姚 元 鄭劍鋒 馮正和
(清華大學(xué)電子工程系,北京 100084)
多輸入多輸出(MIMO)無(wú)線通信系統(tǒng)在收發(fā)端同時(shí)采用多根天線單元,通過(guò)利用無(wú)線信道的空間資源,可以極大提高通信容量[1]。然而,MIMO通信系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)和成功應(yīng)用在很大程度上依賴(lài)于對(duì)MIMO信道復(fù)雜空時(shí)特性的深入了解。因此,MIMO信道建模成為近年來(lái)的研究熱點(diǎn)[1-9]。
MIMO無(wú)線信道包含收發(fā)天線陣列和無(wú)線傳播環(huán)境兩部分,如圖1所示。目前,MIMO信道模型從建模方法及范圍上可以分為兩大類(lèi):物理模型和解析模型[2]。物理模型對(duì)MIMO信道中的無(wú)線傳播環(huán)境部分進(jìn)行描述,而未包含天線陣列的影響。典型的物理模型如雙方向信道模型[6-7],通過(guò)關(guān)鍵的物理傳播參數(shù)描述無(wú)線傳播環(huán)境,這些物理參數(shù)包括多徑傳播的路徑衰減、離開(kāi)角、到達(dá)角、延時(shí)等。物理模型獨(dú)立于所使用的天線陣列,因此具有通用性的優(yōu)點(diǎn),可方便用于評(píng)估不同天線陣列配置的MIMO系統(tǒng)的性能。然而物理模型的復(fù)雜度往往較高,而且難以進(jìn)行系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)。
圖1 MIMO無(wú)線信道及模型范圍示意圖
另一方面,解析模型對(duì)MIMO信道矩陣直接進(jìn)行數(shù)學(xué)描述,考慮了天線陣列和無(wú)線傳播環(huán)境的共同影響。典型的解析模型如基于空間相關(guān)性的隨機(jī)模型[1,8-9]。解析模型能夠提供MIMO信道矩陣的解析表達(dá)式,因此非常適合用于系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì),而且復(fù)雜度較低。然而,解析模型在建模時(shí)已經(jīng)將天線陣列的影響考慮在內(nèi),因此其只能用于具有相同天線陣列配置的MIMO系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。即解析模型是天線非獨(dú)立的,不具有通用性。而且,在解析模型中無(wú)法分別考察天線陣列和無(wú)線傳播環(huán)境對(duì)MIMO系統(tǒng)性能的影響。因此,對(duì)于給定的無(wú)線傳播環(huán)境,難以進(jìn)行天線陣列的優(yōu)化設(shè)計(jì)。圖1給出了物理模型和解析模型的建模范圍。
針對(duì)現(xiàn)有MIMO信道模型所存在的不足,擬建立一種天線獨(dú)立的解析MIMO信道模型。首先通過(guò)三維陣列流形分離技術(shù)[10-12]將MIMO無(wú)線信道中的天線陣列和無(wú)線傳播環(huán)境分離開(kāi)來(lái),然后利用Weichselberger模型[9]的建模思想對(duì)分離后的無(wú)線傳播環(huán)境部分單獨(dú)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模,得到一種天線獨(dú)立的隨機(jī)MIMO信道模型。所建立的模型既具有物理模型天線獨(dú)立的通用性?xún)?yōu)點(diǎn),可方便用于系統(tǒng)性能評(píng)估;又提供了MIMO信道矩陣的解析表達(dá)式,可方便用于系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì),并且復(fù)雜度較低。同時(shí),天線陣列與無(wú)線傳播環(huán)境的分離使得可以單獨(dú)考察它們對(duì)MIMO系統(tǒng)性能的影響,并且便于研究給定無(wú)線傳播環(huán)境下收發(fā)天線陣列的優(yōu)化設(shè)計(jì)。
陣列流形分離技術(shù)最初由文獻(xiàn)[10]提出,最近在陣列信號(hào)處理和測(cè)向等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[11-12]。考慮一個(gè)任意形狀的N單元單極化天線陣列,其導(dǎo)向矢量為b(θ,φ)=[b1(θ,φ),…,bN(θ,φ)]T∈CN×1,其中CN×1表示N維復(fù)向量空間,(·)T表示轉(zhuǎn)置,φ∈[0,2π)表示方位角,θ∈[0,π] 表示俯仰角。依據(jù)陣列流形分離技術(shù),b(θ,φ)可以分解為[10-12]
b(θ,φ)=Γy(θ,φ)+ε(θ,φ)
(1)
式中:?!蔆N×M稱(chēng)為采樣矩陣;CN×M表示N×M復(fù)矩陣空間,采樣矩陣僅依賴(lài)于天線陣列的屬性,而和無(wú)線傳播環(huán)境無(wú)關(guān);y(θ,φ)∈CM×1為空間基函數(shù)向量,其和天線陣列的屬性無(wú)關(guān),M為空間基函數(shù)數(shù)目;ε(θ,φ)∈CN×1為陣列流形分解誤差向量,該誤差在M足夠大時(shí)基本可以忽略。
在三維空間中常用球諧基函數(shù)作為空間基函數(shù),即[10,12-13]
(2)
(3)
式中: (·)*表示共軛; δll′表示離散Delta函數(shù)。定義單序號(hào)ξ=2++m+1,則y(θ,φ)的第ξ個(gè)元素即為可表示為
(4)
式中L與M的關(guān)系為M=(L+1)2.
采樣矩陣Γ包含了天線陣列的所有信息,如陣列單元方向圖、陣列單元位置等,同時(shí)還包含了陣列單元之間的耦合、陣列制造誤差等非理想特性,因此,陣列流形分離技術(shù)很適合用來(lái)描述現(xiàn)實(shí)中所使用的天線陣列。在實(shí)際應(yīng)用中,采樣矩陣??梢酝ㄟ^(guò)天線陣列的校準(zhǔn)測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算獲得[10-12]。
為了簡(jiǎn)化分析,假設(shè)天線陣列單元為理想全向天線,并且不考慮天線耦合等非理想特性,則天線陣列導(dǎo)向矢量的第n個(gè)元素(1≤n≤N)可表示為[14]
bn(θ,φ)=exp(i2πpn·e)
(5)
式中:pn表示第n個(gè)天線陣列單元的位置矢量,該單元對(duì)波長(zhǎng)進(jìn)行歸一化的球坐標(biāo)為(rn,θn,φn);e表示指向(θ,φ)的單位矢量。此時(shí),利用式(3)所示球諧基函數(shù)的正交性可計(jì)算采樣矩陣Γ的第n行第ξ列元素為[10]
=4π(i)j
(6)
式中:j(·)表示第一類(lèi)球貝塞爾函數(shù)。
以圖2中的圓柱陣列(CA)和球陣列(SA)為例,它們的導(dǎo)向矢量為
bCA(θ,φ)= exp(i2π(RCAsinθcos(φ-φp)+
zqcosθ))
bSA(θ,φ)= exp(i2πRSA(sinθsinθqcos(φ-
φp)+cosθcosθq))
式中,(RCA,φp,zq)和(RSA,φp,θq)(0≤p≤P-1,0≤q≤Q-1)分別表示圖2中圓柱陣列和球陣列第q層第p個(gè)天線單元對(duì)波長(zhǎng)進(jìn)行歸一化的圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)。天線陣列單元總數(shù)為N=PQ.取φp=2πp/P,zq=0.3(q-1),θq滿(mǎn)足方程PQ(cosθq)=0,其中PQ(·)表示Q階勒讓德多項(xiàng)式。
圖2 圓柱陣列和球陣列示意圖
定義陣列流形分解的均方根誤差(RMSE)為
(7)
圖3給出不同天線陣列參數(shù)下圓柱陣列和球陣列的RMSE與空間基函數(shù)數(shù)目之間的關(guān)系。
圖3 不同天線陣列的建模誤差與空間基函數(shù)數(shù)目的關(guān)系
由圖3可知,天線陣列的建模誤差隨著空間基函數(shù)的增多而快速減小,在空間基函數(shù)足夠多時(shí)基本可以忽略。當(dāng)P=5,Q=3時(shí),圓柱陣列的外接球半徑和球陣列半徑相等(都為0.5個(gè)波長(zhǎng)),它們的RMSE曲線十分接近。當(dāng)RSA=0.5時(shí),增大球陣列單元數(shù)目并不改變其RMSE曲線,而當(dāng)P=Q=7時(shí),球陣列半徑越大,同等RMSE條件下所需要的空間基函數(shù)越多。這說(shuō)明在給定的陣列建模誤差條件下,所需要的空間基函數(shù)數(shù)目和天線陣列的單元數(shù)目沒(méi)有直接聯(lián)系,而主要和天線陣列體積相關(guān):天線陣列體積越大,同等建模誤差條件下所需要的空間基函數(shù)越多。
考慮如圖1所示的具有NT根發(fā)射天線和NR根接收天線的單極化窄帶MIMO系統(tǒng),其無(wú)線信道的輸入輸出關(guān)系可表示為
x=Hs+n
(8)
式中:s∈CNT×1表示發(fā)射信號(hào)向量;x∈CNR×1表示接收信號(hào)向量;n∈CNR×1表示信道噪聲;H∈CNR×NT表示聯(lián)系發(fā)射信號(hào)和接收信號(hào)的信道響應(yīng)矩陣,它表征了MIMO無(wú)線信道的特性。
在雙方向模型中,MIMO信道矩陣H被視為多條傳播路徑的線性疊加,其可表示為[6-7]
(9)
式中:αl、(θT,l,φT,l)和(θR,l,φR,l)(1≤l≤Lpath)分別表示第l條傳播路徑的復(fù)數(shù)衰減、離開(kāi)角和到達(dá)角,Lpath為多徑數(shù)目;bT(θ,φ)和bR(θ,φ)分別表示發(fā)射和接收天線陣列的導(dǎo)向矢量; (·)H表示共軛轉(zhuǎn)置。
依據(jù)式(1)所示的陣列流形分離技術(shù),并且假設(shè)空間基函數(shù)數(shù)目足夠大,則忽略天線陣列建模誤差后收發(fā)天線陣列的導(dǎo)向矢量可表示為
(10)
式中:ΓT∈CNT×MT和ΓR∈CNR×MR分別表示發(fā)射和接收天線陣列所對(duì)應(yīng)的采樣矩陣;yT(θ,φ)∈CMT×1和yR(θ,φ)∈CMR×1為類(lèi)似式(4)所示的球諧基函數(shù)向量,并且有MT=(LT+1)2,MR=(LR+1)2.
由于采樣矩陣ΓT和ΓR與無(wú)線傳播環(huán)境無(wú)關(guān),將式(10)代入式(9)可得
(11)
式中矩陣H0∈CMR×MT為
(12)
由式(11)可知,利用陣列流形分離技術(shù)可將MIMO信道矩陣H分解為兩部分:一部分為發(fā)射和接收天線陣列所對(duì)應(yīng)的采樣矩陣ΓT和ΓR,其僅依賴(lài)于天線陣列的屬性,而和無(wú)線傳播環(huán)境無(wú)關(guān),對(duì)于給定的天線陣列而言,它們是常數(shù)矩陣;另一部分為矩陣H0,其和收發(fā)天線陣列的屬性無(wú)關(guān),而僅與隨機(jī)的無(wú)線傳播環(huán)境相關(guān),表征的是無(wú)線傳播環(huán)境的固有特性。對(duì)比式(9)和式(12)可將矩陣H0理解為球諧函數(shù)各模式之間的無(wú)線信道響應(yīng)矩陣。因此,利用三維陣列流形分離技術(shù),實(shí)現(xiàn)了MIMO無(wú)線信道中天線陣列和無(wú)線傳播環(huán)境的分離。
基于空間相關(guān)性的隨機(jī)MIMO信道模型假設(shè)信道矩陣H的元素為聯(lián)合多元高斯分布。此時(shí),矩陣H各元素之間的相關(guān)性,即全相關(guān)矩陣R可以完全描述信道矩陣H的統(tǒng)計(jì)特性
R=E[hhH]∈CNTNR×NTNR
(13)
式中:E[·]表示取平均;h=vec(H)∈CNTNR×1表示將信道矩陣H各列堆疊形成的列向量,vec(·)表示矩陣向量化。
將式(11)代入式(13),并利用矩陣向量化的性質(zhì):vec(ABC)=(CT?A)vec(B),其中?表示矩陣的Kronecker積,可得
(14)
由式(14)可知,全相關(guān)矩陣R是矩陣R0的線性變換,該變換關(guān)系由收發(fā)天線陣列的采樣矩陣共同決定。一旦確定了矩陣R0便可以確定MIMO信道的全相關(guān)矩陣R。因此,空間相關(guān)性的建模思想同樣可用來(lái)描述天線獨(dú)立的隨機(jī)矩陣H0.
在傳統(tǒng)基于空間相關(guān)性的隨機(jī)MIMO信道模型中,Weichselberger模型[9]在復(fù)雜度和準(zhǔn)確度之間取得了較好折中,與信道測(cè)量結(jié)果吻合較好,因此,借鑒該模型的建模方法對(duì)矩陣H0進(jìn)行統(tǒng)計(jì)描述。定義發(fā)射和接收模式相關(guān)矩陣為[2,9]
(15)
式中:UT∈CMT×MT,UR∈CMR×MR為酉矩陣,它們的列向量分別為矩陣RT和RR的特征向量;ΛT∈CMT×MT和ΛR∈CMR×MR為對(duì)角矩陣,它們的對(duì)角元素分別為矩陣RT和RR的特征值。則天線獨(dú)立的隨機(jī)矩陣H0可表示為
(16)
式中:矩陣G∈CMR×MT的元素為零均值單位方差的復(fù)高斯隨機(jī)變量; 矩陣Ω是MR×MT的非負(fù)實(shí)矩陣,其元素表征了無(wú)線傳播環(huán)境收發(fā)端各特征模式之間的功率耦合關(guān)系。矩陣Ω滿(mǎn)足下列等式
(17)
式中⊙表示矩陣Hadamard積。
最后,將式(16)代入式(11)中,可得到一種天線獨(dú)立的隨機(jī)MIMO信道模型
(18)
在所建立的模型中,需要確定的參數(shù)包括僅與收發(fā)天線陣列相關(guān)的確定性參數(shù)MT、MR、ΓT和ΓR,以及僅與無(wú)線傳播環(huán)境相關(guān)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)UT、UR和Ω,下面對(duì)這些參數(shù)依次進(jìn)行討論。
由前文分析可知,MT和MR主要和天線陣列體積相關(guān)。在給定的天線陣列建模誤差條件下,陣列體積越大,所需要的空間基函數(shù)越多。在實(shí)際應(yīng)用中,可以利用數(shù)值方法來(lái)確定MT和MR的最小取值,以使得天線陣列建模誤差在允許范圍之內(nèi)。增大MT和MR可以提高信道模型的準(zhǔn)確度,但是模型的復(fù)雜度也隨之提高。
矩陣ΓT和ΓR作為發(fā)射和接收天線陣列的采樣矩陣,對(duì)于給定的天線陣列,它們是常數(shù)矩陣。對(duì)于理想的天線陣列,采樣矩陣各元素表達(dá)式如式(6)所示;而對(duì)于實(shí)際的非理想天線陣列,采樣矩陣可以通過(guò)天線陣列的校準(zhǔn)測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算獲得[10-12]。
由式(15)和(17)可知,天線獨(dú)立的矩陣UT、UR和Ω都可由矩陣H0計(jì)算獲得,而矩陣H0可由式(12)計(jì)算。式(12)中各物理傳播參數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布既可以通過(guò)實(shí)際測(cè)量結(jié)果獲得,也可以從現(xiàn)有物理模型[2-7]中獲得。
在模型復(fù)雜度方面,僅需要考慮和隨機(jī)無(wú)線傳播環(huán)境相關(guān)的模型參數(shù),即矩陣UT、UR和Ω的元素?cái)?shù)目。Weichselberger模型所需要的實(shí)參數(shù)數(shù)目為NT(NT-1)+NR(NR-1)+NTNR.類(lèi)似的,新模型需要MT(MT-1)+MR(MR-1)+MTMR個(gè)實(shí)參數(shù)。因此,當(dāng)空間基函數(shù)數(shù)目M比天線陣列單元數(shù)目N小時(shí),單次仿真中新模型復(fù)雜度比Weichselberger模型更低,否則后者更優(yōu)。由前文分析可知,M主要和天線陣列體積相關(guān),而和天線單元數(shù)目N沒(méi)有直接聯(lián)系。因此,如果在給定體積內(nèi)放置較少的天線單元,則新模型復(fù)雜度比Weichselberger模型高,如果在給定體積內(nèi)放置了大量密集的天線單元,則新模型將更加有效。
當(dāng)利用模型考察給定無(wú)線傳播環(huán)境下不同MIMO系統(tǒng)的性能,則新模型更具優(yōu)勢(shì)。這是因?yàn)橐坏┫到y(tǒng)更換了所使用的收發(fā)天線陣列,Weichselberger模型就需要重新計(jì)算模型參數(shù)。而對(duì)于給定的無(wú)線傳播環(huán)境,新模型僅需要計(jì)算一次模型參數(shù),當(dāng)所使用的天線陣列特性發(fā)生改變,則只需要替換相應(yīng)的采樣矩陣。這使得新模型具有像物理模型一樣的通用性?xún)?yōu)點(diǎn)。
在系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方面,Weichselberger模型對(duì)信道矩陣H直接進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模,已經(jīng)將天線陣列和無(wú)線傳播環(huán)境的共同影響考慮在內(nèi),因此,對(duì)于給定的無(wú)線傳播環(huán)境,無(wú)法進(jìn)行天線陣列的優(yōu)化設(shè)計(jì)。而新模型實(shí)現(xiàn)了天線陣列與無(wú)線傳播環(huán)境的分離,可以依據(jù)隨機(jī)無(wú)線傳播環(huán)境的統(tǒng)計(jì)信息,對(duì)天線陣列的采樣矩陣進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整與設(shè)計(jì),以?xún)?yōu)化MIMO系統(tǒng)某一項(xiàng)指標(biāo),如分集增益或者平均信道容量等[15]。
為了驗(yàn)證所建模型的正確性和有效性,進(jìn)行了數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)。為了簡(jiǎn)便,假設(shè)發(fā)射和接收天線陣列相同,故有NT=NR=N,MT=MR=M.
選取MIMO信道容量作為評(píng)估準(zhǔn)則。當(dāng)發(fā)射端不具有信道狀態(tài)信息,將功率均勻分配給各發(fā)射天線時(shí),MIMO信道容量為[1]
(19)
為了進(jìn)行廣泛比較,選取了典型室內(nèi)、3GPP SCME標(biāo)準(zhǔn)模型的城市微小區(qū)[16]和ITU標(biāo)準(zhǔn)模型的郊區(qū)非視距宏小區(qū)[17]三種場(chǎng)景。在典型室內(nèi)環(huán)境中假設(shè)存在5個(gè)散射體簇,各散射體簇所對(duì)應(yīng)的平均離開(kāi)和到達(dá)方位角在0至360°內(nèi)均勻分布;每個(gè)散射體簇內(nèi)含有20個(gè)多徑分量,這些傳播路徑的離開(kāi)和到達(dá)方位角在簇內(nèi)呈Laplacian分布,Laplacian分布的角度擴(kuò)展為26°.這些無(wú)線傳播環(huán)境參數(shù)與典型室內(nèi)環(huán)境的測(cè)量結(jié)果相吻合[2-7]。而城市微小區(qū)和郊區(qū)非視距宏小區(qū)的無(wú)線傳播環(huán)境參數(shù)則分別依據(jù)文獻(xiàn)[16]和[17]進(jìn)行設(shè)置。此外,假設(shè)所有多徑的離開(kāi)和到達(dá)俯仰角在60°至90°內(nèi)均勻分布,各路徑增益呈零均值高斯分布。
分別考察采用如圖2所示的圓柱陣列和球陣列的兩種MIMO系統(tǒng),并取P=5,Q=3,RCA=0.4,RSA=0.5,L=4.對(duì)典型室內(nèi)環(huán)境,依據(jù)上述無(wú)線傳播環(huán)境參數(shù),由式(9)和(12)分別產(chǎn)生104個(gè)信道矩陣H和H0的隨機(jī)樣本,并利用這些樣本計(jì)算Weichselberger模型和新模型的統(tǒng)計(jì)參數(shù),信道矩陣H的隨機(jī)樣本同時(shí)被用來(lái)計(jì)算真實(shí)信道容量的累積概率分布(CDF)。然后利用Weichselberger模型和新模型分別隨機(jī)生成104個(gè)信道矩陣H的樣本來(lái)估計(jì)真實(shí)信道容量的CDF.而對(duì)于城市微小區(qū)和郊區(qū)非視距宏小區(qū)場(chǎng)景,則分別計(jì)算SCME標(biāo)準(zhǔn)模型和ITU標(biāo)準(zhǔn)模型所對(duì)應(yīng)的信道容量CDF,并與新模型的預(yù)測(cè)結(jié)果相對(duì)比。
圖4顯示出室內(nèi)環(huán)境下上述兩種MIMO系統(tǒng)的真實(shí)信道容量CDF曲線和不同MIMO信道模型的估計(jì)結(jié)果。圖5和圖6分別給出城市微小區(qū)和郊區(qū)非視距宏小區(qū)場(chǎng)景下各標(biāo)準(zhǔn)化模型的信道容量CDF曲線和新模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。
圖4 典型室內(nèi)不同MIMO系統(tǒng)信道容量CDF曲線
圖5 城市微小區(qū)不同MIMO系統(tǒng)信道容量CDF曲線
圖6 郊區(qū)非視距宏小區(qū)不同MIMO系統(tǒng) 信道容量CDF曲線
由圖4可知,Weichselberger模型和新模型均可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)室內(nèi)真實(shí)信道容量的統(tǒng)計(jì)分布,兩者的估計(jì)準(zhǔn)確度相當(dāng)。而圖5和圖6則說(shuō)明新模型的結(jié)果和各標(biāo)準(zhǔn)化模型的結(jié)果十分相近,進(jìn)一步驗(yàn)證了新模型的正確性。而在上述仿真中,Weichselberger模型、SCME標(biāo)準(zhǔn)模型和ITU標(biāo)準(zhǔn)模型都需要針對(duì)不同的MIMO系統(tǒng)重新計(jì)算生成模型參數(shù),而新模型僅計(jì)算了一次模型參數(shù):當(dāng)天線陣列改變時(shí),新模型僅需要更換相應(yīng)的采樣矩陣。因此,新模型較這些模型更方便用于具有不同天線陣列配置的MIMO系統(tǒng)的性能評(píng)估。
利用三維陣列流形分離技術(shù)建立了一種天線獨(dú)立的解析MIMO信道模型,該模型既具有物理模型通用性的優(yōu)點(diǎn),又提供了信道矩陣的解析表達(dá)式,復(fù)雜度較低,可方便用于MIMO系統(tǒng)的分析設(shè)計(jì)與性能評(píng)估。
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