解讀托盤(pán)天平示數(shù)基理

金 偉

(蘇州吳中區(qū)木瀆實(shí)驗(yàn)中學(xué),江蘇 蘇州 215101)

用托盤(pán)天平測(cè)量物體的質(zhì)量時(shí),按規(guī)定程序進(jìn)行正常操作,最后即可讀數(shù):右盤(pán)中砝碼的總質(zhì)量與標(biāo)尺示數(shù)值之和,即等于所測(cè)物體的質(zhì)量.但是對(duì)于其中深藏的奧秘,即使在學(xué)過(guò)杠桿的平衡條件之后,絕大部分的學(xué)生是只知其然,而不知其所以然.因此,有必要分析一下產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因,進(jìn)而闡明托盤(pán)天平示數(shù)的機(jī)理,徹底解決如何對(duì)托盤(pán)天平正確讀數(shù)的問(wèn)題.

1 出自教學(xué)目標(biāo)要求外的追問(wèn)

不知道托盤(pán)天平示數(shù)基理的原因很明顯,因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題超越了課程標(biāo)準(zhǔn)及現(xiàn)行教材的教學(xué)目標(biāo)要求.出于論述的需要,擬將課程標(biāo)準(zhǔn)和教材中有關(guān)托盤(pán)天平的背景材料摘錄于下:

(1)義務(wù)教育物理課程標(biāo)準(zhǔn)的字里行間雖然沒(méi)有出現(xiàn)“托盤(pán)天平”四字,但是在第三部的科學(xué)內(nèi)容主題1中出現(xiàn)“會(huì)測(cè)量固體和液體的質(zhì)量”,主題2中出現(xiàn)“學(xué)會(huì)使用簡(jiǎn)單機(jī)械改變力的大小和方向”,兩項(xiàng)知識(shí)技能目標(biāo)的用詞實(shí)際上肯定了眾多簡(jiǎn)單機(jī)械中身份特殊的托盤(pán)天平的地位和作用,而它承擔(dān)了測(cè)量物體質(zhì)量的重任,其教學(xué)目標(biāo)定格在“會(huì)用”.

(2)《蘇科版·物理》8年級(jí)下冊(cè)第6章第1節(jié)闡述了托盤(pán)天平的結(jié)構(gòu)和使用方法.

實(shí)驗(yàn)室里常用托盤(pán)天平測(cè)量物體的質(zhì)量.

托盤(pán)天平使用說(shuō)明.

結(jié)構(gòu)(圖1):

圖1

使用:

①使用天平時(shí),應(yīng)將天平放在水平工作臺(tái)上.

②調(diào)節(jié)平衡時(shí),應(yīng)將游碼移至標(biāo)尺左端的“0”刻度線(xiàn)處,再調(diào)節(jié)橫梁上的平衡螺母,使指針對(duì)準(zhǔn)分度盤(pán)中央的刻度線(xiàn).

③測(cè)量物體質(zhì)量時(shí),應(yīng)將物體放在天平的左盤(pán);用鑷子向右盤(pán)加減砝碼;在標(biāo)尺上移動(dòng)游碼,使指針對(duì)準(zhǔn)分度盤(pán)中央的刻度線(xiàn).此時(shí),右盤(pán)中砝碼的總質(zhì)量與標(biāo)尺示數(shù)值之和,即等于所測(cè)物體的質(zhì)量.

注意事項(xiàng)(本文略).

(3)《蘇科版·物理》9年級(jí)上冊(cè)第11章第1節(jié)暗示了托盤(pán)天平的原理和實(shí)質(zhì).

應(yīng)用杠桿原理分析前面撬圖針的例子可知,由于動(dòng)力臂大于阻力臂,因此動(dòng)力小于阻力,這類(lèi)杠桿是省力杠桿.如果動(dòng)力臂小于阻力臂,要使杠桿平衡,動(dòng)力就必須大于阻力,這類(lèi)杠桿就是費(fèi)力杠桿.還有一類(lèi)杠桿的動(dòng)力臂等于阻力臂,這類(lèi)杠桿就是等臂杠桿(后面“知識(shí)梳理”欄加3“杠桿平衡時(shí),動(dòng)力等于阻力”).

圖11－6中(指教材中圖11－6,例舉a托盤(pán)天平,b手推車(chē),c筷子,d笤帚,e船槳)是一些常見(jiàn)器具,請(qǐng)對(duì)它們應(yīng)用的杠桿進(jìn)行分類(lèi),并說(shuō)出分類(lèi)的原則.

不難看出,教材關(guān)于質(zhì)量的測(cè)量工具的教學(xué)目標(biāo),重在了解托盤(pán)天平的結(jié)構(gòu),并能辨別托盤(pán)天平使用過(guò)程中的錯(cuò)誤.通過(guò)閱讀托盤(pán)天平的使用說(shuō)明書(shū),學(xué)會(huì)正確使用托盤(pán)天平測(cè)量固體或液體的質(zhì)量.根據(jù)漸進(jìn)性學(xué)習(xí)原則,該階段教學(xué)目標(biāo)只要考慮這三個(gè)方面,而重點(diǎn)鎖定在托盤(pán)天平的用法,無(wú)需上升到應(yīng)用托盤(pán)天平測(cè)量物體質(zhì)量所依據(jù)的原理.而學(xué)生進(jìn)入9年級(jí)上學(xué)期,關(guān)于杠桿原理及杠桿的應(yīng)用的教學(xué)目標(biāo)來(lái)看,似乎教材只要求運(yùn)用杠桿原理能對(duì)杠桿進(jìn)行分類(lèi),并了解分類(lèi)原則.對(duì)托盤(pán)天平來(lái)說(shuō),只要求知道它是等臂杠桿,動(dòng)力等于阻力.教者能把握住這一要求,從降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度來(lái)看,也可認(rèn)為實(shí)現(xiàn)了托盤(pán)天平測(cè)量原理的教學(xué),彌補(bǔ)了初二階段留下的空白.

然而,教學(xué)過(guò)程中,也發(fā)現(xiàn)一些“見(jiàn)異思遷”、“敢于質(zhì)疑”的學(xué)生.在討論和交流時(shí),提出了令教者刮目相看、頗為費(fèi)解的問(wèn)題:“既然托盤(pán)天平是等臂杠桿,天平平衡時(shí),動(dòng)力等于阻力,那么為什么使用天平測(cè)量物體質(zhì)量時(shí),最后的結(jié)果是右盤(pán)中砝碼的總質(zhì)量與標(biāo)尺示數(shù)值之和才等于所測(cè)物體的質(zhì)量,這個(gè)結(jié)果是怎樣得出的？”,“兩者之間怎樣才能溝通？”.對(duì)于善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,敢于提出問(wèn)題的學(xué)生,教師首先要加以肯定他們的鉆研精神和洞察能力,然后教師再排除思維定勢(shì),和學(xué)生攜手合作探討.不僅如此,作為教者更應(yīng)深思,學(xué)生已經(jīng)提出挑戰(zhàn),我們的認(rèn)知不能停留在原來(lái)的初級(jí)階段,需作進(jìn)一步的解讀.

2 關(guān)鍵突破點(diǎn)在于導(dǎo)出天平游碼質(zhì)量的表達(dá)式.

解讀擬分以下三步展開(kāi):

(1)運(yùn)用杠桿原理,得出待測(cè)物體質(zhì)量的表達(dá)式.

觀察托盤(pán)天平結(jié)構(gòu),特別留意下列的解讀有關(guān)的部件:天平左、右兩臂的臂長(zhǎng),設(shè)為L(zhǎng);天平橫梁標(biāo)尺上從“0”刻度線(xiàn)到最大刻度線(xiàn)之間的距離,設(shè)為L(zhǎng)0;天平橫梁標(biāo)尺上的最大刻度值為m0.

細(xì)讀托盤(pán)天平的用法,突出下列幾點(diǎn):①開(kāi)始游碼移至標(biāo)尺左端的“0”刻度線(xiàn),調(diào)節(jié)天平橫梁平衡.②被稱(chēng)物體放在天平左盤(pán),對(duì)物體質(zhì)量估測(cè)后,在右盤(pán)中由大及小加減砝碼,當(dāng)加到最小一個(gè)砝碼時(shí),發(fā)現(xiàn)指針偏至中央刻度線(xiàn)右側(cè),則應(yīng)拿去這個(gè)砝碼,改為在標(biāo)尺上移動(dòng)游碼,使指針兩次對(duì)準(zhǔn)分度盤(pán)中央的刻度線(xiàn),即天平第二次達(dá)到平衡.③設(shè)被稱(chēng)物體的質(zhì)量為m,右盤(pán)中砝碼的質(zhì)量為m砝,游碼的質(zhì)量為m游,天平第二次平衡時(shí),游碼所在位置離橫梁“0”刻度線(xiàn)的距離為L(zhǎng)x.

正確運(yùn)用杠桿原理推導(dǎo).由于稱(chēng)量前,調(diào)節(jié)天平處于平衡狀態(tài),此前天平的受力情況在下面的推導(dǎo)中可均不考慮,只要著眼稱(chēng)量過(guò)程中,特別是第二次平衡時(shí),其狀態(tài)的轉(zhuǎn)化時(shí)的力和力臂的乘積.

當(dāng)被稱(chēng)物體放在左盤(pán)時(shí),天平所受逆時(shí)針?lè)较虻牧土Ρ鄣某朔e(相當(dāng)阻力和阻力臂的乘積)為mgL.

右盤(pán)砝碼的重力使天平受到順時(shí)針?lè)较虻牧土Ρ鄣某朔e為m砝gL.

游碼重力使天平受到順時(shí)針?lè)较虻牧土Ρ鄣某朔e為m游gLx,后兩項(xiàng)均為順時(shí)針?lè)较蛄土Ρ鄣某朔e,它們之和相當(dāng)動(dòng)力和動(dòng)力臂的乘積.

根據(jù)杠桿原理,可得到:mgL＝m砝gL＋m游gLx,變形得:

現(xiàn)在的問(wèn)題是(1)式右邊的第二項(xiàng)怎樣和“標(biāo)尺示數(shù)值”相對(duì)應(yīng).

(2)再運(yùn)用杠桿原理,得出游碼質(zhì)量的表達(dá)式.

游碼的質(zhì)量m游跟前面提到托盤(pán)天平三部件L、L0、m0的量值有關(guān),換句話(huà)說(shuō),只要讀出m0的數(shù)值,再用刻度尺量出L、L0的數(shù)值,即可測(cè)算出游碼的質(zhì)量值.

我們可以假想,對(duì)于一架已經(jīng)調(diào)節(jié)平衡的天平來(lái)說(shuō),假如在天平的左盤(pán)放一個(gè)很小的物體,這個(gè)物體的質(zhì)量就是天平橫梁上的最大刻度值m0.由于它的重力,對(duì)天平產(chǎn)生逆時(shí)針?lè)较虻牧土Ρ鄣某朔e:m0gL.

為了恢復(fù)天平的平衡,可以將游碼移至標(biāo)尺的最大刻度線(xiàn)的位置,游碼的重力將對(duì)天平產(chǎn)生順時(shí)針?lè)较虻牧土Ρ鄣某朔e:m游gL0.

根據(jù)杠桿的原理可得到:m0gL＝m游gL0.游碼的質(zhì)量:

將(2)式代入(1)式,再作變形,可得物體質(zhì)量的第二個(gè)表達(dá)式為

注意(m0/L0)表示橫梁標(biāo)尺上單位長(zhǎng)度所代表的質(zhì)量值,它與游碼在橫梁標(biāo)尺上移動(dòng)距離Lx的乘積,就是標(biāo)尺的示數(shù)值.相當(dāng)于在天平右盤(pán)放一個(gè)質(zhì)量為(Lx/L0)m0的砝碼.由于Lx≤L0,所以(Lx/L0)m0≤m0,亦即這個(gè)示數(shù)值比最小砝碼的質(zhì)量m0為小,將游碼移至最大刻度值位置(Lx＝L0)除外.

3 解讀受阻的根源及其整合梳理

解讀托盤(pán)天平示數(shù)基理有一種常見(jiàn)的低級(jí)錯(cuò)誤.造成這種錯(cuò)誤的根源在于未顧及天平的特殊結(jié)構(gòu),特別疏忽了天平第一步調(diào)節(jié)的特點(diǎn),沒(méi)有正確應(yīng)用平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)化過(guò)程中的杠桿平衡條件.

(1)錯(cuò)誤方法的思考順序如下:

開(kāi)始調(diào)節(jié)天平平衡(按規(guī)定游碼置于標(biāo)尺左端的“0”刻度線(xiàn)處),將被測(cè)物體放在左盤(pán)時(shí),天平右盤(pán)所加砝碼為m砝,游碼移至距標(biāo)尺“0”刻度線(xiàn)的距離為L(zhǎng)x,并設(shè)Lx＜L0/2,此時(shí)天平橫梁平衡.

以標(biāo)尺中央刻度線(xiàn)即天平的刀口為支點(diǎn),則有

動(dòng)力×動(dòng)力臂＝m砝gL.

阻力×阻力臂＝mgL＋m游g(L0/2－Lx).由動(dòng)力×動(dòng)力臂＝阻力×阻力臂變形,得到

如果Lx＜L0/2,則

如果Lx＝L0/2,游碼位于天平轉(zhuǎn)軸中心,游碼重力的力臂為0,這樣有

如果Lx＞L0/2,游碼的重力作用使天平順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為動(dòng)力×動(dòng)力臂的組成部分,就有

極易發(fā)現(xiàn),上述(3)、(4)、(5)三個(gè)結(jié)果都是錯(cuò)的.因?yàn)閺?3)式可得m＜m砝,(4)式直接給出m＝m砝,(5)式可得到m＞m砝.這三個(gè)式子相互矛盾的.實(shí)際上,只要游碼移離“0”刻度線(xiàn),總可得到m＞m砝的半定量判斷.之所以會(huì)出現(xiàn)如此差錯(cuò),歸根到底是推導(dǎo)過(guò)程“參照物”不一致.開(kāi)始調(diào)節(jié)天平平衡時(shí),游碼是置于標(biāo)尺“0”刻度線(xiàn)位置,這是前提條件.而后運(yùn)用杠桿平衡條件判斷列式時(shí),游碼的重力與其力臂乘積(力矩)產(chǎn)生的效果,是相對(duì)標(biāo)尺中央刻度線(xiàn)(天平刀口)定位的,這是后置標(biāo)準(zhǔn).前提條件和后置標(biāo)準(zhǔn)相悖.但是前提條件在先,是決定因素,后置標(biāo)準(zhǔn)忽視了前提條件是致錯(cuò)原因所在.不僅如此,按照這種推導(dǎo)思路,亦不可能正確求出游碼質(zhì)量的表達(dá)式.因?yàn)橐酂o(wú)法得出被測(cè)物體質(zhì)量的最終表達(dá)m＝m砝＋(Lx/L0)m0,致使解答受阻.但是,若將前提條件和后置標(biāo)準(zhǔn)有機(jī)整合和有序梳理,注意杠桿平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)換過(guò)程中的等量關(guān)系,就可另辟解讀途徑.

(2)正確方法(糾正后)的思考順序如下:

如圖2(a)所示調(diào)好的天平,天平刀口作為支點(diǎn).

圖2

如在稱(chēng)量的過(guò)程中,將天平調(diào)至如圖2(b)所示,游碼在支點(diǎn)左邊.天平左邊力與力臂的乘積與圖2(a)相比,力與力臂的乘積變化為:mgL－m游gLx.右邊力與力臂的乘積增加為:m砝gL.由于天平再次平衡,有杠桿原理得mgL－m游gLx＝m砝gL.即m＝m砝＋m游Lx/L.

如在稱(chēng)量的過(guò)程中,將天平調(diào)至如圖2(c)所示,游碼在支點(diǎn)右邊.天平左邊力與力臂的乘積與圖2(a)相比,力與力臂的乘積變化為:mgL－m游gL1.右邊力與力臂的乘積增加為:m砝gL＋m游gL2.由于天平再次平衡,有杠桿原理得:mgL－m游gL1＝m砝gL＋m游gL2.即m＝m砝＋m游(L1＋L2)/L＝m砝＋m游Lx/L.

上述可見(jiàn),無(wú)論游碼位置在刀口(杠桿支點(diǎn))左側(cè)還是右側(cè),物體質(zhì)量的數(shù)學(xué)表達(dá)式不變,即m＝m砝＋m游Lx/L.

同樣利用本方法,可以得出游碼質(zhì)量的表達(dá)式.

如圖2(d)所示,與圖2(a)相比,同理可得:m0gL－m游gL1＝m游gL2.即m游(L1＋L2)＝m0L.整理得:m游＝m0L/(L1＋L2)＝m0L/L0.

最終得m＝m砝＋(Lx/L0)m0.

綜上可見(jiàn),只要顧及天平的特殊結(jié)構(gòu)及天平的調(diào)節(jié)順序,正確地將杠桿的平衡條件用之天平原理的分析,不同的方法,最終殊途同歸.

4 托盤(pán)天平實(shí)為一等效等臂杠桿

從解讀托盤(pán)天平稱(chēng)量示數(shù)的基理引發(fā)了筆者對(duì)托盤(pán)天平是否是等臂杠桿的思考.筆者認(rèn)為托盤(pán)天平嚴(yán)格地來(lái)說(shuō)不是等臂杠桿,基于如下幾點(diǎn):

(1)從結(jié)構(gòu)上來(lái)看.它是由兩大系列組成.一是兩個(gè)托盤(pán)和橫梁;二是游碼和標(biāo)尺.這兩大系列是形成復(fù)合杠桿,要說(shuō)等臂杠桿只能是前者.

(2)從原理上來(lái)看.當(dāng)天平平衡時(shí),依據(jù)杠桿平衡條件列出的計(jì)算式,mgL＝m砝gL＋m游gLx來(lái)看,該式不是等臂杠桿的列式.

(3)從稱(chēng)量示數(shù)上來(lái)看.通常情況,待測(cè)物體的質(zhì)量(左盤(pán))不等于右盤(pán)中的砝碼總質(zhì)量,亦即待測(cè)物體的重力(阻力)不等于右盤(pán)中砝碼的重力(動(dòng)力),除非標(biāo)尺示數(shù)為0.

但是筆者認(rèn)為托盤(pán)天平可看作等效等臂杠桿.可以回眸前兩個(gè)表達(dá)式:mgL＝m砝gL＋m游gLx及m游＝m0L/L0,將它們合為一式:mgL＝(m砝g＋m0gL/L0)L,左盤(pán)中為質(zhì)量m的待測(cè)物體,右盤(pán)中是質(zhì)量為m砝＋m0L/L0的砝碼.左、右盤(pán)的臂長(zhǎng)相等,用L表示,這是等臂杠桿平衡時(shí)的表達(dá)式,表明托盤(pán)天平確可當(dāng)作等臂杠桿處理.