極限思想和微積分學(xué)相輔相成的關(guān)系初探

趙金榮

摘要：極限思想方法是全部高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法，也是高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別之處。高等數(shù)學(xué)之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無法解決的問題（例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題），正是由于它采用了極限的思想方法。

關(guān)鍵詞：極限思想；發(fā)展；符號表達(dá)

極限是高等數(shù)學(xué)中起著基礎(chǔ)作用的概念，在某程度上可以說高等數(shù)學(xué)的整個體系都建立在這一概念的基礎(chǔ)之上. 而極限思想則是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。極限思想作為一種數(shù)學(xué)思想，從其遠(yuǎn)古的思想萌芽，發(fā)展到現(xiàn)在完整的極限理論，其發(fā)展道路上布滿了歷代數(shù)學(xué)家們的嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)、孜孜以求的奮斗足跡。也是數(shù)千年來人類認(rèn)識世界和改造世界的過程中的一個側(cè)面反應(yīng)，亦是人類追求真理、追求理想、創(chuàng)新求實(shí)的生動寫照。極限思想的產(chǎn)生與完善是社會實(shí)踐的需要，它的產(chǎn)生為數(shù)學(xué)的發(fā)展增加了新的動力，成為了近代數(shù)學(xué)思想和方法的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)。

極限思想是微積分學(xué)的基本思想，數(shù)學(xué)中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都需要借助于極限來加以定義。 微積分則是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，要學(xué)好微積分，就應(yīng)該了解極限思想，學(xué)會用極限思想來理解這些概念，進(jìn)而把微積分學(xué)知識應(yīng)用于日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中，體會數(shù)學(xué)源于生產(chǎn)實(shí)踐，服務(wù)于生產(chǎn)實(shí)踐的事實(shí)。但是，極限思想較為晦澀，一向被視為是一難于理解的數(shù)學(xué)概念，若在教學(xué)中，加入一些涉及極限思想的故事及發(fā)展歷程，則會有利于學(xué)生了解極限思想與微積分學(xué)之間的關(guān)系，從而加深對其概念的理解。

極限思想的發(fā)展，總數(shù)起來可認(rèn)為有三個階段：

階段一，小荷才露尖尖角，樸素極限思想的出現(xiàn)。與所有的科學(xué)思想方法相同，極限思想同樣是社會生產(chǎn)實(shí)踐的產(chǎn)物。追溯到古代，戰(zhàn)國時莊子與其弟子所著的《莊子》一書中的《莊子·天下篇》中，提到：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭。” 即：若取一根一尺長的棍子，第一天截去一半，第二天截去剩下的一半，此后每天都截取剩余的一半，如此永遠(yuǎn)也不能取盡。此說法認(rèn)為物質(zhì)是可以無限分割的，其中蘊(yùn)含了樸實(shí)的極限思想，具有很高的學(xué)術(shù)價值，但卻偏重于哲學(xué)的角度，與數(shù)學(xué)的聯(lián)系還沒有建立。而三世紀(jì)的劉徽的 “割圓術(shù)”：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，公元五世紀(jì)祖沖之計算圓周率的方法、公元前五世紀(jì)希臘學(xué)者德漠克利特為解決不可公度問題創(chuàng)立的“原子論”、公元前三世紀(jì)古希臘詭辯學(xué)家安提豐在求圓面積過程中提出的“窮竭法”等等問題中，在蘊(yùn)含了最原始的樸素的極限思想的同時，開始從數(shù)學(xué)角度思考問題。

16世紀(jì)時，荷蘭的數(shù)學(xué)家斯泰文在三角形重心的研究中，改進(jìn)了由歐道克斯提出的“窮竭法”，借助幾何圖形的直觀性，利用極限思想考慮問題，并在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個實(shí)用概念的方向”，但卻沒有脫離當(dāng)時的社會實(shí)際。

階段二，極限思想在數(shù)學(xué)上的正式提出，改善和發(fā)展階段。極限思想的進(jìn)一步發(fā)展與微積分的建立緊密相聯(lián)。16世紀(jì)的歐洲，資本主義正處于萌芽時期，生產(chǎn)力得到極大的發(fā)展。隨著生產(chǎn)力的發(fā)展，生產(chǎn)和技術(shù)中出現(xiàn)了大量的問題，只用初等數(shù)學(xué)的方法根本無法解決，例如描述和研究變速直線的過程、曲邊梯形的面積等等。這些問題的解決需要數(shù)學(xué)突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，這些是促進(jìn)極限發(fā)展、建立微積分的社會背景。

當(dāng)牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分時，遇到了邏輯困難。牛頓在描述作變速運(yùn)動的物體在某一時刻t時的瞬時速率時，用路程的改變量△S與時間的改變量Δt的比值ΔS/Δt表示運(yùn)動物體的平均速度，當(dāng)Δt無限趨近于零，該比值無限趨近于一與Δt無關(guān)的常數(shù)，該常數(shù)即物體在時刻t時的瞬時速度，并由此引出導(dǎo)數(shù)概念和微分學(xué)的基本理論。在敘述瞬時速率時，他已意識到了極限概念的重要性，也想以極限概念作為微積分的基礎(chǔ)，初步提出了極限的直觀性定義：“如果當(dāng)n 無限增大時，如果an無限接近于常數(shù)A，那么就說an以A為極限?！钡ｎD給出的極限觀念與荷蘭斯泰文同樣也是建立在幾何直觀上的，這種直觀的定性解釋并沒有給出極限的嚴(yán)格表述，也沒有解決當(dāng)時的數(shù)學(xué)危機(jī)，因此在此基礎(chǔ)上，同時代及后起許多數(shù)學(xué)家對極限的概念進(jìn)行了完善。

也是因?yàn)楫?dāng)時缺乏嚴(yán)格的極限定義，微積分理論才會在那個時代受到人們的懷疑與攻擊，例如，在瞬時速度概念的描述中，究竟Δt是否等于零？而如果說是零，零是不能做分母的，怎么能用它去作除法呢？但是若Δt不是零，卻又不能把包含著Δt的項去掉。這就是數(shù)學(xué)史上所說的無窮小悖論。在攻擊微積分學(xué)的大家中，英國哲學(xué)家、大主教貝克萊的攻擊最為激烈，他認(rèn)為微積分的推導(dǎo)是“分明的詭辯”。

貝克萊激烈攻擊微積分的原因有兩個，首先他要為宗教服務(wù)，其次也是因?yàn)楫?dāng)時的微積分缺乏牢固的理論基礎(chǔ)，即使牛頓自己也無法清楚地解釋極限概念中的混亂。事實(shí)證明，嚴(yán)格極限的概念，建立嚴(yán)格的微積分理論基礎(chǔ)，既是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需求，也有認(rèn)識論上的重大意義。

階段三，極限概念的定量化和數(shù)學(xué)符號表達(dá)階段。這階段主要指由柯西精確定義，維爾斯特拉斯用符號精確表達(dá)極限的階段。

19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家柯西在他的著作《分析教程》中指出：“當(dāng)一個變量逐次所取的值無限趨于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當(dāng)一個變量的數(shù)值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變量成為無窮小”。盡管這個定義是建筑在前人工作的基礎(chǔ)上，但還是相對完整地闡述了極限概念及其理論。但是這個定義仍然欠粗糙，說用語句中的“無限接近”、“要多小就有多小”等都只能給人一種模糊的直覺，并沒有徹底擺脫殘存在頭腦中的幾何直觀印象。

19世紀(jì)后半葉，德國的維爾特拉斯則提出了關(guān)于極限的純算數(shù)定義，并給出了沿用至今所用的極限的符號。

極限的定義經(jīng)過幾代人的不斷完善、嚴(yán)格，最終解決了微積分理論發(fā)展期所面臨的強(qiáng)大邏輯質(zhì)疑，給微積分學(xué)提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。也正是如此，數(shù)學(xué)由常量數(shù)學(xué)正式進(jìn)入變量數(shù)學(xué)的時代，極限的數(shù)學(xué)定義，沿用至今，成了微積分發(fā)展的重要里程碑。

極限思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)甚至經(jīng)濟(jì)學(xué)、建筑學(xué)等學(xué)科中都有著廣泛的應(yīng)用，這也是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。極限又是微積分的基本概念，是微積分學(xué)的直接基礎(chǔ)，也是微積分學(xué)區(qū)別于常量數(shù)學(xué)的重要工具，二者是相輔相成、密不可分的。極限思想擴(kuò)展了數(shù)學(xué)能夠分析研究的范圍，促進(jìn)了微積分的發(fā)展和完善，而微積分學(xué)在各個學(xué)科中的應(yīng)用也是源于極限思想這個堅實(shí)理論基礎(chǔ)。

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