M變換中的n階循環(huán)群判定

甘欣榮， 鐘壽國

(1.武漢科技大學(xué) 理學(xué)院 湖北 武漢 430065；2.武漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 湖北 武漢 430072 )

0 引言

定義1映射G(x):D→D. 歸納地定義迭代映射:G1(x)=G(x),Gk(x)=Gk-1(G(x)),k=2,3,…,若G(x)=x(恒等映射),則G(x)為一階循環(huán)群; 若G(x)≠x,G2(x)≠x,…,Gn-1(x)≠x,而Gn(x)=x,則I,G1,G2,…,Gn-1為n階循環(huán)群,稱G(x)為n階循環(huán)映射,記為G∈(Cy)n，n≥1.

M?bius變換(M變換)M(z)=(az+b)/(cz+d),其中，a,b,c,d∈C,z∈C∞,ad-bc≠0,全體形成一個M變換群[1-4].M變換的n次迭代在一定條件下形成n階循環(huán)群,對一般的n，其判定條件與結(jié)論未見文獻(xiàn)報導(dǎo)[3-9],找出這種條件是有理論和實(shí)際意義的.

1 An的計算公式

任何方陣的任意次冪(除特殊情形)一般無遞歸公式.為得到二階方陣的這個公式，引入2個常數(shù)Δ=a+d和δ=bc-ad及與Δ,δ相關(guān)的數(shù)列Δn,δn,將An的4個元素an,bn,cn,dn均用Δn表達(dá).

引理1對任何正整數(shù)n，令

則

an+1=aΔn+δn;bn+1=bΔn;cn+1=cΔn;dn+1=dΔn+δn,

(1)

Δn=ΔΔn-1+δn-1;δn=δΔn-1,

(2)

其中,已令Δ1=Δ=a+d,δ1=δ=bc-ad(≠0), 約定Δ0=1,δ0=0.

引理2對任何正整數(shù)n，

(3)

引理1用數(shù)學(xué)歸納法容易得到它的證明,現(xiàn)證明引理2.

證明要證明(3)，即要證

(4)

(5)

將n=1代入(2)，(4)，(5)直接驗(yàn)證.設(shè)(4),(5)對任何自然數(shù)n成立，由(2)得

這正是(4)右邊用(n+1)替換n的結(jié)果.于是(4)得證.(5)的證明方法類似.

2 M(z)∈(Cy)n的判定

定理1(i)M∈(Cy)1?a=d≠0,b=0,c=0(此條件簡稱M1).

(ii)M∈(Cy)n+1(n≥1)?M1不成立，Δ1=Δ≠0,Δ2≠0,…,Δn-1≠0， 而Δn=0(此條件簡稱Mn+1).

證明(i) 自明. (ii)當(dāng)n=1，先證必要性.設(shè)M∈(Cy)2，由定義1，M≠I,M2=I，當(dāng)M≠I,由(i)M1不成立.又由引理1,

(6)

因M2=I，M2仍為M映射[1-4]，由(i)對于M2而言滿足M1條件，即

0=a2-d2=(a-d)Δ; 0=b2=bΔ; 0=c2=cΔ

(7)

成立.而剛才已證M1不成立，即或者a≠d,或者b≠0,或者c≠0. 若a≠d，由(7)第1式證出Δ=0;若b≠0,由(7)第2式證出Δ=0;若c≠0,由(7)第3式證出Δ=0.因此無論哪種情形都有Δ=0.n=1的必要性得證.

次證n=1的充分性，即已知M1不成立，Δ=0. 由(i)M1不成立，必有M≠I;又由(6)看出 當(dāng)Δ=0時，A2=δI2(δ≠0)從而M2=I，由定義1，M∈(Cy)2.n=1的充分性得證.

設(shè)n≤k命題成立，當(dāng)n=k+1時，即n+1=k+2，先證必要性.因M∈(Cy)k+2,由定義1，M≠I,由(i)M1條件不成立.故此時M2≠I，剛才已證了M1不成立，那么這時必有Δ1=Δ≠0,否則，若Δ=0，由歸納假設(shè)M∈(Cy)2，與假設(shè)矛盾.當(dāng)已證了M1不成立，Δ1≠0,Δ2≠0,…，Δk-1≠0，由于Mk+1≠I,必有Δk≠0，否則Δk=0，由歸納假設(shè)M∈(Cy)k+1與假設(shè)矛盾.由定義1，此時要求Mk+2=I，由(i)對Mk+2滿足M1條件，再據(jù)引理1有:0=ak+2-dk+2=(a-d)Δk+1, 0=bk+2=bΔk+1, 0=ck+2=cΔk+1.由已知a=d≠0,b=0,c=0至少有一個不成立，無論哪種情形，剛才所述關(guān)于Mk+2的M1條件都得到Δk+1=0，可見，已得Mk+2條件，故n=k+1的必要性得證.

再證n=k+1的充分性.由充分性條件Mk+2，M1不成立及Δ1≠0,Δ2≠0,…，Δk≠0和歸納假設(shè)，必有Mm≠I(m=1,2,…,k+1)，由引理1知，

因Δk+1=0，Δk≠0,δ≠0,從而Ak+2=δΔkI2，即Mk+2=I2，于是M∈(Cy)k+2,充分性得證.證畢.

3 判定的簡化

引理3n為任何自然數(shù),Δn=0,則M1條件必不成立.

證明首先證恒等式(8),(9)成立,

(8)

(9)

n=1時(8),(9)成立.假設(shè)(8),(9)對任何n成立，將(n+1)取代(8),(9)中的n,即證

(10)

(11)

成立.下面僅證(11).將(11)中的k=0,1,n單獨(dú)分離出來得

(12)

將

代入(12)式右邊的第3項(xiàng)，則此項(xiàng)成為3個和式(分別記為σ1，σ2，σ3)之和，現(xiàn)通過添項(xiàng)使其拼湊成An-1,Bn,Bn-1的結(jié)果.因?yàn)?/p>

=Bn-1-(-1)n2(n-1)=2(n-1)-(-1)n2(n-1),

代入(12)便得Bn+1=2n+2.

故(9)得證,(8)的證法與Bn+1類似.

現(xiàn)回到引理3的證明,用反證法.設(shè)M1成立，即a=d≠0,b=c=0，當(dāng)n為奇數(shù)和偶數(shù)時,分別代入(5)，(6)有矛盾結(jié)果：

證畢.

由引理3,可將定理1之(ii)簡化為定理2.

定理2M∈(Cy)n,n>1?Δk≠0(k=1,2,···,n-2),Δn-1=0.

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