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    廣義向量擬似變分不等式的通有穩(wěn)定性和本質(zhì)連通區(qū)

    2012-06-02 09:32:20李盛強(qiáng)
    關(guān)鍵詞:均衡點(diǎn)變分子集

    李盛強(qiáng)

    (重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 401331)

    本質(zhì)區(qū)在穩(wěn)定性的研究中是一個(gè)重要的工具。1950年,F(xiàn)ort[1]首先提出從緊度量空間映射到自身的一個(gè)連續(xù)映射的本質(zhì)不動(dòng)點(diǎn)的概念,并且證明了任意的映射都可以大致接近于一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)都是本質(zhì)的映射。由于即使是恒同映射也不一定存在本質(zhì)不動(dòng)點(diǎn),1952年Kinoshita[2]提出了不動(dòng)點(diǎn)集本質(zhì)區(qū)的概念,并且證明了從Hilbert空間映射到自身的任意連續(xù)映射都至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)集的本質(zhì)區(qū)。受到以上研究成果的啟發(fā),Wu和Jiang[3]引入了有限博弈的本質(zhì)Nash均衡點(diǎn)的概念,并證明了任意的有限博弈大致接近于Nash均衡點(diǎn)是本質(zhì)的博弈。之后,Jiang[4]引入了Nash均衡點(diǎn)集本質(zhì)區(qū)的概念,并且證明了每個(gè)有限博弈都存在至少1個(gè)Nash均衡點(diǎn)集的本質(zhì)區(qū)。1986年Kohlberg和Mertens[5]提出對(duì)于有限博弈,一個(gè)較為滿意的解的概念應(yīng)該稱為Nash均衡點(diǎn)集的本質(zhì)區(qū),并且證明對(duì)于任何有限博弈都存在Nash均衡點(diǎn)集的有限區(qū),其中至少1個(gè)區(qū)是本質(zhì)的。1990年Hillas[6]提出了從另一種方法研究穩(wěn)定性,這與傳統(tǒng)的從Nash均衡點(diǎn)的擾動(dòng)問題研究穩(wěn)定性不同。近些年來,Yu、Yang、Luo、Xiang、Isac、Lin等將本質(zhì)區(qū)的概念引入各種非線性問題中,如Ky Fan問題、均衡問題、變分不等式問題以及向量?jī)?yōu)化問題等。

    近些年來,變分不等式的理論是研究非線性分析的一個(gè)重要方向。1980年以來,關(guān)于廣義向量擬似變分不等式解的存在性已經(jīng)有相當(dāng)多的研究成果,但是廣義擬似變分不等式的解不一定唯一,所以該問題的穩(wěn)定性研究就顯得很重要。傳統(tǒng)研究穩(wěn)定性的方法是對(duì)問題進(jìn)行參數(shù)擾動(dòng)后求解集對(duì)參數(shù)的各種連續(xù)性結(jié)果,即研究解集映射S(p)的連續(xù)性。1999年,俞建[7]利用Fort、吳文俊與江嘉禾所提出了本質(zhì)解的概念與Mertens提出的本質(zhì)連通分支的概念,研究了擬變分不等式的解集的穩(wěn)定性,證明了這類擬變分不等式的解集具有通有穩(wěn)定性且本質(zhì)連通區(qū)是存在的。羅群、鄧曉紅[8]研究了廣義向量似變分不等式解集的通有穩(wěn)定性。2007年,陳建塵、龔循華[9]提出了廣義擬變分不等式解集的穩(wěn)定性及本質(zhì)連通區(qū)的存在性。本文綜合了近些年來在變分不等式通有穩(wěn)定性及本質(zhì)連通區(qū)方面的研究方法,研究了更為廣泛的廣義向量擬似變分不等式問題的通有穩(wěn)定性及本質(zhì)連通區(qū),并且更進(jìn)一步地研究了本質(zhì)連通區(qū)的穩(wěn)定性。

    1 預(yù)備知識(shí)及定義

    廣義向量擬似變分不等式(GVQVLI):設(shè)E是Banach空間,X、Y是2個(gè)Hausdorff拓?fù)渚€性空間,K是X的非空閉凸子集,T:K→2L(E,Y),S:K→2K,η:K×K→E,尋找,使得對(duì)任意的,存在,滿足

    定義1 稱Q?X是X中的一個(gè)剩余集,若Q包含一列X中稠密開集的交。

    引理1 考慮GVQVLI(S,T,η)問題,假設(shè)滿足條件:① S是K上連續(xù)緊凸值映射,且對(duì)任意x∈K有intS(x)≠?;②T在K上是上半連續(xù)緊凸值映射;③ η(·,·)在K×K上是連續(xù)的;④ 固定x∈K,η(·,x)是仿射的;⑤ 對(duì)于任意x∈K,如果x∈intG(x),則η(x,x)=0。則廣義向量擬似變分不等式有解。

    引理2 設(shè)X是度量空間,A,An∈K(X)滿足對(duì)任意的O?A,存在自然數(shù)N,使得對(duì)任意的n>N,都有An?O,則任一滿足xn∈An的序列 { xn}必有聚點(diǎn)x*∈A。

    備注1 設(shè)(X,d)為度量空間,記K(X)表示X的所有非空緊子集全體,CK(X)表示X的所有非空緊凸集全體。空間 K(X)和 CK(X)的拓?fù)溆?Hausdorff度量 h產(chǎn)生,h定義如下:h(C,D)=,其中

    引理3 設(shè)(X,d)為度量空間,h表示由d誘導(dǎo)的Hausdorff度量,則(CK(X),h)在(K(X),h)中閉。

    2 廣義向量擬似變分不等式的通有穩(wěn)定性

    令 E、X、Y、S、T 和 η 的定義不變,設(shè)

    對(duì)任意的 u1=(S1,T1,η1),u2=(S2,T2,η2)∈M,定義

    其中 h1、h2是 CK(K)和 CK(L(E,Y))上的 Hausdorff度量。

    定理1(M,ρ)是完備度量空間。

    證明(M,ρ)是度量空間,顯然成立,只需證(M,ρ)是完備的。

    設(shè) {un=(Sn,Tn,ηn)}是 M 中的 Cauchy列,則?ε >0,?N,使得對(duì)于?n,m >N 有 ρ(un,um)< ε,從而?x,y∈K,都有 h1(Sn(x),Sm(x))< ε,h2(Tn(x),Tm(x))< ε,‖ηn(x,y)- ηm(x,y)‖ < ε。由于{ Sn(x)}是CK(K)中的Cauchy列,{ Tn(x)}是CK(L(E,Y))中Cauchy列,(E,‖·‖)是Banach空間,由引理3 知,存在 S(x)∈CK(K),T(x)∈CK(L(E,Y)),η(x,y)∈X,使得

    下面證 T 是上半連續(xù)的,S 是連續(xù)的,η(·,·)是連續(xù)且 η(·,x)是仿射的,η(x,x)=0。

    1)?x0∈K。要證T(x0)是下半連續(xù)的,只需證對(duì)于?x0的鄰域U,?x∈U,?T(x0)鄰域O,使得T(x)?O。由于 ?ε0> 0,所以 {ξ:d(ξ,T(x0))<ε0}?O。下證 T(x)? {ξ:d(ξ,T(x0))<ε0}。令,其 中又且由于Tn→T,故 h2(Tn(x),T(x))≤ε0/3,h2(Tn(x0),T(x0))≤ε0/3,而由 Tn的下半連續(xù)性有,所以

    故 T(x)? {ξ:d(ξ,T(x0))<ε0}?O,即T(x)在K上是上半連續(xù)的。

    2)要證 S在 K上是連續(xù)的,只需證?x0∈K,?ε>0,?x0的鄰域 N(x0)使得?x∈N(x0)有h1(S(x),S(x0))<ε。由于對(duì)于?x∈K,有 h1(S(x),S(x0))≤h1(S(x),Sn(x))+h1(Sn(x),Sn(x0))+h1(Sn(x0),S(x0)),且由知,存在N當(dāng)n>N時(shí),有,又由 Sn的連續(xù)性知,?的鄰域 N(),有,所以由以上知,h(S(x),1,于是S在K上是連續(xù)的。

    3)η(·,·)的連續(xù)性證明方法與2)相同,只需將測(cè)度h2換成‖·‖即可。因ηn(·,x)是仿射的,故ηn(·,αx+b)= αηn(·,x)+ηn(·,b),兩邊同時(shí)取極限得 η(·,αx+b)=αη(·,x)+η(·,b),故 η(·,x)也是仿射的。又 ηn(x,x)=0,?x∈intS(x),則對(duì)于?x∈intS(x),存在 { xn},滿足 xn∈intSn(xn),那么就有ηn(xn,xn)=0。由于,且 ηn連續(xù),故兩邊取極限得 η(x,x)=0。

    由以上1)、2)、3)知,(M,ρ)是完備度量空間。

    由于對(duì)于任意的u=(S,T,η)∈M,引理1表明GVQVLI有解。記Φ(u)是GVQVLI問題關(guān)于u的一個(gè)解集,則Φ可以看成從M映到K上的一個(gè)集值映射,并且Φ(u)≠0,?u∈M。

    定理2 Φ:M?K是usco映射。

    證明由于 K是緊集,故只需證 Graph(Φ)是 M×K的閉子集,這里 Graph(Φ)={((S,T,η),x)∈M ×K:x∈Φ(S,T,η)}。因?yàn)镸是完備的,K是緊集,故M×K是完備的。所以可證任取序列 {((Sn,Tn,ηn),xn)}?Graph(Φ)滿足((Sn,Tn,ηn),xn)→((S,T,η),x)∈M ×K。

    因?yàn)?xn∈ Φ (Sn,Tn,ηn),則有,xn∈ Sn(xn)且存在 tn∈ Tn(xn),滿足 [ tn,ηn(y,xn)]? -intC,?y∈Sn(xn)。

    任取 L(X,Y)中 的 開 集 O? T(x*),因 為 T(x*)是 緊 集,存 在 ε0>0使{ξ∈L(X,Y):d(ξ,T(x*))<ε0}?O。由于 ρ((Sn,Tn,ηn),(S,T,η))→0,xn→x*,T 在 x*點(diǎn)是上半連續(xù)的,所 以 ?N,使 當(dāng) n >N 時(shí),有且 T(xn)?這樣,當(dāng) n>N 時(shí),有{ξ∈L(X,Y):d(ξ,T(x*))<ε0}?O。因tn∈Tn(xn),由引理2知,存在 {tn}的一個(gè)子列 { tnp}?L(X,Y),使tnp→t*∈T(x*),不失一般性,可設(shè)tn→t*。

    因 xn∈Sn(xn),ρ((Sn,Tn,ηn),(S,T,η))→0,xn→x*,且 Sn是連續(xù)的因而上半連續(xù)的,所以類似地可以證明:存在 { xn}的一個(gè)收斂子列 { xnp},使得 xnp→x0∈S(x*)。由于 xn→x*,可知 x0=x*∈S(x*)。

    又由于 S 在 x*下半連續(xù),?z∈S(x*),存在 yn∈S(xn),使得 yn→z。再由 ρ((Sn,Tn,ηn),(S,T,η))→0 可知?p∈N,?np使得取 { xn}的子列 { xnp},有 h1(Snp(xnp),S(xnp))<1/p,于是存在y'np∈Snp(xnp),使得‖y'np-ynp‖ < 1/p,那么就有‖y'np-z‖≤‖y'np-y'np‖ +‖z-ynp‖ <1/p+‖z-ynp‖,而 ynp→z,故有 y'np→z。

    又因?yàn)?ρ((Sn,Tn,ηn),(S,T,η))→0,則對(duì)于?(x,y)∈K ×K 有 ηn(x,y)→η(x,y),且 η 是連續(xù)的,則 η(y'np,xnp)→η(z,x*)。所以有 ηn(y'np,xnp)= [ηn(y'np,xnp)- η(y'np,xnp)]+[η(y'np,xnp)-η(z,x*)]+ η(z,x*)→η(z,x*)。

    又由于之前得到了 y'np∈Snp(xnp),且 xnp∈Snp(xnp),tnp∈Tnp(xnp),所以有

    其中Y(-intC)是閉集。對(duì)式(1)兩邊同時(shí)取極限得到〈t*,η(z,x*)〉∈Y(-intC),即〈t*,η(z,x*)〉?-intC,由 z在 S(x*)中任意性以及 x*∈S(x*),t*∈T(x*)知 x*∈Φ(S,T,η),即((S,T,η),x*)∈Graph(Φ),從而Graph(Φ)是閉集。由于K是緊集,從而Φ是緊值映射,所以Φ是usco映射。

    引理4 如果Φ:M?K是usco映射,那么Φ在M的剩余集上是下半連續(xù)的。

    定義2 對(duì)任意u∈M,x∈Φ(u):①稱x為u的本質(zhì)解,若x在K中的任意開鄰域O,存在u在M中的開鄰域V,使對(duì)任意的u'∈V,有Φ(u')∩O≠?。②稱u為本質(zhì)的,若u的每一個(gè)解都是本質(zhì)的。稱u是弱本質(zhì)的,若存在u的某個(gè)解是本質(zhì)的。

    引理5 u為本質(zhì)的,當(dāng)且僅當(dāng)集值映射Φ在u上是下半連續(xù)的。

    定理3 存在M中的稠密剩余集Q,使對(duì)任意的u∈Q,u是本質(zhì)的。

    例1設(shè)E=X=Y=(-∞,+∞),K=[-1,1],C=R+=x:x≥{}0,考慮如下的GVQVLI:設(shè)T(x)={}θ,?x∈K,其中θ表示零算子;S(x)=K,?x∈K;η(x,y)=x-y,?x,y∈K。顯然u=(S,T,η)∈M,Φ(u)=K。

    構(gòu)造CVQVLI問題的函數(shù)序列 un=(Sn,Tn,ηn)∈M 如下:設(shè) Sn(x)=K,?x∈K;Tn(x)=易驗(yàn)證 ρ(un,u)→0,〈Tn(x),ηn(x,y)〉=,所以根據(jù)定義2知,u即不是本質(zhì)的也不是弱本質(zhì)的。

    例1表明,定理3中Q≠M(fèi),M中的某些問題元素u所決定的GVQVLI的解集甚至不存在本質(zhì)解。

    3 GVQVLI解集的本質(zhì)連通區(qū)的存在性

    在這一部分中設(shè)η0:K×K→E取定,滿足η0是連續(xù)的,固定x∈K,η0(·,x)是仿射的,若x∈intS(x),則 η0(x,x)=0。令

    由例1知,雖然M中有些元素u所決定的GVQVLI不存在本質(zhì)解,但可以證明,?u∈M由u所決定的GVQVLI解集至少存在一個(gè)本質(zhì)連通解集,此時(shí),?u∈M,Φ(u)是K中的緊集。

    設(shè)u∈M,x∈Φ(u),Φ(u)中包含x的所有的連通子集的并集稱為Φ(u)的一個(gè)連通區(qū),Φ(u)的連通區(qū)是Φ(u)的連通閉子集,從而是連通的緊子集。Φ(u)中分別包含相異兩點(diǎn)的連通區(qū),要么是重合的,要么是不相交的,故Φ(u)被分解為一簇兩兩不相交的連通區(qū)的并集,即Φ(u)有如下的連通區(qū)分解:,其中 Λ 為一指標(biāo)集,對(duì)?α∈Λ,Φα(u)為一非空連通緊子集,且對(duì)?α,β∈Λ,α≠β,有Φα(u)∩Φβ(u)=?。

    定義3 對(duì)?u∈M,設(shè)G是其解Φ(u)的非空閉子集,稱G為Φ(u)的本質(zhì)集,若對(duì)包含G的K中任意開集O,即存在δ>0,使得對(duì)任意滿足ρ(u,u')<δ的u',有Φ(u')∩O≠?。若Φα(u)為Φ(u)的本質(zhì)集,則稱Φα(u)為Φ(u)的本質(zhì)連通區(qū)。Φ(u)的一個(gè)本質(zhì)集G稱為極小本質(zhì)集,若G在Φ(u)的所有本質(zhì)集的族中按包含關(guān)系所定的序關(guān)系是極小元。

    引理6 設(shè)A、B、C是賦范向量空間 E的非空有界凸子集,那么 h(A,λB+μC)≤λh(A,B)+μh(A,C),其中 h表示的是 Hausdorff距離,λ≥0,μ≥0且 λ +μ=1。

    定理4 對(duì)任意的u∈M,Φ(u)至少存在一個(gè)極小本質(zhì)集。

    證明由定理2知Φ是上半連續(xù)的,由上半連續(xù)的定義及定義3知Φ(u)本身就是一個(gè)本質(zhì)集。記Ψ為Φ(u)的所有本質(zhì)集全體,則(按包含關(guān)系定序)Ψ非空。對(duì)Ψ的任一非空全序子集φ,由于φ的每個(gè)成員都是緊的,故φ中所有成員之交仍為緊集,因而φ有下界。于是由Zorn引理可知φ有極小元,這個(gè)極小元就是Φ(u)的一個(gè)極小本質(zhì)集。

    定理5 對(duì)每一個(gè)u=(S,T,η0)∈M,Φ(u)的每一個(gè)極小本質(zhì)集都是連通的。

    證明設(shè)m(u)是Φ(u)的極小本質(zhì)集,若m(u)不是連通的,則存在Φ(u)的2個(gè)非空閉子集c1(u)和 c2(u)以及K 中2 個(gè)開集V1、V2,使得m(u)=c1(u)∪c2(u),c1(u)?V1,c2(u)?V2,V1∩V2= ?。由于m(u)是Φ(u)的極小本質(zhì)集,故c1(u)和c2(u)都不是本質(zhì)的。于是存在K中開集O1?c1(u),O2?c2(u),使對(duì)任意的 δ>0,存在 u1,u2∈M,從而

    記 W1=V1∩O1,W2=V2∩O2,則 W1、W2都是開集,且滿足 W1?c1(u),W2?c2(u),W1∩W2= ?。因?yàn)棣?u)是緊集,因而 c1(u)和 c2(u)是緊集。故存在 2個(gè)開集 U1、U2,使得,其中表示 U1在K 中的閉包。由于U1∪U2?m(u)以及 m(u)以及m(u)是本質(zhì)集,存在 δ'>0,使對(duì)任意滿足 ρ(u,u')< δ'的 u',有

    又由于 U1?O1,U2?O2,對(duì) δ'/2 >0,由式(2)知存在 u1,u2∈M,使得

    記 u1=(S1,T1,η0),u2=(S2,T2,η0),現(xiàn)構(gòu)造一個(gè) u'=(S',T',η0)如下:

    所以,根據(jù)式(4)有

    再由式(3)得

    但是由 u'的構(gòu)造又有如下事實(shí):設(shè) x∈U1,則當(dāng) λ(x)=1,μ(x)=0時(shí),有 S'(x)=S1(x),T'(x)=T1(x);若 x∈Φ(u'),則 x∈S'(x)=S1(x),且存在 t∈T'(x)=T1(x),使得〈t,η0(y,x)〉? - intC,對(duì)于任意的y∈S'(x)=S1(x)。于是x∈Φ(u1),這與式(4)矛盾。故Φ(u')∩U1=?。同理可證Φ(u')∩U2=?。所以Φ(u')∩(U1∪U2)=?,這與式(5)矛盾,因此m(u)必是連通的。

    定理6 對(duì)每一u∈M,Φ(u)中至少存在一個(gè)本質(zhì)連通區(qū)。

    證明由定理4、5知,Φ(u)中至少存在一個(gè)連通的極小本質(zhì)集G,而G必包含于Φ(u)的連通區(qū)Φα(u),因?yàn)镚是本質(zhì)的,由定義可知Φα(u)就是Φ(u)的本質(zhì)連通區(qū)。

    定理7 若u∈M使得Φ(u)僅由孤立點(diǎn)組成,則u是弱本質(zhì)的,特別的,若Φ(u)是單點(diǎn)集,則u必是本質(zhì)的。

    4 本質(zhì)連通區(qū)的連續(xù)性

    已知(M,ρ)是一個(gè)可測(cè)空間,而(K,d)是緊的可測(cè)空間。對(duì)于任意的 ε>0,x∈K,A?M,記O(x,ε)= {u∈M:ρ(x,u)<ε },U(ε,A)= {y∈K:?u∈A,使得 d(u,y)< ε},B(ε,A)={y∈K:?u∈A,使得 d(u,y)≤ε}。顯然,U(ε,A)是開集,而當(dāng)A是緊集時(shí)B(ε,A)是閉集。

    定理8 對(duì)于任意的u∈M,如果m(u)是Φ(u)的最小本質(zhì)集,那么對(duì)于任意的ε>0,?δ>0,使得對(duì)于任意 u'∈M,若滿足 ρ(u,u')<δ,則存在 Φ(u')的最小本質(zhì)集 m(u'),并且有m(u')?B(ε,m(u))。

    證明假設(shè)結(jié)論不成立,即存在ε0>0,使得對(duì)任意的δ>0,都存在u'∈M,ρ(u,u')<δ滿足m(u')?B(ε0,m(u)),其中m(u')是Φ(u')中任意的最小本質(zhì)集。

    由于m(u)是 Φ(u)的本質(zhì)集,則對(duì)以上的 ε0>0,存在 δ0>0,使得對(duì)任意的 u'∈M 且 ρ(u,u')< δ,有 U(ε0,m(u))∩Φ(u')≠?。

    又因?yàn)?B(ε0,m(u))∩Φ(u')是 Φ(u')中的閉子集并且 B(ε0,m(u))∩Φ(u')?B(ε0,m(u)),再由假設(shè)知 m(u')?B(ε0,m(u)),所以 B(ε0,m(u))∩Φ(u')不是 Φ(u')的本質(zhì)集。那么,存在 ε1>0,使得對(duì)于任意的 δ>0,存在 u″∈M,ρ(u',u″)<δ,但是 U(ε1,B(ε0,m(u))∩Φ(u'))∩Φ(u″)=?。

    令 δ1,δ2,δ3,…是單調(diào)下降趨向于 0 的序列,使得 O(u',δn)?O(u,δ0)。再取 un∈O(u',δn),滿足U(ε1,B(ε0,m(u))∩Φ(u'))∩Φ(un)=?。由于 ρ(u,un)< δ0,U(ε0,m(u))∩Φ(un)≠?,再令 yn∈U(ε0,m(u))∩Φ(un),因?yàn)?K 是緊集,所以不失一般性,假設(shè) yn→y0∈B(ε0,m(u))。又因?yàn)?xn→x',yn∈Φ(xn),yn→y0,且 Φ 是 usco 的,所以就有 y0∈Φ(u')。然而,yn∈Φ(un),U(ε1,B(ε0,m(u))∩Φ(u'))∩Φ(un)=?,所以就有 yn?U(ε1,B(ε0,m(u))∩Φ(u'))。再由 yn→y0,就可以得到 y0?U(ε1/2,B(ε0,m(u))∩Φ(u')),這與 y0∈B(ε0,m(u))∩Φ(u')矛盾。所以結(jié)論成立。

    定理9 對(duì)于任意的u∈M,如果c(u)是Φ(u)的最小本質(zhì)區(qū),并且存在ε0>0,使得B(ε0,c(u))∩B(ε0,Φ(u)c(u))=?,那么對(duì)任意的 ε >0,?δ>0,使得對(duì)于任意 u'∈M,若滿足 ρ(u,u')< δ,則存在Φ(u')的最小本質(zhì)區(qū)c(u'),并且有c(u')?B(ε,c(u))。

    證明首先,存在Φ(u)的最小本質(zhì)集m(u),滿足m(u)?c(u)。再根據(jù)定理8,?ε>0,?δ1>0,使得?u'∈M,ρ(u,u')<δ1,存在 Φ(u')的最小本質(zhì)集 m(u'),滿足 m(u')?B(ε,m(u)?B(ε,c(u))。又有Φ(u')的一個(gè)區(qū)c(u'),滿足m(u')?c(u'),所以顯然c(u')是Φ(u')的一個(gè)本質(zhì)區(qū)。

    Φ在u處是上半連續(xù)的,所以存在 δ2>0,使得對(duì)于任意的 u'∈M,ρ(u,u')<δ2,有 Φ(u')?U(ε,Φ(u))?B(ε,c(u))∪B(ε,Φ(u)c(u))。下證 Φ(u)c(u)是閉集,故也是緊的。對(duì)于?yn∈Φ(u)c(u),yn→y,有 yn∈Φ(u),yn?c(u)。由于 Φ(u)是緊的,有 y∈Φ(u)。如果 y∈c(u),則對(duì)于足夠大的 n,yn∈B(ε0,c(u))成立,但是這與 B(ε0,c(u))∩B(ε0,Φ(u)c(u))= ?矛盾,因此 y?c(u),y∈Φ(u)c(u),所以,Φ(u)c(u)是閉集因而是緊的。

    令 δ=min{ δ1,δ2},對(duì)于?u'∈M,ρ(u,u')< δ,若 c(u')?B(ε,c(u)),那么 c(u')∩B(ε,Φ(u)c(u))≠?且 c(u')∩B(ε,Φ(u))≠φ(因?yàn)?m(u')是它們的子集)。注意到當(dāng) ε <ε0時(shí),B(ε,c(u))∩B(ε,Φ(u)c(u))=?。由于 c(u)和 Φ(u)c(u)都是緊的,所以 B(ε,c(u))和 B(ε,Φ(u)c(u))都是閉集。也就是非空連通集c(u')與2個(gè)非空閉集相交,不可能成立。因此就有結(jié)論c(u')?B(ε,c(u))。

    備注2 如果Φ(u)是連通的,即Φ(u)的唯一本質(zhì)區(qū)就是它自己,那么由于Φ是上半連續(xù)的,則對(duì)于?ε>0,?δ>0,使得?u'∈M,ρ(u,u')< δ,有,因此,對(duì)于 Φ(u')的任一本質(zhì)區(qū) c(u'),有 c(u')?Φ(u')?B(ε,Φ(u))成立。

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