談?wù)w思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

顧興

解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往不是以問題的某個(gè)組成部分為著眼點(diǎn)，而是有意識(shí)放大考查問題的角度，將要解決的問題看做一個(gè)整體，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或做整體處理以后，達(dá)到順利而又簡(jiǎn)單地解決問題的目的，這就是整體思想.整體思想的主要表現(xiàn)形式有：觀察全局、整體代入、整體加減、整體聯(lián)想、整體補(bǔ)形，等等.它是一種重要的數(shù)學(xué)觀念，一些數(shù)學(xué)問題，若拘泥常規(guī)，從局部入手，則舉止維艱；若整體考慮，則暢通無(wú)阻.同時(shí)它又能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性.整體思想作為重要的數(shù)學(xué)思想之一，我們?cè)诮忸}過程中經(jīng)常使用，那么在數(shù)學(xué)解題中如何巧妙運(yùn)用呢？下面我結(jié)合教學(xué)實(shí)踐來(lái)談一談.

一、觀察全局

觀察全局，就是從全局上對(duì)已知條件進(jìn)行觀察分析，綜合考慮，從而得出解決問題的途徑.

例1．若實(shí)數(shù)x滿足y=2003+2004+2，則xy=?搖 ?搖.

分析：僅從局部來(lái)看，覺得這是一個(gè)二元方程，x、y不能解得.從全局來(lái)看，式子要有意義，實(shí)數(shù)x需滿足2x-3≥0，3-2x≥0，進(jìn)一步得到x=，y=2，xy=3.

例2．已知x+2y=4k+12x+y=k+2，且0＜x+y＜3，則k的取值范圍是?搖 ?搖.

分析：本題如果直接解方程求出 x、y，再帶入0＜x+y＜3肯定比較麻煩，注意到條件中x+y是一個(gè)整體，因而我們只需求得x+y，通過整體的加減即可達(dá)到目的.

解：將方程組的兩邊分別相加，得：3（x+y）=5k+3，所以x+y=k+1，從而得0＜k+1＜3，解得-＜k＜.

二、整體代入

有些習(xí)題，如果孤立地利用條件，問題雖可以得到解決，但解題過程比較復(fù)雜；但如果把所有已知條件看做一個(gè)整體，直接或變形以后代入所求，問題就容易解決多了.

例3．已知+=3，求的值.

分析：根據(jù)條件顯然無(wú)法計(jì)算出x、y的值，只能考慮在所求的代數(shù)式中構(gòu)造出+的形式，再代入求解.

解：===

本題亦可將條件+=3變形得：x+y=3xy，而===.

例4．若a-2a=b-2b=1，且a≠b，則+=?搖 ?搖.

分析：本題若按常規(guī)解法，從已知條件中解出a、b的值，代入計(jì)算就太繁了.運(yùn)用整體思想，則可考慮a、b是方程x-2x=1的兩個(gè)解.

由韋達(dá)定理可得：a+b=2，ab=-1，∴+===-6.

例5．關(guān)于x的一元二次方程x+（a-1）x+a-2=0有一根大于1，一根小于-1，求a的取值范圍.

分析：此題如果運(yùn)用根的判別式和韋達(dá)定理，解答此題比較困難.整體考慮，把一元二次方程x+（a-1）x+a-2=0與二次函數(shù)y=x+（a-1）x+a-2聯(lián)系起來(lái)，利用二次函數(shù)的圖像來(lái)解題，則顯得很直觀，也較為容易.

解：由題意知，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，一個(gè)交點(diǎn)在（-1，0）的左邊，另一個(gè)交點(diǎn)在（1，0）的右邊，拋物線開口向上，則可得：

當(dāng)x=1時(shí)，y＜0;當(dāng)x=-1時(shí)，y＜0，即

a+a-2＜0a-a＜0，∴-2＜a＜0.

說明：（1）因?yàn)楫?dāng)x=1，x=-1時(shí)，y＜0，所以解題過程中不必再考慮△＞0了.

（2）利用函數(shù)與圖像整體考查是解決涉及方程（不等式）有關(guān)根的問題有效方法之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引起足夠的重視.

三、整體換元

整體換元就是通過研究新元性質(zhì)來(lái)解決問題，此法常用于分解因式及解方程.運(yùn)用整體換元，可以把一個(gè)龐雜的式子轉(zhuǎn)化為一個(gè)條干清晰簡(jiǎn)單易解的新式子.

例6．分解因式（x-3x+2）（x-3x-4）-72

分析：注意題目的形式特征，把某一部分（可設(shè)x-3x=y）看做一個(gè)整體，運(yùn)用整體換元，把原方程化為形如x+px+q的二次三項(xiàng)式，進(jìn)一步用十字相乘法，最后注意分解要徹底.如果把（x-3x+2）和（x-3x-4）相乘，就會(huì)得到一個(gè)四次多項(xiàng)式，這時(shí)再分解就困難了.

例7.解方程（）-5（）+6=0

分析：此題若將看成一個(gè)整體，對(duì)方程左邊分解因式，可較簡(jiǎn)便地解出.

解：設(shè)=y，則原方程可化為y-5y+6=0，∴y=2，y=3，∴x=2，x=經(jīng)檢驗(yàn)，∴x=2，x=是原方程的根.

說明（1）對(duì)于某些方程，如果項(xiàng)中含有相同部分（或部分相同）可把它看做一個(gè)整體，用整體換元進(jìn)行代換，從而簡(jiǎn)化方程及解題過程.

（2）利用整體換元，我們還可以解決形如+=這樣的方程，只要設(shè)=y，從而將方程變形為3y+=，再轉(zhuǎn)化為一元二次方程來(lái)求解.

四、局部補(bǔ)全

有些題設(shè)條件故意提供一個(gè)局部圖形，來(lái)混淆解題者的思維，但如果把局部圖形補(bǔ)全，通過對(duì)整體圖形的研究，正確的解題思路就能浮出水面.

例8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，以BC為直徑的半圓O與以D為圓心、DA為半徑的圓弧相交于E，則CE的長(zhǎng)為（ ）

A.B.5C. D.

分析：把局部圖形補(bǔ)全，這實(shí)際上是一個(gè)兩圓相交求公共弦長(zhǎng)的問題，連接連心線OD交CE于F，OD垂直平分CE，在Rt△OCD中，OC=2，CD=4，OD=2；則利用面積相等可得CF=，CE=.所以選C.

例9．已知：AO是△ABC的∠A的平分線，BD⊥AO的延長(zhǎng)線于D，E是BC的中點(diǎn)，求證：DE=（AB-AC）.

分析：觀察圖形，AO是∠A的平分線，BD⊥AO，易想到凹五邊形ABDOC是等腰△ABF的一部分，補(bǔ)形后，中點(diǎn)D顯露無(wú)遺，問題順利得到解決.

證明：延長(zhǎng)BD、AC相交于F，∵AD平分∠BAF，AD⊥BF，∴△ABF是等腰三角形，且AB=AF，BD=DF.∵BE=EC，DE是△BCF的中位線.∴DE=CF=（AF-AC）=（AB-AC）.

五、化整為零

化整為零，就是化部分為整體，避免分散計(jì)算處理，在很多幾何習(xí)題中，如果把所求部分進(jìn)行單個(gè)計(jì)算，問題就無(wú)法獲解.只有把所求部分看做一個(gè)整體，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，才能得出答案.

例10．如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是BC上的一點(diǎn)，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE+PF的長(zhǎng).

分析：由已知條件并不能求得PE、PF的長(zhǎng)，我們把PE+PF的值看成一個(gè)整體.由題設(shè)條件可知：Rt△BPE∽R(shí)t△BDC，∴=，Rt△CPF∽R(shí)t△CAB，∴=，∴==，∴PE+PF=4.8.

例11．已知五個(gè)半徑為1的圓的位置如圖所示，各圓心的連線構(gòu)成一個(gè)五邊形，求陰影部分的面積.

分析：由于五邊形不具備特殊性，因此各個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)均未知，從而不能分別求出各個(gè)扇形的面積，為此，要求陰影部分的面積就要將幾個(gè)陰影部分（五個(gè)扇形）整體考慮.注意到五邊形內(nèi)角和為720°，又因?yàn)楦鱾€(gè)扇形的半徑相等，所以陰影部分的面積為兩個(gè)半徑為1的圓的面積.

整體思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，不僅僅局限于上述的幾種類型，還涉及其他的各種題型，只有通過不斷地挖掘、歸納、提煉，才能更好地把握整體思想的本質(zhì)和規(guī)律，從而使問題迎刃而解.用整體思想解題不僅解題過程簡(jiǎn)潔明快，而且富有創(chuàng)造性.有了整體思想的意識(shí)，在思考問題時(shí)，能使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，提高解題速度，優(yōu)化解題過程.同時(shí)，強(qiáng)化整體思想觀念，靈活選擇恰當(dāng)?shù)恼w思想方法，常常能幫助我們走出困境，走向成功.