基于阻抗分析法的壓電片尺寸分析

曹艷芹，鄧國紅，楊鄂川，歐 健

(重慶理工大學(xué) 重慶汽車學(xué)院，重慶 400054)

壓電陶瓷因其具有體積小、質(zhì)量小、機電轉(zhuǎn)換效率高等特點，是振動控制技術(shù)中一種很好的作動器元件。影響振動控制效果的因素主要有智能材料的位置、數(shù)量以及尺寸等，合理的布置與尺寸能在較小的能量損耗下最大限度地抑制振動。目前，智能材料的優(yōu)化配置方法主要有基于系統(tǒng)可控性和可觀性準則、基于系統(tǒng)能量準則、基于控制和觀測溢出的配置準則以及應(yīng)變能準則等［1－3］。文獻［4］指出在智能結(jié)構(gòu)中壓電元件存在一最佳厚度使有效彎矩最大。文獻［5］采用LQR法討論了壓電片位置和大小對控制效果的影響。文獻［6］采用提出的優(yōu)化模型及算法對懸臂梁壓電片的位置、尺寸和控制參數(shù)進行優(yōu)化。

阻抗法與其他方法相比，優(yōu)點是能抓住PZT片與結(jié)構(gòu)之間機電耦合的物理實質(zhì)，更方便地建立更完善的理論模型［7］。文獻［8］用阻抗分析法對薄板和薄圓筒進行建模分析，并且與靜力法和實驗法所得結(jié)果進行比較，說明阻抗分析法比靜力法更接近實驗結(jié)果。文獻［9］比較了靜力法、動態(tài)有限元法和阻抗法3種分析方法，指出:靜力法實現(xiàn)簡單，但是會產(chǎn)生較大誤差;動態(tài)有限元法可以準確反映結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)，但是不能反映系統(tǒng)的物理實質(zhì);阻抗法不僅能反映系統(tǒng)的物理實質(zhì)，而且能更精確地反映結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)。在國內(nèi)，對于阻抗分析法也有研究，如文獻［10］采用阻抗分析法考察不同尺寸的壓電片產(chǎn)生的作用力情況，并進行了驗證。

本文就四邊簡支壓電薄板結(jié)構(gòu)的尺寸問題進行了研究和探討。首先介紹了靜力法與阻抗分析法的相關(guān)理論，并在Matlab軟件中對貼有不同尺寸的壓電薄板結(jié)構(gòu)進行仿真，計算出不同尺寸壓電片產(chǎn)生的等效彎矩，將結(jié)果進行比較。通過對比分析，根據(jù)不同尺寸的壓電片所產(chǎn)生的等效彎矩選擇出最佳壓電片。

1 靜力法與阻抗分析法

1.1 靜力法

考慮上下表面對稱粘貼壓電片的四邊簡支薄板，如圖1所示。a、b和h分別為薄板的長、寬和厚度;x1、x2、y1、y2為壓電片粘貼在薄板上的位置坐標;Mx、My分別為在外電場作用下壓電片產(chǎn)生沿x、y方向的等效彎矩;u、v分別為在外電場作用下壓電片沿x、y方向的位移。

在靜力法中，假定對于粘貼在薄板上并在x和y方向產(chǎn)生大小相等的自由應(yīng)變的作動器，在x和y方向上的正應(yīng)力也將相等，也就是在x和y方向產(chǎn)生的等效分布彎矩相等，并且等效分布彎矩與輸入頻率無關(guān)，這顯然不能正確反映壓電片與薄板之間的動態(tài)關(guān)系，與實際情況有差距。文獻［11］對粘貼有壓電作動器的薄板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進行詳細分析，對于粘貼層厚度為0的情況(一般假定)，可以得到沿x和y方向的等效分布彎矩(單位長度的彎矩)為

其中:

式(1)～(5)中:h、hp為薄板與壓電片的厚度;E、Ep為薄板與壓電片的彈性模量;μ、μp為薄板與壓電片的泊松比;V為所加電壓;d31、d32為壓電片的壓電常數(shù)。

圖1 貼有壓電片的四邊簡支矩形薄板結(jié)構(gòu)

從式(1)～(5)可以計算出使作動器產(chǎn)生最大分布彎矩的最佳壓電作動器與薄板厚度的比值，不能反映分布彎矩與壓電片的大小尺寸的關(guān)系，并且分布彎矩與輸入頻率無關(guān)。通過以上數(shù)學(xué)模型，有研究結(jié)果表明所用作動器最佳厚度約為鋼板厚度的一半，對于鋁板約為其厚度的四分之一。但是，也可以看出靜力法并不能確定或者選擇出最佳作動器的長寬尺寸，也不能反映系統(tǒng)與輸入頻率的動態(tài)關(guān)系。

1.2 阻抗分析法

在阻抗分析法中，定義

其中Z是系統(tǒng)的機械阻抗。在如圖1所示的二維薄板結(jié)構(gòu)中，若沿z方向外加一個電壓，則壓電片產(chǎn)生的等效力為

其中Fx、Fy分別表示x和y方向上的等效力;Zxx、Zyy表示結(jié)構(gòu)的直接阻抗;Zxy、Zyx表示結(jié)構(gòu)的交叉阻抗分別表示壓電片沿x和y方向上的速度響應(yīng)。式中的負號表示結(jié)構(gòu)的響應(yīng)與壓電片產(chǎn)生的等效力方向相反。

由機械阻抗理論(阻抗與導(dǎo)納的關(guān)系)知:

其中Q矩陣表示系統(tǒng)的機械導(dǎo)納，它們分別為:

式中:ρ表示薄板的密度;ω表示輸入頻率;ωmn表示薄板的固有頻率，可以由以下式求出［12］:

由彈性理論和薄板理論推導(dǎo)出壓電作動器產(chǎn)生的等效分布力(彎矩)，即單位長度的等效力(彎矩):

式中的N為:

其中Zpx和Zpy表示短路時壓電片在作用點處的輸入阻抗，

式中kp表示各向同性壓電材料的波數(shù)，

其中:ρp為壓電片的密度為壓電片的復(fù)彈性模量;η為損耗因子。

對于整個系統(tǒng)而言，壓電片產(chǎn)生的等效彎矩為:

式中δ()·和h()·分別為Direc-delta和Heaviside函數(shù)。

由式(7)～(17)可以看出，壓電片產(chǎn)生的等效彎矩是與輸入頻率、壓電片位置尺寸有關(guān)的函數(shù)，通過此方法計算出在壓電片尺寸不同，其他條件均相同時壓電片產(chǎn)生的等效彎矩，進而比較彎矩的大小，從而選擇出最佳壓電片尺寸。

2 數(shù)值建模與仿真

一塊四邊簡支的矩形鋁制薄板，尺寸為300 mm×200 mm×1mm，板的實彈性模量為6.8 ×1010Pa，體密度為 2 800 kg/m3，薄板上下表面中心處均貼有壓電片。壓電片的實彈性模量為6.3 ×1010Pa，體密度為 7 650 kg/m3，壓電常數(shù)d31=d32=1.6×10－10m/V。薄板與壓電片的泊松比分別為0.33、0.3，損耗因子均為0.005。外加電壓幅值為100 V。

利用四邊簡支薄板彈性理論，計算出薄板的固有頻率，如表1所示。

表1 四邊簡支薄板的固有頻率 Hz

選擇尺寸分別為40 mm×20 mm×0.8 mm，40 mm×20 mm ×0.2 mm，50 mm ×20 mm ×0.2 mm，50 mm×30 mm×0.2 mm的壓電片，并給它們依次編號為p1，p2，p3，p4。下面根據(jù)阻抗分析法分別計算在其他條件相同的情況下，不同尺寸的壓電片置于薄板中心處所產(chǎn)生的等效彎矩，計算結(jié)果如圖2所示。

圖2中，壓電片產(chǎn)生的等效彎矩是頻率的函數(shù)，在靠近板的固有頻率(1，1)，(2，2)處等效彎矩的幅值變化較大，這是壓電片與薄板動態(tài)耦合的結(jié)果。

圖2(a)和(b)分別表示p1和p2產(chǎn)生的等效彎矩Mx、My，通過比較可看出p2產(chǎn)生的等效彎矩比p1大;圖2(c)和(d)分別表示p2和p3產(chǎn)生的等效彎矩Mx、My，通過比較可看出p3產(chǎn)生的等效彎矩比p2大;圖2(e)和(f)分別表示p3和p4產(chǎn)生的等效彎矩Mx、My，通過比較可看出p4產(chǎn)生的等效彎矩比p3大。由上面的比較結(jié)果可以說明4種壓電片產(chǎn)生的等效彎矩由大到小是p4、p3、p2、p1，由此可以確定在本文所研究的結(jié)構(gòu)中選用p4作為壓電作動器，產(chǎn)生的等效彎矩相對最大。

經(jīng)由以上結(jié)果對比分析可見:壓電片長寬尺寸相同時，厚度的大小對等效彎矩的大小關(guān)系很大，厚度較小時產(chǎn)生的等效彎矩大;壓電片厚度相同時，壓電片面積越大產(chǎn)生的等效彎矩越大。

圖2 不同尺寸壓電片產(chǎn)生的等效彎矩

3 結(jié)束語

針對壓電片尺寸問題，利用阻抗分析法對貼用不同尺寸壓電片的四邊簡支壓電薄板進行分析，計算出單對壓電片作用于薄板中心位置處的產(chǎn)生的等效彎矩大小，通過對比可以選擇出最佳壓電片，并得出相關(guān)結(jié)論。本文只討論了單對壓電片作用下的簡支薄板結(jié)構(gòu)，對多對壓電片作用下以及其他支撐形式的壓電薄板結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的等效彎矩需進一步研究。另外，對壓電片大小的最優(yōu)化問題亦需進一步分析。

［1］杜社亮，傅建中，陳子辰.智能結(jié)構(gòu)中熱壓電致動器和傳感器的優(yōu)化配置［J］.中國機械工程，2001，12(9):1054－1056.

［2］杜立群，顏云輝，王德俊.智能柔性結(jié)構(gòu)振動主動控制中驅(qū)動器的最優(yōu)配置［J］.機械科學(xué)與技術(shù)，1999，18(4):528－531.

［3］張建輝.智能結(jié)構(gòu)的研究現(xiàn)狀及其前景展望［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2008，8(21):5886 －5890.

［4］馬治國，聞邦椿，顏云輝.智能結(jié)構(gòu)中壓電元件的最佳厚度［J］.東北大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，1998，19(6):584－587.

［5］吳磊，王建國.壓電片位置和大小對板振動控制的影響［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2007，30(8):1024 －1027.

［6］朱燈林，呂蕊，俞潔.壓電智能懸臂梁的壓電片位置、尺寸及控制融合優(yōu)化設(shè)計［J］.機械工程學(xué)報，2009，45(2):262－267.

［7］石銀明，華宏星，傅志方，等.壓電智能結(jié)構(gòu)的一種建模方法［J］.壓電與聲光，1999，21(6):498 －501.

［8］Su-Wei Zhou，Chen Liang，Rogers C A.An impedancebased system modeling approach for induced strain actuator-driven structures［J］.Journal of Vibration and Acoustics，1996，118(7):323 －331.

［9］Liang C，Sun F P，Rogers C A.An impedance method for dynamic analysis of active material system［J］.Journal of Intelligent Material Systems and Structures，1997，8(4):323－334.

［10］黃鎖成.利用壓電陶瓷進行車內(nèi)噪聲主動控制理論與技術(shù)的研究［D］.上海:同濟大學(xué)，2002.

［11］C.H.漢森，S.D.斯奈德.噪聲和振動的主動控制［M］.儀垂杰，譯.北京:科學(xué)出版社，2002.

［12］徐芝綸.彈性力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2006.