一種多導(dǎo)體傳輸線瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間步積分法

史凌峰 成立業(yè) 曹成美 孟 辰 蔡成山

（1.西安電子科技大學(xué)超高速電路設(shè)計(jì)與電磁兼容教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071；2.西安電子科技大學(xué)電路設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD）所，陜西 西安 710071）

引 言

隨著超大規(guī)模集成電路特征尺寸減小、上升時(shí)間縮短、集成規(guī)模擴(kuò)大和時(shí)鐘頻率提高，互連線產(chǎn)生的延遲、反射、畸變和串?dāng)_等效應(yīng)將引起電路錯(cuò)誤響應(yīng)，所以信號(hào)互連線之間的耦合已經(jīng)成為影響電路信號(hào)完整性以及系統(tǒng)整體性能的重要因素之一［1］。在高速電路中，把信號(hào)連接線作為具有分布參數(shù)不等長(zhǎng)非均勻有損多導(dǎo)體傳輸線的結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模［2］，并應(yīng)用傳輸線理論對(duì)其進(jìn)行分析，能夠準(zhǔn)確地得到信號(hào)連接線上各點(diǎn)的電壓和電流值，從而對(duì)改善信號(hào)互連線之間耦合具有重要的理論指導(dǎo)和應(yīng)用價(jià)值。頻域分析方法以及宏模型技術(shù)能夠方便地處理均勻傳輸線，但是在處理非均勻傳輸線時(shí)，算法將變得較復(fù)雜，導(dǎo)致計(jì)算效率的降低以及失去算法原有的簡(jiǎn)潔性。時(shí)域有限差分法（FDTD）［3－6］在分析多導(dǎo)體傳輸線的過(guò)程中能夠較方便處理非均勻傳輸線，然而FDTD方法的計(jì)算結(jié)果會(huì)因?yàn)椴罘炙阕拥牟环€(wěn)定性產(chǎn)生邊緣振蕩［1，7］，且精度比傳統(tǒng)頻域方法有所降低。

針對(duì)上述FDTD方法的不足，作者提出一種時(shí)間步積分方法加以克服。首先對(duì)電波方程中的空間微分算子進(jìn)行差分離散，時(shí)間微分算子保持不變，得到一組半離散形式的時(shí)域方程［7］。再利用梯形積分法對(duì)得到的半離散形式的時(shí)域方程中時(shí)間微分算子進(jìn)行積分，最終得到分析不等長(zhǎng)非均勻有損耗多導(dǎo)體傳輸線瞬態(tài)響應(yīng)的時(shí)間步積分方法。利用該方法對(duì)不等長(zhǎng)多導(dǎo)體非均勻有損傳輸線模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和理論分析，并通過(guò)對(duì)傳輸線終端端接線性負(fù)載和非線性負(fù)載的兩種情況進(jìn)行仿真分析。仿真結(jié)果表明了所提方法的正確性和有效性。

1 不等長(zhǎng)非均勻有損耗傳輸線的時(shí)間步積分算法

不等長(zhǎng)非均勻有損耗導(dǎo)體3傳輸線的模型如圖1所示，其中導(dǎo)體1和導(dǎo)體2均為信號(hào)線，導(dǎo)體3（圖中未畫(huà)出）為一無(wú)限大金屬平板，作為參考導(dǎo)體。L1和L2分別為導(dǎo)體1和導(dǎo)體2的長(zhǎng)度。VS表示傳輸線始端端接的電壓源，RS1和RS2表示傳輸線始端端接的電阻，RL1和RL2表示傳輸線終端端接的電阻。點(diǎn)A、B、C和D分別表示導(dǎo)體1和2兩端的端點(diǎn)。

圖1 不等長(zhǎng)非均勻3導(dǎo)體傳輸線

取導(dǎo)線方向?yàn)檎齴方向，在傳輸線上取任意一小段長(zhǎng)度Δz.當(dāng)Δz足夠小，可以近似采用集總參數(shù)建模。該小段的等效電路如圖2所示，且圖2所示的等效傳輸線即為非均勻多導(dǎo)體傳輸線。

圖2 傳輸線的等效集總參數(shù)模型

不考慮外界電磁場(chǎng)作用，根據(jù)基爾霍夫電壓和電流定律，可得傳輸線方程［3］：

式中：V、I分別為多導(dǎo)體傳輸線上z處在t時(shí)刻的電壓和電流矩陣；R和G為多導(dǎo)體傳輸線上z處的單位長(zhǎng)電阻和電導(dǎo)分布參數(shù)矩陣；L和C為多導(dǎo)體傳輸線上z處的單位長(zhǎng)電感和電容分布參數(shù)矩陣；R（z）、G（z）、L（z）和C（z）的 單 位 分 別 為Ω／m、S／m、H／m和F／m.

將不等長(zhǎng)非均勻有損耗多導(dǎo)體傳輸線按圖3所示的方式沿著正向z的導(dǎo)線傳輸方向進(jìn)行空間步長(zhǎng)為Δz／2離散，整個(gè)傳輸線共被劃分為2N段。如圖3所示，將第1個(gè)點(diǎn)設(shè)為電壓采樣點(diǎn)V1，然后將間隔Δz的采樣點(diǎn)依次設(shè)定為電壓的離散采樣點(diǎn)V2，V3，……，VN＋1；同理，將第2個(gè)點(diǎn)設(shè)為電流采樣點(diǎn)I1，然后將間隔Δz的采樣點(diǎn)依次設(shè)定為電流的離散采樣點(diǎn)I2，I3，……，直到IN，始端和終端這兩個(gè)端點(diǎn)處的電流采樣點(diǎn)分別設(shè)定為I0和IN＋1.這樣電壓采樣點(diǎn)共有N＋1個(gè)，電流采樣點(diǎn)共有N＋2個(gè)，除始端和終端的電流采樣點(diǎn)外其余的電壓和電流采樣點(diǎn)的間隔均為 Δz／2［8］.

圖3 多導(dǎo)體傳輸線上空間離散電壓和電流采樣點(diǎn)

這樣，根據(jù)FDTD方法，離散的電壓和電流采樣點(diǎn)的空間微分算子采用一階中心差分來(lái)近似，可以得到如下離散方程式：

對(duì)始端和終端電壓采樣點(diǎn)的空間微分算子分別采用一階前向和后向差分公式來(lái)近似，得到始端和終端的離散方程［9］：

采用梯形積分法對(duì)式（2）中的時(shí)間微分算子進(jìn)行積分，可得

整理后，則有

同理以梯形積分法對(duì)式（3）中的時(shí)間微分算子進(jìn)行積分，可得到始端和終端的迭代公式為

整理后得由此得出節(jié)點(diǎn)上電壓和電流的隱式表達(dá)式：

整理后，則有

式中：Δz、Δt分別為空間和時(shí)間的離散采樣步長(zhǎng)；k、n分別表示空間、時(shí)間的劃分?jǐn)?shù)。通常，為了保證上述算法穩(wěn)定性，必須滿(mǎn)足Δt≤Δz／v.當(dāng)取等號(hào)時(shí)，Δt為最佳時(shí)間步長(zhǎng)，其中v為電磁波在多導(dǎo)體傳輸線中傳播的最大模速度［10－11］。

2 算法仿真驗(yàn)證

將圖1所示的導(dǎo)體3不等長(zhǎng)非均勻傳輸線作為仿真模型。傳輸線的分布參數(shù)為［1］：

式中：L（z）＝387／［1＋k（z）］nH／m，是傳輸線的自感；Lm（z）＝k（z）L（z）nH／m，是傳輸線之間的互感；C（z）＝104.3／［1－k（z）］pF／m，是傳輸線上的寄生電容；Cm（z）＝－k（z）C（z）pF／m，是傳輸線之間的互容［12］；R（z）＝50／［1＋k（z）］Ω／m，是傳輸線上的電阻；G（z）＝0.001／［1－k（z）］S／m，是傳輸線上的電導(dǎo)；k（z）＝0.25［1＋ sin（6.25πz＋0.25π）］.

導(dǎo)體1的輸入電壓源波形如圖4所示，其上升和下降時(shí)間為0.5ns、脈寬為5ns、幅度為1V.

利用Ansoft的2DExtractor場(chǎng)求解器對(duì)模型進(jìn)行仿真，可以得出模型中電磁波在導(dǎo)體1和導(dǎo)體2中信號(hào)傳播的速度分別為V1＝1.521×108m／s，V2＝1.482×108m／s.因此，為了保證本文提出的時(shí)間步積分算法的穩(wěn)定性，選取傳輸線的傳播速度V1來(lái)確定最佳仿真步長(zhǎng)。取Δz＝0.002m，根據(jù)Δt≤Δz／v，得最佳仿真時(shí)間步長(zhǎng)為t＝1.315×10－11s.

導(dǎo)體1和2的始端和終端的端接電阻分別設(shè)置為：

圖4 激勵(lì)源波形

取導(dǎo)體1和導(dǎo)體2的長(zhǎng)度均為0.1m，得到等長(zhǎng)的非均勻有損耗多導(dǎo)體傳輸線的兩端各點(diǎn)的電壓波形，如圖5所示。在相同的仿真條件下，采用文獻(xiàn)［3－4］提出的FDTD方法，仿真等長(zhǎng)的非均勻有損耗多導(dǎo)體傳輸線，其得到的仿真波形如圖5所示。從圖5可以看到，時(shí)間步積分法仿真得到的波形能夠有效地消除使用FDTD方法所產(chǎn)生的差分振蕩；除此之外，兩種算法仿真的波形有較好的吻合［13］。因此，作者提出的分析不等長(zhǎng)非均勻有損耗多導(dǎo)體傳輸線的瞬態(tài)響應(yīng)的時(shí)間步積分方法在分析等長(zhǎng)非均勻有損耗多導(dǎo)體傳輸線時(shí)是準(zhǔn)確和有效的。

當(dāng)導(dǎo)體1和2的長(zhǎng)度分別為0.1m和0.2m時(shí)，仿真得到的傳輸線兩端的波形如圖6所示。比較圖6和圖5可知，當(dāng)導(dǎo)體1的長(zhǎng)度不變而導(dǎo)體2的長(zhǎng)度增加時(shí)，導(dǎo)體1兩端的電壓變化不大，而導(dǎo)體2的D端的瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間延長(zhǎng)，電壓幅度略有下降，并且波形到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間也延長(zhǎng)。原因根據(jù)傳輸線理論中傳輸線分布參數(shù)將造成信號(hào)延時(shí)解釋。同樣在相同的仿真條件下，使用文獻(xiàn)［3－4］提出的FDTD方法，仿真不等長(zhǎng)的非均勻有損耗多導(dǎo)體傳輸線，其得到的仿真波形如圖6所示。從圖6可知，時(shí)間步積分法仿真得到的波形能夠有效地消除使用FDTD所產(chǎn)生的差分振蕩。除此之外，兩種算法仿真波形是十分吻合的。因此，作者提出的分析不等長(zhǎng)非均勻有損耗多導(dǎo)體傳輸線的瞬態(tài)響應(yīng)的時(shí)間步積分方法在分析不等長(zhǎng)非均勻有損耗多導(dǎo)體傳輸線時(shí)也是準(zhǔn)確和有效的。

在多導(dǎo)體長(zhǎng)度分別為0.1m和0.2m，且傳輸線無(wú)損，即R＝0，G＝0的情況下多導(dǎo)體傳輸線兩端的電壓如圖7所示。比較圖6和圖7可知，傳輸線的損耗使得兩端的電壓有所下降，其與傳輸線的理論相一致。

以上的仿真波形都是在終端端接電阻的情況下得到的?，F(xiàn)在考慮終端端接非線性負(fù)載電容時(shí)傳輸線兩端的電壓波形。仿真模型如圖8所示［1］。導(dǎo)體1端所加的激勵(lì)源與前面端接電阻時(shí)的激勵(lì)源相同。仿真所得的電壓波形如圖9所示。比較圖6和圖9可知，圖9中各點(diǎn)的電壓響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所需的時(shí)間比圖6所需的時(shí)間長(zhǎng)，并且電壓幅度比圖6的幅度大。原因是由于非線性負(fù)載的存在，點(diǎn)B和點(diǎn)D處的電壓反射系數(shù)較大，從點(diǎn)A、C傳來(lái)的電壓波到達(dá)點(diǎn)B、D后，電壓幅度增大，反射波回到點(diǎn)A、C后，點(diǎn)A、C的電壓幅度也增大，這樣經(jīng)過(guò)多次反射后，各點(diǎn)的電壓響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。作者所提出的時(shí)間積分法差分格式是一種穩(wěn)定條件下的差分格式，所選取步長(zhǎng)必須在穩(wěn)定條件下，終端接有非線性負(fù)載并且終端無(wú)激勵(lì)源，這樣以減小數(shù)值反射［4］。

根據(jù)電容的電壓和電流公式I＝CdU／dt，采用作者提出的時(shí)間步積分法可以得到終端短接電容時(shí)的公式為

當(dāng)電容值為2pF時(shí)，仿真結(jié)果如圖9所示。

3 結(jié) 論

針對(duì)不等長(zhǎng)非均勻有損耗多導(dǎo)體傳輸線之間的耦合計(jì)算問(wèn)題，作者提出一種用于分析不等長(zhǎng)非均勻有損耗多導(dǎo)體傳輸線的瞬態(tài)響應(yīng)的時(shí)間步積分方法。該方法在對(duì)不等長(zhǎng)非均勻有損耗多導(dǎo)體傳輸線的建模過(guò)程中，能夠較方便地求解耦合狀態(tài)下的不等長(zhǎng)非均勻有損耗多導(dǎo)體傳輸線。通過(guò)仿真驗(yàn)證結(jié)果表明所提方法能夠有效地消除計(jì)算結(jié)果由于采用中心差分的方法所造成的邊沿振蕩，對(duì)不等長(zhǎng)非均勻有損耗傳輸線的研究提供理論參考。

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