冪函數(shù)荷載作用下圖乘法的一種新方法

楊立軍, 陸守明, 孫 晉

(1. 湖南文理學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院, 湖南 常德, 415000; 2. 廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院, 廣西 南寧, 530004)

冪函數(shù)荷載作用下圖乘法的一種新方法

楊立軍1, 2, 陸守明1, 孫 晉1

(1. 湖南文理學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院, 湖南 常德, 415000; 2. 廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院, 廣西 南寧, 530004)

給出了冪函數(shù)荷載作用下求解結(jié)構(gòu)位移的圖乘法的一種新方法. 首先介紹了結(jié)構(gòu)在復(fù)雜荷載作用下的彎矩圖的疊加原理, 然后研究了冪函數(shù)分布荷載作用下的彎矩圖的面積及形心位置. 求出彎矩圖的面積及形心位置后根據(jù)疊加原理可以由此求解結(jié)構(gòu)在冪函數(shù)荷載作用下的位移. 該方法可以避免采用結(jié)構(gòu)力學(xué)傳統(tǒng)方法對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形求解時(shí)常見錯(cuò)誤, 是對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)圖乘法的一種有益嘗試與探索.

冪函數(shù); 圖乘法; 拋物線; 位移計(jì)算

在計(jì)算梁和剛架的位移和力法方程的自由項(xiàng)和系數(shù)時(shí), 常常要計(jì)算形如的積分式和MP分別為單位荷載和荷載作用下結(jié)構(gòu)的彎矩圖). 為了避免求積分的麻煩, 常常采用圖乘法計(jì)算該積分式. 一般的結(jié)構(gòu)力學(xué)教材給出了幾種常見圖形的面積公式和形心位置, 以便于圖乘法計(jì)算. 但存在的問(wèn)題是, 一是只給出常見的圖形, 在有些情況下不能查表計(jì)算; 二是教材中在給出拋物線圖形時(shí), 有不準(zhǔn)確的論述, 在涉及到拋物線圖乘時(shí), 極易產(chǎn)生錯(cuò)誤[1]. 關(guān)于圖乘法很多學(xué)者做了許多有意義的研究, 為圖乘法的發(fā)展作出了有益的探索. 如任鳳鳴對(duì)圖乘法簡(jiǎn)化計(jì)算進(jìn)行了研究[2], 張俊友剖析了圖乘法計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的應(yīng)用[3],游猛討論了圖乘法和重積分法求純彎曲梁撓曲線的問(wèn)題[4], 宋祖民、胡景龍等提出了結(jié)構(gòu)計(jì)算位移的新方法： 系數(shù)法和牛頓-柯特斯方法[5-6]. 本文則對(duì)冪函數(shù)荷載作用下的圖乘法進(jìn)行了研究, 給出了冪函數(shù)荷載作用下求解結(jié)構(gòu)位移的圖乘法的一種新方法.

1 復(fù)雜荷載作用下的彎矩圖的疊加原理

圖1 復(fù)雜荷載作用下的彎矩圖的疊加

2 冪函數(shù)荷載作用下的彎矩圖的面積及形心位置

冪函數(shù)級(jí)數(shù)荷載q(x)可以表示為：

由疊加法, 結(jié)構(gòu)在式(1)所示的分布荷載q(x)作用下的彎矩等于結(jié)構(gòu)分別在荷載單獨(dú)作用下的彎矩MiP的疊加. 同理,和MP的圖乘結(jié)果就等于和分別圖乘, 然后再對(duì)之進(jìn)行代數(shù)求和的結(jié)果. 現(xiàn)在討論簡(jiǎn)支梁在單個(gè)冪函數(shù)荷載作用下的彎矩圖面積及形心位置. 如圖2(a)所示的跨度為l的簡(jiǎn)支梁AB, EI為常數(shù), 承受冪函數(shù)荷載. 設(shè)梁AB左端支座反力FA, 由右端支座彎矩MB=0, 有：

梁AB任意截面x的彎矩M(x)為：

彎矩圖如圖2(b)所示. 求出彎矩M(x)的表達(dá)式后, 可以求出最大彎矩Mmax的數(shù)值及與左端的距離x0.由, 有：

求解式(4), 即可求出Mmax與左端的距離x0為：

圖2 冪函數(shù)分布荷載作用下的彎矩圖的面積及形心位置

將式(5)代入式(4), 求出最大彎矩Mmax為：

如圖2(b)所示的彎矩圖的面積A為：

由式(3)和式(7), 彎矩圖形心到A端的距離x1, 到B端的距離x2為：

表1 m次冪函數(shù)荷載作用下的簡(jiǎn)支梁AB彎矩圖的面積和形心位置

3 算例

算例1如圖3(a)所示跨度為l的懸臂梁AB, EI為常數(shù), 全跨承受均布荷載q, B端受有集中力ql, 求B點(diǎn)的豎向位移.

彎矩圖如圖3(b)所示. 采用本文方法, 將MP圖分解為一個(gè)三角形和一個(gè)拋物線圖形, 有：

采用結(jié)構(gòu)力學(xué)所給常見圖形的面積和形心位置來(lái)求解, 有：

兩種方法計(jì)算的結(jié)果是相同的, 驗(yàn)證了本文方法的正確性.

算例2如圖4(a)所示跨度為l的懸臂梁AB, EI為常數(shù), 全跨承受如圖所示三角形荷載, 荷載最大值為q0, 求B點(diǎn)的豎向位移.

彎矩圖如圖4(b)所示. 彎矩圖B點(diǎn)處切線與基線平行, 且是頂點(diǎn), 按《結(jié)構(gòu)力學(xué)》教材, 如文獻(xiàn)[7], 該圖形為三次標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形, 則可按《結(jié)構(gòu)力學(xué)》教材上三次標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形的面積和形心位置來(lái)求解, 有：

但式(12)計(jì)算是錯(cuò)誤的. 實(shí)際上, 圖4(b)所示彎矩圖不是標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形, 建立如圖4(a)所示坐標(biāo)系, B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), 梁的縱軸線為x軸, 則荷載可以表示為, 梁AB任意截面x的彎矩M(x)為：

M(x)不是齊次的, 故而圖4(b)所示彎矩圖不是標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形. 采用《結(jié)構(gòu)力學(xué)》教材所給標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形的面積和形心位置, 很容易發(fā)生這樣的問(wèn)題.

采用本文所給方法計(jì)算, 將MP圖分解為一個(gè)三角形和一個(gè)拋物線圖形, 有：

圖3 均布荷載和集中荷載作用下的懸臂梁和彎矩

圖4 三角形荷載作用下的懸臂梁和彎矩

算例3 如圖5所示跨度為l的簡(jiǎn)支梁AB, EI為常數(shù), 全跨承受如圖所示荷載, 求簡(jiǎn)支梁A端轉(zhuǎn)角.

算例4 如圖6(a)所示跨度為l的簡(jiǎn)支梁AB, EI為常數(shù), 全跨承受如圖所示三角形荷載, 荷載最大值為q0, 求梁AB中點(diǎn)C的豎向位移.

MP彎矩圖如圖6(b)所示. 為求梁AB中點(diǎn)C的豎向位移, 將MP圖分成AC和CB兩段, 分別與對(duì)應(yīng)的圖乘, 然后求和. 將AC和CB兩段MP圖還原為簡(jiǎn)支梁的情況, 即： AC段分解為一個(gè)三角形(底為0.5l, 高為MP圖C點(diǎn)彎矩MC)和三角形荷載(底為0.5l, 高為0.5q0)作用下的三次拋物線, CB段分解為一個(gè)三角形(底為0.5l, 高為MP圖C點(diǎn)彎矩MC)、均布荷載(0.5q0)及三角形荷載(底為0.5l, 高為0.5q0)作用下的二次、三次拋物線. MP圖C點(diǎn)彎矩MC由式(3)求得, 由本文方法, 有：

本題還有簡(jiǎn)便的方法. 由對(duì)稱性, 如圖6(a)所示中點(diǎn)C的豎向位移和如圖7(c)所示中點(diǎn)C的豎向位移相同的. 由疊加法, 如圖7(a)所示均布荷載q0作用下的簡(jiǎn)支梁可以分解為圖7(b)和圖7(c)的所示簡(jiǎn)支梁情況的疊加, 即如圖6(a)所示三角形荷載作用下的簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)C的豎向位移等于如圖7(a)所示均布荷載q0作用下的簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)C的豎向位移的一半, 用本文方法和傳統(tǒng)方法均可以求得.

圖5 冪函數(shù)級(jí)數(shù)荷載作用下的簡(jiǎn)支梁

圖6 三角形荷載作用下的簡(jiǎn)支梁和彎矩

圖7 三角形荷載作用下的簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)位移等于均布荷載作用下的簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)位移的一半

[1] 陳敏. 圖乘法求位移中關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)拋物線的一種誤解[J]. 力學(xué)與實(shí)踐, 1994, 16(1): 63.

[2] 任鳳鳴, 汪新, 郭仁俊. 改進(jìn)力法計(jì)算的研究[J]. 力學(xué)與實(shí)踐, 2010, 32(4): 83-86.

[3] 張俊友, 李曉飛, 溫艷霞, 等. 圖乘法計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的應(yīng)用剖析[J]. 內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2008, 29(1): 220-222.

[4] 游猛. 用圖乘法和重積分法求純彎曲梁撓曲線問(wèn)題的討論[J]. 力學(xué)與實(shí)踐, 2009, 31(2): 82-83.

[5] 宋祖民, 周利清. 結(jié)構(gòu)計(jì)算位移的一種簡(jiǎn)便方法——系數(shù)法[J]. 固體力學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 29(S1): 204-209.

[6] 胡景龍, 李青寧, 閻艷偉. 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的牛頓——柯特斯方法[J]. 力學(xué)與實(shí)踐, 2008, 30(2): 93-95.

[7] 李廉錕. 結(jié)構(gòu)力學(xué)(上冊(cè))[M]. 4版. 北京: 高等教育出版社, 2004: 104.

(責(zé)任編校： 劉剛毅)

A new method of diagram multiplication under power function load

YANG Li-jun1, 2, LU Shou-ming1, SUN Jin1
(1. College of Civil and Architecture Engineering, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China; 2. College of Civil and Architecture Engineering, Guangxi University, Nanning 530004, China)

A new method of diagram multiplication was given that was used for solving structural displacement under power function load. Firstly the superposition principle in bending moment diagram was introduced of structure under complicated load. Then the parameters of bending moment diagram such as area and shape center position, have been calculated when structure under power function load. According to the area and shape center position of bending moment diagram, the structural displacement could be solved by the application of superposition principle under power function load. The method can avoid common errors as non standard parabola with traditional method, and it is a kind of beneficial attempt and exploration in graph multiplication of structural mechanics.

power function; diagram multiplication; parabola; displacement calculation

TU 311

1672-6146(2012)02-0056-04

10.3969/j.issn.1672-6146.2012.02.014

2012-05-28

湖南省“十二五”重點(diǎn)建設(shè)學(xué)科(機(jī)械設(shè)計(jì)及理論); 湖南省科技計(jì)劃項(xiàng)目(2010SK3051); 湖南省教育廳科研項(xiàng)目(10C1007)和常德市科技計(jì)劃項(xiàng)目(2010ZX18)資助.

楊立軍(1976-), 男, 副教授, 博士生, 研究方向： 建筑結(jié)構(gòu)振動(dòng)理論. E-mail： yanglj9601@163.com.