1={x：x?x}；根據(jù)集合的定義可知，對于任意x，x∈S1當(dāng)且僅當(dāng)x?x；根據(jù)經(jīng)典二值邏輯由此可得，對于集合S1，S1∈S1當(dāng)且僅當(dāng)S1?S1，由此進(jìn)一步可得，S1∈S1而且 S1?S1，矛盾。

為了讓學(xué)者們更容易理解，羅素還設(shè)計構(gòu)造了羅素悖論的通俗版“理發(fā)師悖論”：趙家莊有兩類人，一類人自己給自己理發(fā)，另一類人自己不給自己理發(fā)。趙家莊的理發(fā)師阿桂給自己定了一個規(guī)矩：給且只給趙家莊自己不給自己理發(fā)的人理發(fā)。那么，阿桂給不給自己理發(fā)呢？假設(shè)阿桂給自己理發(fā)，那么他屬于自己給自己理發(fā)的那類人，根據(jù)他的規(guī)矩，他不應(yīng)該給自己理發(fā)，這和假設(shè)矛盾；假設(shè)阿桂不給自己理發(fā)，那么他屬于自己不給自己理發(fā)的那類人，根據(jù)他的規(guī)矩，他又應(yīng)該給自己理發(fā)，這也與假設(shè)矛盾。他或者給自己理發(fā)，或者不給自己理發(fā)，總之都陷入矛盾。

“理發(fā)師悖論”是很容易解決的，解決的辦法之一就是修正理發(fā)師的規(guī)矩，將他自己排除在規(guī)矩之外；可是嚴(yán)格的羅素悖論就不是這么容易解決的了。

羅素悖論其推理的前提是如此的簡單明了，這些前提為當(dāng)時的科學(xué)界所公認(rèn)；其推理的過程也是如此的清楚嚴(yán)密，無懈可擊；可是推理的結(jié)果卻是如此的不能接受，竟然是一對矛盾。這在當(dāng)時的學(xué)術(shù)界造成了極大的震動。因?yàn)閿?shù)學(xué)與邏輯一向被認(rèn)為是嚴(yán)密學(xué)科的典范，而現(xiàn)在竟然出現(xiàn)了悖論，這直接沖擊著理性的根基，人們不禁反思：我們是否可以理性地思考？或者更準(zhǔn)確地說，人類是否可以一致地、無矛盾地進(jìn)行理性的思考？數(shù)學(xué)甚至整個科學(xué)還有合理性嗎？德國偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特（David Hilbert）慨嘆：“如果連數(shù)學(xué)思維都是不可靠的，那么到何處還能找到真理和必然性呢？”

羅素悖論發(fā)現(xiàn)之后，包括羅素本人在內(nèi)的眾多學(xué)界精英都投入到了解決悖論的研究之中，產(chǎn)生了眾多的解決悖論的方案，這種研究一直持續(xù)到21世紀(jì)的今天。即使在當(dāng)下，關(guān)于羅素悖論的研究仍然是邏輯學(xué)界日久彌新的問題之一。

本文不打算對各種解決悖論的方案作深入、細(xì)致的梳理評析，本文主要打算做兩個方面的工作：一是從悖論的形式構(gòu)造的角度來探究羅素悖論形成的內(nèi)在原因；二是回答一個問題，就是羅素悖論是否是由邏輯系統(tǒng)造成的。

二、形式構(gòu)造方面的探究進(jìn)路

（一）羅素悖論所顯示的悖論結(jié)構(gòu)

羅素悖論的造集謂詞是“x?x”，其中涉及兩個關(guān)鍵的要素：循環(huán)（x∈x）和否定（「），有人據(jù)此認(rèn)為，正是循環(huán)和否定造成了悖論。顯然，循環(huán)和否定都不是造成悖論的充分條件。那么，循環(huán)和否定是否是構(gòu)成集合論悖論的必要條件呢？對于這個問題，可能有兩種結(jié)果：如果所構(gòu)造的任一集合論悖論都與循環(huán)和否定有關(guān)，則說明循環(huán)和否定是構(gòu)成集合論悖論的必要條件；如果所構(gòu)造的某些集合論悖論與循環(huán)和否定無關(guān)，則說明循環(huán)和否定不是構(gòu)成集合論的必要條件。

（二）寇里悖論所顯示的悖論結(jié)構(gòu)

寇里（Haskell B Curry）悖論是寇里在1942年提出來的[3]124～128?？芾镢Ｕ摰募险摪姹究梢愿攀鰹椋焊鶕?jù)概括原則，可構(gòu)造一集合K={x：x∈x→p}，其中p為任一命題。根據(jù)集合定義和經(jīng)典二值邏輯依次可得：

（1）（K∈K）?（K∈K→p） 根據(jù)集合 K的定義

（2）（K∈K）→（K∈K→p） 根據(jù)（1）

（3）（K∈K→p）→（K∈K） 根據(jù)（1）

（4）（（K∈K）→（K∈K→p））→（K∈K→p） 收縮律

（5）K∈K→p （2）、（4）分離

（6）K∈K （3）、（5）分離

（7）p （5）、（6）分離

這樣就得出了矛盾。

寇里悖論的造集謂詞是“x∈x→p”，其中只涉及循環(huán)（x∈x），但是不涉及否定，這就從結(jié)構(gòu)上揭示出一個重要結(jié)果，否定不是造成悖論的必要條件。

（三）沈有鼎悖論所顯示的悖論結(jié)構(gòu)

我國學(xué)者沈有鼎先生于1953年發(fā)表了三個著名的悖論，即“有根據(jù)集悖論”、“非循環(huán)集悖論”和“非n 循環(huán)集悖論”[4]114。

1.有根據(jù)集悖論。

對于任一集合x，如果存在“∈”關(guān)系的無窮鏈，即存在xi（i=1，2，3，……），使得

則稱x為無根據(jù)集；否則，稱x為有根據(jù)集。

根據(jù)概括原則，可構(gòu)造一集合S2={x：x為有根據(jù)集}。對于任一集合x，x要么是有根據(jù)集，要么是無根據(jù)集。那么問S2是有根據(jù)集，還是無根據(jù)集？

假設(shè) S2是有根據(jù)集，根據(jù) S2的定義可知，S2∈S2，因此可有…∈S2∈S2∈S2∈S2∈S2，根據(jù)無根據(jù)集定義可知，S2是無根據(jù)集，這與假設(shè)矛盾。假設(shè)S2是無根據(jù)集，根據(jù)無根據(jù)集的定義可知，存在xi（i=1，2，3，……），使得…∈xn∈xn-1∈…∈x2∈x1∈S2，這樣對于 x1有：…∈xn∈xn-1∈…∈x2∈x1，根據(jù)無根據(jù)集定義，可知x1為無根據(jù)集；但是另一方面，x1∈S2，根據(jù)S2的定義可知，x1為有根據(jù)集，這又得出了矛盾。不論S2是有根據(jù)集還是無根據(jù)集，都得出矛盾。這就是“有根據(jù)集悖論”。

2.非循環(huán)集悖論。

對于任一集合x，如果存在xi（i=1，2，3，…，n），其中n為任一正整數(shù)，使得

則稱x為循環(huán)集；否則，稱x為非循環(huán)集。

根據(jù)概括原則，可構(gòu)造一集合S3={x：x為非循環(huán)集}。對于任一集合x，x要么是循環(huán)集，要么是非循環(huán)集。那么問S3是循環(huán)集，還是非循環(huán)集？

假設(shè)S3是循環(huán)集，根據(jù)循環(huán)集的定義可知，存在xi（i=1，2，3，…，n），其中n為任一正整數(shù)，使得S3∈xn∈xn-1∈…∈x2∈x1∈S3，這樣對于 x1有：x1∈S3∈xn∈xn-1∈…∈x2∈x1，根據(jù)循環(huán)集定義可知，x1為循環(huán)集；但是另一方面，x1∈S3，根據(jù)S3的定義可知，x1為非循環(huán)集，矛盾。假設(shè)S3是非循環(huán)集，根據(jù)S3的定義可知，S3∈S3，因此可有S3∈S3∈S3，根據(jù)循環(huán)集定義可知，S3為循環(huán)集，這也與假設(shè)矛盾。不論S3是循環(huán)集還是非循環(huán)集，都得出矛盾。這就是“非循環(huán)集悖論”。

3.非n循環(huán)集悖論。

對于任一集合x，如果存在xi（i=1，2，3，…，n），其中n為一確定的正整數(shù)，使得

則稱x為n循環(huán)集；否則，稱x為非n循環(huán)集。

根據(jù)概括原則，可構(gòu)造一集合S4={x：x為非n循環(huán)集}。對于任一集合x，x要么是n循環(huán)集，要么是非n循環(huán)集。那么問S4是n循環(huán)集，還是非n循環(huán)集？

假設(shè)S4是n循環(huán)集，根據(jù)n循環(huán)集的定義可知，存在xi（i=1，2，3，…，n），其中n為一確定的正整數(shù)，使得 S4∈xn∈xn-1∈…∈x2∈x1∈S4，這樣對于 x1有：x1∈S4∈xn∈xn-1∈…∈x2∈x1，根據(jù) n 循環(huán)集定義可知，x1為n循環(huán)集；但是另一方面，x1∈S4，根據(jù)S4的定義可知，x1為非n循環(huán)集，矛盾。假設(shè)S4是非n循環(huán)集，根據(jù)S4的定義可知，S4∈S4，因此可有S4∈…∈S4∈S4（共有n+2個S4），根據(jù)n循環(huán)集定義可知，S4為n循環(huán)集，這也與假設(shè)矛盾。不論S4是n循環(huán)集還是非n循環(huán)集，都得出矛盾。這就是“非n循環(huán)集悖論”。

假設(shè)將x∈x稱之為“羅素循環(huán)”，顯然如果一個集合S是羅素循環(huán)集，那么S一定也是1循環(huán)集，因?yàn)榧热挥衳∈x，那么當(dāng)然有x∈x∈x；同理，S一定也是2循環(huán)集、3循環(huán)集、…、n循環(huán)集、n+1循環(huán)集……

由上述討論可知：如果一個集合S是n循環(huán)集，那么S一定是循環(huán)集；如果一個集合S是循環(huán)集，那么S一定也是無根據(jù)集。因此，可以有下述重要結(jié)論：

如果S是有根據(jù)集，那么S一定也是非循環(huán)集；

如果S是非循環(huán)集，那么S一定也是非n循環(huán)集；

如果S是非n循環(huán)集，那么S一定也是非羅素循環(huán)集。簡言之，可以有如下結(jié)果：

從這一結(jié)果可以看出，沈有鼎先生巧妙地將非羅素循環(huán)集縮小為非n循環(huán)集，再將非n循環(huán)集縮小為非循環(huán)集，最后進(jìn)一步將非循環(huán)集縮小為有根據(jù)集。而有根據(jù)集是不涉及循環(huán)的，這就從結(jié)構(gòu)上揭示出一個重要結(jié)果，循環(huán)不是造成悖論的必要條件。這是沈有鼎悖論最重要的理論價值所在。

但是有根據(jù)集涉及否定，因?yàn)橛懈鶕?jù)是對無根據(jù)集的否定。所以，沈有鼎悖論沒有回答否定是否是造成悖論的必要條件。

（四）等值悖論所顯示的悖論結(jié)構(gòu)

等值悖論是杜國平在2007年提出來的[5]376～379。等值悖論可以概述為：根據(jù)概括原則，可構(gòu)造一集合D={x：x∈x?p}，其中p為任一命題。根據(jù)集合定義和經(jīng)典二值邏輯依次可得：

（1）（D∈D）?（D∈D?p） 根據(jù)集合 D 的定義

（2）（（D∈D）?（D∈D?p））?p 根據(jù)經(jīng)典二值邏輯

（3）p （1）、（2）等值替換

這樣就得出了矛盾。

等值悖論的特點(diǎn)是非常簡潔，其涉及的邏輯規(guī)則也非常有限。等值悖論的造集謂詞是“x∈x?p”，和寇里悖論一樣，其中只涉及循環(huán)（x∈x），而不涉及否定。但是寇里悖論的構(gòu)造依賴于一個關(guān)鍵的連接詞“蘊(yùn)涵”，而當(dāng)將蘊(yùn)涵式“A→B”理解為“非A，或者B”的時候，否定又回來了，因此，有學(xué)者對寇里悖論的無否定語言環(huán)境是持保留意見的。而“等值”是一個非常直觀的概念，它并不一定需要由否定來定義，所以，等值悖論更加嚴(yán)格地昭示了寇里悖論所要顯示的結(jié)果：無否定的語言環(huán)境仍然可能產(chǎn)生悖論，即否定不是造成悖論的必要條件。

三、邏輯系統(tǒng)方面的探究進(jìn)路

簡單梳理一下，就可以發(fā)現(xiàn)羅素悖論的基本架構(gòu)是：

[集合論的基本定義]+[概括原則]+[經(jīng)典二值邏輯]?矛盾

顯然，要排除悖論，至少要否定[集合論的基本定義]、[概括原則]、[經(jīng)典二值邏輯]這三者之一。不同的邏輯學(xué)家基于各自的思考提出了不同的解決方案。本節(jié)不打算對此作詳細(xì)的探討和分析，只打算回答一個問題，即羅素悖論是否是由邏輯系統(tǒng)造成的。

（一）二值邏輯方案

由羅素悖論的推理結(jié)構(gòu)可以看出，經(jīng)典二值邏輯是其推理的三要素之一，所以，從理論上講，經(jīng)典二值邏輯是造成悖論的三個嫌疑犯之一。于是人們嘗試使用其他的邏輯系統(tǒng)作為推理工具是否可以避免羅素悖論。

（二）n（3≤n＜ω）值邏輯方案

20世紀(jì)30年代，蘇聯(lián)邏輯學(xué)家波契娃爾（Bochvar）提出三值邏輯方案，以其建立的三值邏輯系統(tǒng)作為集合論的推理工具，試圖以此來擺脫羅素悖論的困擾。

但是20世紀(jì)50年代，我國邏輯學(xué)家莫紹揆的一項(xiàng)研究成果從根本上宣告了這一方案的不可行[6]37～40。下面我們來概述一下莫紹揆的研究工作：首先遞歸定義一個符號（p→）nq：

（p→）1q指的是p→q

（p→）nq指的是 p→（（p→）n-1q）

莫紹揆證明了如下三個重要命題：

命題1設(shè)Φ為任一推理系統(tǒng)。若Φ滿足下列條件：

（1）概括原則成立；

（2）分離規(guī)則成立，即 p，p→q├q；

（3）同一律成立，即 p→p；

（4）收縮規(guī)則成立，即（p→）nq├（p→）n-1q。則在推理系統(tǒng)Φ中一定包含悖論。

命題2在盧卡西維茨（Lukasiewicz）的有窮值邏輯系統(tǒng)?n（3≤n＜ω）中，下列規(guī)則成立：（1）分離規(guī)則成立，即 p，p→q├q；

（2）同一律成立，即 p→p；

（3）收縮規(guī)則成立，即（p→）np├（p→）n-1q。

命題3概括原則配以盧卡西維茨的有窮值邏輯系統(tǒng)?n（3≤n＜ω）作為邏輯推理工具，則必然導(dǎo)致悖論。

莫紹揆的工作證明，在保留概括原則和素樸集合論的有關(guān)定義的前提下，以有窮值邏輯（包括三值邏輯）替代經(jīng)典二值邏輯作為推理工具是無法避免悖論的。

（三）無窮值邏輯方案

在無窮值邏輯??0中，收縮規(guī)則（p→）nq├（p→）n-1q不成立。因此，莫紹揆的證明結(jié)果不適用于無窮值邏輯的情況。

那么，在保留概括原則和素樸集合論的有關(guān)定義的前提下，以無窮值邏輯替代經(jīng)典二值邏輯作為推理工具是否可以避免悖論呢？

答案也是否定的。這項(xiàng)工作是由我國學(xué)者鄭毓信、肖奚安和朱梧槚等人在1985年完成的，他們證明了如下的命題，給出了這一問題的否定性回答[7]。

命題4設(shè)Φ為任一數(shù)學(xué)系統(tǒng)。若Φ滿足下列條件：

（1）概括原則成立；

（2）分離規(guī)則成立，即 p，p→q├q；

（3）同一律成立，即 p→p；

（4）如果 A1，A2，…，An，…均為集合，則為一集合；

（5）包含一個自然數(shù)系統(tǒng) N={1，2，3，…，n，…}。

則在數(shù)學(xué)系統(tǒng)Φ中一定包含悖論。

該命題中的條件（1），是假定可以接受的；條件（2）、（3）是兩條基本的邏輯原則，在推理能力較為充分的邏輯系統(tǒng)中（包括無窮值邏輯）都是成立的；條件（4）、（5）也是為一般集合論所具有的。因此，上述命題的結(jié)論是非常具有一般性的。這宣告了即使配以無窮值邏輯系統(tǒng)作為推理工具，概括原則仍然可能導(dǎo)致悖論。

（四）任意值邏輯方案

以上，我們基本上展示了在保留概括原則和集合論基本定義的前提下，通過修正邏輯系統(tǒng)而避免悖論的探索歷程，遺憾的是，最終的結(jié)果是否定性的。

2008年，杜國平通過一個更為一般的方法，證明了在保留概括原則和集合論基本定義的前提下，配以任意值邏輯系統(tǒng)作為推理工具都將導(dǎo)致悖論。

其證明的基本思路是：

1.任給一任意值邏輯系統(tǒng)Q，都可以定義出一類類似于經(jīng)典二值邏輯系統(tǒng)中的否定、蘊(yùn)涵和等值等連接詞，我們可以稱之為強(qiáng)經(jīng)典否定、強(qiáng)經(jīng)典蘊(yùn)涵和強(qiáng)經(jīng)典等值。為了方便，我們?nèi)匀豢梢允褂贸Ｓ梅枴浮ⅰ?來表示。

假定在任意值邏輯系統(tǒng)Q的模型M中，M為其值域，D為其特征值域，D≠?，D?M。對于任意公式A和B，V為模型M上的一個賦值，定義：

V（「A）∈D 當(dāng)且僅當(dāng) V（A）?D；

V（A→B）∈D 當(dāng)且僅當(dāng) V（A）?D或者 V（B）∈D；

V（A?B）∈D 當(dāng)且僅當(dāng) V（A）∈D并且 V（B）∈D，或者 V（A）?D并且 V（B）?D。

顯然，在任意n（n＞2）值邏輯中滿足上述定義的強(qiáng)經(jīng)典否定、強(qiáng)經(jīng)典蘊(yùn)涵和強(qiáng)經(jīng)典等值不是一個，而是一類。

2.在任意值邏輯系統(tǒng)Q中，可以證明下列定理：

定理 1A，A→B╞B。

定理2下列公式都是有效式：

（1）（A? 「A）→B

（2）（A?（A→B））→B

（3）（A?（A?B））→B

3.在任意值邏輯系統(tǒng)Q中，可以證明下列定理：

定理3在任意值邏輯系統(tǒng)Q中，取造集性質(zhì)為“ 「（x∈x）”，由概括原則將導(dǎo)致悖論。

定理4在任意值邏輯系統(tǒng)Q中，取造集性質(zhì)為“x∈x→B”，由概括原則將導(dǎo)致悖論。

定理5在任意值邏輯系統(tǒng)Q中，取造集性質(zhì)為“x∈x?B”，由概括原則將導(dǎo)致悖論。這三條定理說明，在保留概括原則和集合論基本定義的前提下，配以任意值邏輯系統(tǒng)作為推理工具都至少有三種方式可以導(dǎo)致悖論。

綜上所述，在構(gòu)成羅素悖論的三個推理要素中，要想通過修正邏輯系統(tǒng)來避免悖論是不可能的；這也恰恰可以說明，導(dǎo)致悖論的原因不在于邏輯系統(tǒng)，問題可能出在概括原則或者集合論的基本定義上。

最后，應(yīng)該指出，在當(dāng)今邏輯學(xué)界仍然活躍著兩個勢頭正盛的通過修正經(jīng)典二值邏輯來避免悖論的研究模式，一個是美國邏輯學(xué)家菲爾德（Hartry Field）的弗完全邏輯系統(tǒng)[8]，另一個是澳大利亞邏輯學(xué)家普利斯特（Graham Priest）的弗協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)[9]。需要說明的一點(diǎn)是，本文作者的研究結(jié)論并不否定邏輯學(xué)界的這兩項(xiàng)最新的悖論研究成果。這是因?yàn)?，本文作者的研究結(jié)論基于的是函數(shù)完全的邏輯系統(tǒng)，而他們兩位邏輯系統(tǒng)中所定義的算子都不是我們所定義的強(qiáng)經(jīng)典算子。

[1] 林德宏.科學(xué)思想史[M].南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，1985.

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