統(tǒng)計(jì)學(xué)中參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)拒絕域的確定

楊 剛

（陜西理工學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 漢中723000）

0 引言

同數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材相比，一般統(tǒng)計(jì)學(xué)教材中假設(shè)檢驗(yàn)的方法和步驟常常顯得十分簡潔、直觀，但這樣做的缺點(diǎn)也很明顯：一些數(shù)學(xué)推理過程被屏蔽起來，解題過程十分抽象、步驟間跨度較大，推理不清晰。這樣的教材對非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)和非數(shù)學(xué)專業(yè)的教師、學(xué)生而言無疑大大加重了他們講解、學(xué)習(xí)這門課程的難度，使他們感到假設(shè)檢驗(yàn)的過程十分抽象，令人困惑。因此在教學(xué)過程中，把這些被許多統(tǒng)計(jì)學(xué)教材沒有涉及到的推理內(nèi)容搞清楚是十分必要的。

1 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想

1.1 假設(shè)檢驗(yàn)采用的邏輯推理方法是反證法

為了檢驗(yàn)?zāi)臣僭O(shè)是否成立，先假定它正確，然后根據(jù)樣本信息，觀察由此假設(shè)而導(dǎo)致的結(jié)果是否合理，從而判斷是否接受原假設(shè)。

假設(shè)檢驗(yàn)使用了一種類似于“反證法”的推理方法，它的特點(diǎn)是[1]：

（1）先假設(shè)總體某項(xiàng)假設(shè)成立，計(jì)算其會(huì)導(dǎo)致什么結(jié)果產(chǎn)生。若導(dǎo)致不合理現(xiàn)象產(chǎn)生，則拒絕原先的假設(shè)。若并不導(dǎo)致不合理的現(xiàn)象產(chǎn)生，則不能拒絕原先假設(shè)，從而“接受”原先假設(shè)。

（2）它又不同于一般的反證法。所謂不合理現(xiàn)象產(chǎn)生，并非指形式邏輯上的絕對矛盾，而是基于小概率原理。

1.2 進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理是小概率原理[2]

小概率原理是指發(fā)生概率很小的隨機(jī)事件在一次實(shí)驗(yàn)或個(gè)別實(shí)驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的。如果在原假設(shè)成立的前提下發(fā)生了小概率事件，則認(rèn)為原假設(shè)是不合理的；反之，如果小概率事件沒有發(fā)生，則沒有證據(jù)拒絕原假設(shè)。

假設(shè)檢驗(yàn)是基于樣本資料來推斷總體特征的，而這種推斷是在一定概率置信度下進(jìn)行的，而非嚴(yán)格的邏輯證明。因此，置信度大小的不同，有可能做出不同的判斷。

2 雙側(cè)檢驗(yàn)拒絕域的確定

在雙側(cè)檢驗(yàn)問題中，一般統(tǒng)計(jì)學(xué)教材中的解題步驟簡潔、清晰，但推理過程含混、抽象，甚至一些推理略而不提。不妨以一個(gè)總體的總體均值和正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)為例。

2.1 總體均值的雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)

例1：某機(jī)床廠加工一種零件，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，該廠加工零件的橢圓度近似服從正態(tài)分布，其總體均值為μ0＝0.081mm。今換一種新機(jī)床進(jìn)行加工，抽取n＝200個(gè)零件進(jìn)行檢驗(yàn)，得到的橢圓度均值為0.076mm，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s＝0.025mm。問新機(jī)床加工零件的橢圓度的均值與以前有無顯著差異[2]？（α＝0.05）。

許多統(tǒng)計(jì)學(xué)教材中對此題的求解過程如下：解：H0：μ＝0.081，認(rèn)為新舊機(jī)床加工零件的橢圓度的均值沒有顯著差異；

H1：μ≠0.081，認(rèn)為新舊機(jī)床加工零件的橢圓度的均值有顯著差異；

由題意可知這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)問題，拒絕域應(yīng)該在抽樣分布曲線的左、右尾部，如圖1所示。

由題意可知，μ0＝0.081mm，s＝0.025mm，＝0.076mm，n＝200。由于大樣本，故可以用z統(tǒng)計(jì)量。

在顯著性水平α＝0.05下，拒絕H0，認(rèn)為新舊機(jī)床加工零件的橢圓度的均值有顯著差異。

圖1 雙側(cè)檢驗(yàn)示意圖

在上述解法中，為什么本題是雙側(cè)檢驗(yàn)而不是左單側(cè)檢驗(yàn)或右單側(cè)檢驗(yàn)，因其講述不清，沒有令人可信的數(shù)學(xué)推理過程，因此很有必要把上面解題過程中為什么采用雙側(cè)檢驗(yàn)的原因搞清楚。

由于要檢驗(yàn)的假設(shè)涉及總體均值，故可借助于樣本均值來判斷。因?yàn)槭铅痰臒o偏估計(jì)量。所以，若H0為真，則不應(yīng)太大，又1），故衡量的大小可歸結(jié)為衡量的大小[3]。于是可以選定一個(gè)適當(dāng)?shù)恼龜?shù)k，當(dāng)觀察值滿足時(shí)，拒絕假設(shè)H0。反之，當(dāng)觀察值滿足時(shí)，接受假設(shè)H0。因?yàn)楫?dāng)H0為真時(shí)），由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)的定義：

令k＝zα／2，當(dāng)時(shí)，拒絕 H0；當(dāng)時(shí)，不拒絕H0。

這就是一般統(tǒng)計(jì)學(xué)教材中進(jìn)行雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)沒有涉及到的內(nèi)容（甚至一些數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材中也沒有涉及到）。

2.2 正態(tài)總體方差的雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)

設(shè)總體 X ～ N（μ，σ2），其中μ、σ2均未知，X1，X2，…，Xn為來自總體X的樣本（樣本容量為n），由樣本可以計(jì)算出樣本方差為s2。（已知顯著性水平為α）

如果遇到如下的雙側(cè)檢驗(yàn)問題：H0：σ2＝，H1：σ2≠，其中σ0為已知常數(shù)。

由于s2是σ2的無偏估計(jì)，則當(dāng)H0為真時(shí)，比值在1的附近擺動(dòng)，此值不應(yīng)該過分大于1或者過分小于1。由抽樣分布的相關(guān)定理可知：

當(dāng)H0為真時(shí)取作為統(tǒng)計(jì)量則拒絕域的形式為：

P（當(dāng) H0為 真， 拒 絕為了計(jì)算方便，習(xí)慣上取由χ2分位數(shù)的定義得：

又因?yàn)閚＝26，α＝0.02，由題意可用χ2檢驗(yàn)。查表 可 得（n － 1）＝（25）＝ 44.314，（n－1）＝（25）＝11.524，故拒絕域?yàn)椋?/p>

在上述推理的基礎(chǔ)上，關(guān)于正態(tài)總體方差的雙側(cè)檢驗(yàn)問題常常在統(tǒng)計(jì)學(xué)教材中就可以按照下列例2所示的簡潔過程進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。這也是統(tǒng)計(jì)學(xué)教材中強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計(jì)方法的具體應(yīng)用，淡化推理推導(dǎo)的思想的具體體現(xiàn)。

例2：某廠生產(chǎn)的某種型號(hào)的電池，其壽命長期以來服從方差σ2＝5 000（h2）的正態(tài)分布，現(xiàn)有一批這種電池，從它的生產(chǎn)情況來看，壽命的波動(dòng)性有所變化?，F(xiàn)隨機(jī)取26只電池，測出其壽命的樣本方差s2＝9 200（h2）。問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動(dòng)性較以往的有顯著的變化？（α＝0.02）

解：由題意：H0：σ2＝5 000，H1：σ2≠5 000，

3 單側(cè)檢驗(yàn)拒絕域的確定

不妨以一個(gè)總體的總體均值的右單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)為例。

例3：某工廠生產(chǎn)的一種電子元件，在正常情況下，其使用壽命X（h）服從正態(tài)分布 N（2 500，1202）。某日從該廠生產(chǎn)的一批這種電子元件中隨機(jī)抽取16個(gè)，測得樣本均值假定電子元件壽命的方差不變，問能否認(rèn)為該日生產(chǎn)的這批電子元件的壽命均值不小于2 500（h）？（α＝0.05）

首先分析問題：由題意可以設(shè)計(jì)原假設(shè)和備擇假設(shè)如下：

H0：μ≥2 500；H1：μ＜2 500，這里μ0＝2 500，σ0＝120。又由抽樣分布的相關(guān)定理可選z＝作為統(tǒng)計(jì)量。又因?yàn)槭铅痰臒o偏估計(jì)，當(dāng)H0成立時(shí)大一些較為合理，它較小就不合理了，因此較小是小概率事件。如果記P（z＜b）＝α，但是，由于μ≥μ0。因此，μ0不是正態(tài)總體的均值，從而z的分布未知，在此我們無法求得b值。為此，再另選一個(gè)統(tǒng)計(jì)量它服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。當(dāng)H0成立時(shí)，有z＊≤z，于是有：P（z＜b）≤P（z＊＜b），這表明事件（z＜b）是比事件（z＊＜b）發(fā)生的概率還要小的小概率事件[4]。因此，只要令P（z＊＜b）＝α，由于z＊服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，查表得b＝－zα，從而有：P（z＜－zα）≤α，于是H0的拒絕域?yàn)椋簔＜－zα。

在上述推理的基礎(chǔ)上，許多統(tǒng)計(jì)學(xué)教材上的解法如下：

解：H0：μ≥2 500，認(rèn)為該日生產(chǎn)的這批電子元件的壽命均值不顯著小于2 500（h）；

H1：μ＜2 500，認(rèn)為該日生產(chǎn)的這批電子元件的壽命均值顯著小于2 500（h）；

又因?yàn)椋害?＝2 500，σ0＝120，n＝16，故可以采用z統(tǒng)計(jì)量

又因?yàn)轱@著性水平α＝0.05，查表得zd＝z0.05＝1.645，此 時(shí)－2.17，故z＜－zα，于是拒絕H0，接受H1。即認(rèn)為該日生產(chǎn)的這批電子元件的壽命均值μ顯著小于2 500（h）。

對于一個(gè)總體參數(shù)的其他假設(shè)檢驗(yàn)問題可以按照類似的方法進(jìn)行推理，此處不再贅述。

4 結(jié)語

假設(shè)檢驗(yàn)是推斷統(tǒng)計(jì)的重要內(nèi)容之一，對它進(jìn)行深入的理解和掌握是十分重要的。但由于現(xiàn)行的許多統(tǒng)計(jì)學(xué)教材變重應(yīng)用而輕推理的思想的影響，導(dǎo)致假設(shè)檢驗(yàn)求解過程被簡化、淡化。殊不知這從另一方面反而加重了教師、學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)的難度，在某些院校一定程度上造成了這門課程教師不愿教或教不透，學(xué)生不愿學(xué)或?qū)W不懂的局面，建議在統(tǒng)計(jì)學(xué)教材中應(yīng)該適當(dāng)補(bǔ)充一些基本的推理、推導(dǎo)過程，這樣才能使這門課程顯得比較通俗易懂。

[1]MBA智庫百科.假設(shè)檢驗(yàn)[OL].廈門：MBA智庫百科，2008[2012－04－26].http：／／wiki.mbalib.com／wiki／假設(shè)檢驗(yàn).html.

[2]賈俊平，何曉群，金勇進(jìn).統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].4版.北京：中國人民大學(xué)出版社，2009：212－214.

[3]教學(xué)資源庫.遼寧石油化工大學(xué)－概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案08[OL].上海：教學(xué)資源庫，2008[2012－04－26].http：／／down.math.org.cn／dispbbs.asp？boardid＝40＆Id＝3504.

[4]李曉紅.假設(shè)檢驗(yàn)中原假設(shè)的選取問題[J].平原大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，23（6）：122－124.