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      k階Erlang分布的Pearson-χ2距離

      2012-06-08 07:08:42季海波
      淮陰工學院學報 2012年3期
      關鍵詞:指數(shù)分布概率密度宿遷

      季海波

      (宿遷學院教師教育系,江蘇 宿遷 223800)

      0 引言

      在數(shù)理統(tǒng)計中,通常使用Pearson-χ2距離來比較兩個密度函數(shù)的差異性。盡管其已經(jīng)不再滿足距離公理中的某些條件,但是它們確實能夠在某種程度上描述兩個密度函數(shù)的差異程度。近年來,人們在討論極值分布的大樣本問題、分布函數(shù)的計算機模擬樣本的收斂性時,都將Pearson-χ2距離作為衡量標準來判斷一個密度函數(shù)列是否收斂到某個確定的密度函數(shù)。

      k階Erlang分布是排隊論中常用的一個重要的服務時間分布,它與指數(shù)分布有密切的關系。若X1,X2,…,Xk是一列獨立的隨機變量,且都服從指數(shù)分布E(μ),則隨機變量T=X1+X2+…+Xk具有概率密度:

      稱T服從參數(shù)為μ的k階Erlang分布。

      文獻[5]中給出了兩個指數(shù)分布之間的Pearson-χ2最大距離。本文著重討論兩個k階Erlang分布的Pearson-χ2距離和Pearson-χ2最大距離,并與兩個指數(shù)分布之間的Pearson-χ2距離進行比較。

      1 相關定義及引理

      定義1 設隨機變量X、Y分別具有密度函數(shù)f(x)、g(x),且f(x)>0,若

      定義2 設隨機變量X、Y分別具有密度函數(shù)f(x)、g(x)且f(x)>0,g(x)>0,若d2(f,g)、d2(g,f)都存在,記 d2m(f,g)=max{d2(f,g),d2(g,f)},稱(f,g)為兩個密度函數(shù)f(x)、g(x)之間的最大距離。

      由定義可以得到如下引理:

      引理1 如果函數(shù)f(x)是指數(shù)分布E(μ1)的密度函數(shù),g(x)是指數(shù)分布E(μ2)的密度函數(shù),那么

      引理2 如果函數(shù)f(x)是指數(shù)分布E(μ1)的密度函數(shù),g(x)是指數(shù)分布E(μ2)的密度函數(shù),當<μ1< 2μ2時,則有:

      2 k階Erlang分布的Pearson-χ2距離和Pearson-χ2最大距離

      定理1 設f(x)、g(x)是分別具有參數(shù)μ1、μ2的k階Erlang分布的密度函數(shù),則:

      證明:由于f(x)、g(x)是分別具有參數(shù)μ1、μ2的k階Erlang分布的密度函數(shù),則:

      當0<μ1<2μ2時,由分部積分法可得:

      將式(4)代入式(3)可得:

      顯然還有:

      則定理1得證。

      類似地還可以得到:

      由引理1和定理1還可得到下面一些性質(zhì)。

      推論1 如果f1(x)、g1(x)分別是具有參數(shù)μ1、μ2的指數(shù)分布的密度函數(shù),f2(x)、g2(x)分別是具有參數(shù)μ1、μ2的k階Erlang分布的密度函數(shù),則:

      推論2 兩個指數(shù)分布間的Pearson-χ2最大距離和兩個k階Erlang分布Pearson-χ2最大距離具有相同的漸近性。

      [1]Robert G O,Shau S K.Updating schemes,correlation structure,blocking and parameterization for the Gibbssampler[J].J R Statist Soc B,1997,59:291-317.

      [2]Liu S J,Wong W H,Kong A.Correlation structure and convergence rate of the Gibbs sampler with various scans[J].J R Statist Soc B,1995,57:157-169.

      [3]Reiss R D.Approximate Distributions of Order Statistics[M].New York:Springer,1980.

      [4]胡運權.運籌學基礎及應用[M].北京:高等教育出版社,1986.

      [5]陳光曙.Pearson-χ2的最大距離的性質(zhì)[J].遼寧師范大學學報:自然科學版,2005,28(4):402-404.

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