本征值問題的修正傅里葉級數(shù)解

李紅艷, 萬鐘林

(1. 東莞理工學(xué)院 城市學(xué)院 計算機(jī)與信息科學(xué)系, 廣東 東莞, 523106; 2. 東莞職業(yè)技術(shù)學(xué)院 財經(jīng)系, 廣東 東莞, 523808)

本征值問題的修正傅里葉級數(shù)解

李紅艷1, 萬鐘林2

(1. 東莞理工學(xué)院 城市學(xué)院 計算機(jī)與信息科學(xué)系, 廣東 東莞, 523106; 2. 東莞職業(yè)技術(shù)學(xué)院 財經(jīng)系, 廣東 東莞, 523808)

為了使本征值問題的求解更加完善, 利用Iserles在2008年提出的修正傅里葉級數(shù)的三角基函數(shù), 使數(shù)學(xué)物理方法中的分離變量法成為一個全新的求解方法. 利用這一方法對一類定解問題進(jìn)行求解, 最終得到了該問題的修正傅里葉級數(shù)解, 驗證了所提出的新方法的正確性.

偏微分方程; 分離變量法; 級數(shù)解

對于偏微分方程的求解方法, 前人已經(jīng)提出很多嚴(yán)密的理論. 法國數(shù)學(xué)家傅里葉提出的傅里葉級數(shù)極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展. 而傅里葉級數(shù)法作為求解定解問題的經(jīng)典理論已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用.而由Iserles在2008年提出的修正傅里葉級數(shù)更豐富了前人的理論. 下面通過修正傅里葉級數(shù)的三角基函數(shù)求解一類定解問題.

數(shù)學(xué)物理問題中有這樣一類定解問題[1]：

左邊是修正的傅立葉正弦級數(shù), 這提示我們把右邊也展開為修正的傅立葉正弦級數(shù). 其實, 右邊已經(jīng)是修正的傅立葉正弦級數(shù)了, 它只有一個單項即n=1的項. 于是, 比較兩邊的系數(shù), 分離出的常微分方程：

又把u( x, t)的修正傅立葉正弦級數(shù)代入初始條件, 得：

其中, φn、ψn分別為φ( x)和ψ( x)的修正傅立葉正弦級數(shù)[以sin[(n-1/2)πx/ l]為基本函數(shù)族]的第n個修正傅立葉系數(shù). 等式(1)、(2)兩邊都是修正傅立葉正弦級數(shù). 由于基本函數(shù)族的正交性, 等式兩邊對應(yīng)同一基本函數(shù)的修正傅立葉系數(shù)必然相等, 于是得Tn( t)的非零值初始條件：

Tn( t)的常微分方程在初始條件(3)下的解是：

這樣, 所求得的解是：

可見, 用修正的傅立葉級數(shù)法求解這個定解問題相當(dāng)成功. 很明顯, 這個方法的關(guān)鍵在于分離出Tn( t)的常微分方程, 其中不可混雜著另一自變量x, 這是怎么做到的呢？原來, 這個級數(shù)展開的基本函數(shù)sin[(n-1/2)πx/l]正是相應(yīng)齊次方程、齊次邊界條件下用分離變量法求得的本征函數(shù), 這才得以分離出Tn( t)的常微分方程.

[1] 梁昆淼. 數(shù)學(xué)物理方法[M]. 北京： 高等教育出版社, 1998.

[2] Iserles A, N?rsett S P. From high oscillation to rapid approximation I： Modified Fourier expansions[J]. IMA J Num Anal, 2008, 28： 862-887.

(責(zé)任編校： 劉曉霞)

Modified Fourier series solution of the eigen-value problem

LI Hong-yan1, WAN Zhong-lin2

(1. Department of Computer Science and Technology, City College, Dongguan Institute of Technology, Dongguan 523106, China; 2. Finance Department, Dongguan Vocational and Technical College, Dongguan 523808, China)

In order to solve the eigenvalue problem, a new method was proposed, one of the separation of variables in the mathematical physics based by the modified triangle basis functions suggested by Iserles in 2008. And then a class of problems was solved using this new method. And a right solve for this problem was put forward, which was verified the correctness of the proposed new method.

partial differential equations; separation of variables method; series solution

O 173.1

1672-6146(2012)02-0004-02

10.3969/j.issn.1672-6146.2012.02.002

2012-04-20

李紅艷(1984-), 女, 碩士生, 主要從事數(shù)值代數(shù)、反問題的研究. E-mail： 271665792@qq.com