關(guān)于不定積分的幾種求解方法

趙繼紅

?

趙繼紅

(西北農(nóng)林科技大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 楊凌, 712100)

正割函數(shù); 不定積分; 換元積分法

方法1 利用第一類換元積分法[1], 可得:

從方法1可以看出, 第一類換元積分法的本質(zhì)是設(shè)法將不定積分中的被積表達(dá)式湊成容易求得原函數(shù)的形式, 然后進(jìn)行求解(這也是稱其為湊微分法的原因). 基于此, 我們也可以進(jìn)行如下的湊微分.方法2 觀察, 可以進(jìn)行如下的湊微分[2]:

方法3本質(zhì)上和方法1是一致的, 但是在求解過程中用到了三角函數(shù)的恒等變形, 而這些變形在求解三角函數(shù)的不定積分中有著十分重要的作用和意義, 合理的變形會大大的簡化被積函數(shù)的表達(dá)式, 從而使得求積分的過程變得簡單, 起到事半功倍的作用.

利用萬能公式來求三角函數(shù)的不定積分是一種十分行之有效的方法, 利用它常?？梢詫⑺蟛欢ǚe分約化為有理函數(shù)的不定積分, 從而可以利用有理函數(shù)的不定積分理論進(jìn)行求解(公式法).

相比較而言, 方法5遠(yuǎn)遠(yuǎn)比方法1來的復(fù)雜, 而且在求解過程中連續(xù)利用了兩次變量變換.

綜上5種方法, 在求解不定積分的題目時, 細(xì)心的觀察能力和湊微分的能力決定了學(xué)生們對題目的把控能力、理解能力和求解能力. 當(dāng)然, 在求解一般函數(shù)的不定積分時, 我們并不能拘泥于使用一種變量替換, 有時候需要做好幾次換元過程, 而且也要同時結(jié)合分部積分法來求解一些更復(fù)雜函數(shù)的不定積分. 各種方法的綜合和靈活應(yīng)用才能使得學(xué)生更加深刻理解和掌握不定積分這一高等數(shù)學(xué)中的主要內(nèi)容.

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上冊). 3版[M]. 北京: 高等教育出版社, 2002: 184-185.

[2] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)(上冊). 6版[M] 北京: 高等教育出版社, 2007: 199.

ZHAO Ji-hong

(College of Science, Northwest A&F University, Yangling 712100, China)

secant functions; indefinite integration; integratal method by substitution

O 13; O 172.2

1672-6146(2012)01-0005-02

10.3969/j.issn.1672-6146.2012.01.002

2011-11-17

西北農(nóng)林科技大學(xué)博士科研啟動基金(Z109021118).

趙繼紅(1982-), 男, 博士, 研究方向: 偏微分方程和生物數(shù)學(xué). E-mail: zhaojihong2007@yahoo.com.cn

(責(zé)任編校:劉剛毅)