季海波
(宿遷學院教師教育系,江蘇 宿遷 223800)
在數(shù)理統(tǒng)計中,通常使用Pearson-χ2距離來比較兩個密度函數(shù)的差異性。盡管其已經(jīng)不再滿足距離公理中的某些條件,但是它們確實能夠在某種程度上描述兩個密度函數(shù)的差異程度。近年來,人們在討論極值分布的大樣本問題、分布函數(shù)的計算機模擬樣本的收斂性時,都將Pearson-χ2距離作為衡量標準來判斷一個密度函數(shù)列是否收斂到某個確定的密度函數(shù)。
k階Erlang分布是排隊論中常用的一個重要的服務時間分布,它與指數(shù)分布有密切的關系。若X1,X2,…,Xk是一列獨立的隨機變量,且都服從指數(shù)分布E(μ),則隨機變量T=X1+X2+…+Xk具有概率密度:
稱T服從參數(shù)為μ的k階Erlang分布。
文獻[5]中給出了兩個指數(shù)分布之間的Pearson-χ2最大距離。本文著重討論兩個k階Erlang分布的Pearson-χ2距離和Pearson-χ2最大距離,并與兩個指數(shù)分布之間的Pearson-χ2距離進行比較。
定義1 設隨機變量X、Y分別具有密度函數(shù)f(x)、g(x),且f(x)>0,若
定義2 設隨機變量X、Y分別具有密度函數(shù)f(x)、g(x)且f(x)>0,g(x)>0,若d2(f,g)、d2(g,f)都存在,記 d2m(f,g)=max{d2(f,g),d2(g,f)},稱(f,g)為兩個密度函數(shù)f(x)、g(x)之間的最大距離。
由定義可以得到如下引理:
引理1 如果函數(shù)f(x)是指數(shù)分布E(μ1)的密度函數(shù),g(x)是指數(shù)分布E(μ2)的密度函數(shù),那么
引理2 如果函數(shù)f(x)是指數(shù)分布E(μ1)的密度函數(shù),g(x)是指數(shù)分布E(μ2)的密度函數(shù),當<μ1< 2μ2時,則有:
定理1 設f(x)、g(x)是分別具有參數(shù)μ1、μ2的k階Erlang分布的密度函數(shù),則:
證明:由于f(x)、g(x)是分別具有參數(shù)μ1、μ2的k階Erlang分布的密度函數(shù),則:
當0<μ1<2μ2時,由分部積分法可得:
將式(4)代入式(3)可得:
顯然還有:
則定理1得證。
類似地還可以得到:
由引理1和定理1還可得到下面一些性質(zhì)。
推論1 如果f1(x)、g1(x)分別是具有參數(shù)μ1、μ2的指數(shù)分布的密度函數(shù),f2(x)、g2(x)分別是具有參數(shù)μ1、μ2的k階Erlang分布的密度函數(shù),則:
推論2 兩個指數(shù)分布間的Pearson-χ2最大距離和兩個k階Erlang分布Pearson-χ2最大距離具有相同的漸近性。
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