關(guān)于特定幸福立方數(shù)列

韓 迪

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)系 陜西 西安 710127)

0 引言及結(jié)論

著名數(shù)論專家 Smarandache教授在他的著作中引入不少新的數(shù)論函數(shù)、數(shù)列[1], 同時(shí)也提出了未解決的問(wèn)題和猜想, 這些內(nèi)容引起了研究者的重視和興趣, 并取得了一系列重要的研究成果[2-5].

Jebreel教授在文獻(xiàn)[6]中研究Smarandache問(wèn)題時(shí)提出了特定幸福立方數(shù)的概念, 即對(duì)任意正整數(shù)n, 如果n的各位數(shù)字的立方相加所得之值恰好等于n, 那么這個(gè)正整數(shù)n就稱為特定幸福立方數(shù). 例如,1=13,153=13+53+33,370=33+73+03,371=33+73+13,407=43+03+73,….所以1,153,370,371,407均為特定幸福立方數(shù). 設(shè)F3={1,153,370,371,407,…}表示所有特定幸福立方數(shù)的集合. 那么Jebreel教授在文獻(xiàn)[6]中針對(duì)這個(gè)集合也提出了下列幾個(gè)需要回答的公開(kāi)問(wèn)題：1) 特定幸福立方數(shù)之集合F3是有限集還是無(wú)限集?2)如果集合F3是無(wú)限集，那么407后緊接著的數(shù)應(yīng)該是什么?3)集合F3的密度是多少?4)在集合F3中共有多少個(gè)素?cái)?shù)?5)特定幸福立方數(shù)與幸福數(shù)、Fibonacci數(shù)、Lucas數(shù)及Pell數(shù)有什么聯(lián)系?6)在特定幸福立方數(shù)列中,370和371是連續(xù)的, 那么在這個(gè)數(shù)列中是否還存在這樣連續(xù)的數(shù)對(duì)?

本文利用初等方法以及不等式理論對(duì)以上6個(gè)問(wèn)題進(jìn)行研究, 并給予解決. 此外,還將文獻(xiàn)[6]中的問(wèn)題推廣和延伸, 給出了一般特定幸福k次方數(shù)的結(jié)論.

定理1設(shè)F3表示特定幸福立方數(shù)列之集合, 則數(shù)列F3是有限集且F3={1,153,370,371,407}, 在這個(gè)數(shù)列中有且只有一個(gè)素?cái)?shù)407; 并且對(duì)任意給定的正整數(shù)k≥3, 集合Fk是有限集.

1 定理1的證明

利用初等方法以及不等式理論來(lái)完成定理1的證明. 本文中所使用的初等數(shù)論知識(shí)參見(jiàn)文獻(xiàn)[7-8]. 設(shè)As是特定幸福立方數(shù)列{an}中的一個(gè)元素. 假定As的十進(jìn)制表示式為asas-1…a2a1, 其中1≤as≤9,0≤a1,a2,…,as-1≤9. 于是由特定幸福立方數(shù)的定義有

(1)

顯然由(1)式可以推出不等式

(2)

即s必須滿足不等式 10s-1≤93×s. 設(shè)函數(shù)fs=10s-1-729s, 則f′s=10s-1×ln 10-729, 當(dāng)s≥5時(shí),顯然有f′s≥104ln 10-729>0,所以當(dāng)s≥5時(shí),f(s)為遞增函數(shù)且f5=104-5×729=6 355>0, 故由單調(diào)遞增函數(shù)的性質(zhì)可知,對(duì)所有s≥5,有不等式f(s)>0.從而對(duì)所有整數(shù)s≥5, 有不等式10s-1>93×s. 這顯然與不等式(2)矛盾.所以要使不等式(2)成立, 必須有s≤4. 下面分別討論s=1,2,3,4.

當(dāng)s=4時(shí),令A(yù)4=a1a2a3a4,并且有1≤a1≤9,0≤a2,a3,a4≤9.由A4的取值范圍為1 000≤A4≤2 916, 推出a1=1或者a1=2. 這時(shí),用計(jì)算機(jī)編程來(lái)驗(yàn)證是否存在這樣的A4,最終答案是否定的.

當(dāng)然,也可直接證明4位數(shù)中沒(méi)有特定幸福立方數(shù). 事實(shí)上當(dāng)a1=2時(shí),maxA4≤93×3+23=2 195. 則2 000≤A4≤2 195. 從不等式可以看出a2=0 或者a2=1.

(i)當(dāng)a2=0時(shí),A4≤93×2+23=1 466.不在A4的取值范圍內(nèi), 故不成立;

(ii)當(dāng)a2=1時(shí),A4≤93×2+23+1=1 467.也不在A4的取值范圍內(nèi), 故不成立.

因此, 得出當(dāng)a1=2時(shí), 即首位是2的4位數(shù)中沒(méi)有特定幸福立方數(shù).

當(dāng)a1=1時(shí), maxA4≤93×3+1=2 188,則 1 000≤A4≤1 999. 從不等式可以看出 0≤a2≤9.

用同樣的方法可以討論a2=1,2,3,4,5,6,7,8,9時(shí)的情況,在此不作詳細(xì)陳述. 通過(guò)討論發(fā)現(xiàn)首位為1的4位數(shù)中沒(méi)有固定幸福立方數(shù).

類似的，可以討論s=3,2,1的情況，不難推出F3={1,153,370,371,407}.從而證明了特定幸福立方數(shù)列是有限的, 確切地說(shuō)F3包含5個(gè)元素, 且在這5個(gè)數(shù)中，只有407一個(gè)素?cái)?shù).

因此,特定幸福k次方數(shù)之集合是有限的,定理1得證.

參考文獻(xiàn)：

[1] Smarandache F. Only Problems, Not Solutions[M]. Chicago: Xiquan Publishing House, 1993.

[2] Liu Yaming. On the solutions of an equation involving the Smarandache function[J]. Scientia Magna, 2006,2(1): 76-79.

[3] 張沛. 一個(gè)包含偽 Smarandache 無(wú)平方因子函數(shù)的方程[J]. 鄭州大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版, 2008, 40(2): 36-38.

[4] 李玲, 姚維利. 一個(gè)包含 Smarandache 函數(shù)與偽 Smarandache 函數(shù)的方程及其正整數(shù)解[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2010, 33(2): 200-202.

[5] 蔡立翔. 一個(gè)包含數(shù)論函數(shù)的方程及其正整數(shù)解[J]. 鄭州大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版, 2008, 40(2): 33-35.

[6] Muneer Jebreel.Smarandache sequence of happy cube numbers[J]. Smarandache Notions Journal, 2004,14(1), 139-140.

[7] 張文鵬. 初等數(shù)論[M]. 西安: 陜西師范大學(xué)出版社, 2007.

[8] Apostol T M. Introduction to Analytic Number Theory[M]. New York: Springer-Verlag, 1976.