把“根”鎖住

湯小青

有這樣一類問題：已知一個(gè)含參方程（函數(shù)），它的根（零點(diǎn)）在區(qū)間（a,b）上，求其中參數(shù)的取值范圍.換言之，求出了參數(shù)的取值范圍，即可把方程的根（函數(shù)的零點(diǎn)）牢牢地鎖在區(qū)間（a,b）上，故我們把這類問題稱為“鎖根（零點(diǎn)）問題”.下面就來探討一下如何把方程的根（函數(shù)的零點(diǎn)）鎖住.

一、用f（a）·f（b）＜0鎖根

已知函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上是單調(diào)函數(shù)，且它的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，若函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，則f（a）·f（b）＜0.利用這個(gè)結(jié)論，我們可以在已知方程（函數(shù)）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有根（零點(diǎn)）的前提下，解不等式，求參數(shù)的取值范圍.

例1：若函數(shù)f（x）=ax-2（a≠0）的零點(diǎn)在區(qū)間（0，2）內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

分析：無論a＜0還是a＞0，若函數(shù)在區(qū)間（0，2）上有零點(diǎn)，都會(huì)有f（0）·f（2）＜0，解此不等式，即得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：依題意，可得f（0）·f（2）＜0，即-2（2a-2）＜0，即a-1＞0，解得a＞1.

所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）.

解法秀：利用f（a）·f（b）＜0鎖零點(diǎn)，是建立在函數(shù)是單調(diào)函數(shù)的基礎(chǔ)上的，因?yàn)橐淮魏瘮?shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)一定是單調(diào)函數(shù)，所以直接利用f（a）·f（b）＜0鎖零點(diǎn)即可.

二、用函數(shù)性質(zhì)鎖根

對(duì)于二次函數(shù)，這個(gè)我們比較熟悉的函數(shù)，可以借助它的對(duì)稱性、單調(diào)性、開口方向等性質(zhì)鎖定其零點(diǎn).

例2：已知函數(shù)f（x）=x+2x-m有兩個(gè)小于1的不同零點(diǎn)，求m的取值范圍.

分析：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x+2x-m圖像的對(duì)稱軸為直線x=-1，所以它的兩個(gè)小于1的零點(diǎn)應(yīng)分別在（-∞，-1）和（-1，1）內(nèi)，故只需利用f（a）·f（b）＜0鎖定較大的零點(diǎn)即可.

解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x+2x-m圖像的對(duì)稱軸為直線x=-1，所以要使函數(shù)有兩個(gè)小于1的不同零點(diǎn)，只需f（-1）=-1-m＜0f（1）=3-m＞0，解得-1＜m＜3，即m的取值范圍是（-1，3）.

解法秀：兩個(gè)不同零點(diǎn)都小于某個(gè)數(shù)k，即兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間（-∞，k）內(nèi)，只要鎖定了較大的零點(diǎn)，較小的零點(diǎn)也就被鎖在區(qū)間（-∞，k）上了.本題是利用函數(shù)與不等式鎖定方程的根問題，其中，函數(shù)的主要作用是提供圖像，直觀確定m應(yīng)滿足的條件，不等式的主要作用就是求出m的取值范圍.一般地，鎖定二次函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）問題需考查以下三方面：根的判別式△、對(duì)稱軸、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào).對(duì)于某些鎖根問題，也可只考慮其中的兩方面或一方面.至于應(yīng)該考查幾方面，觀察圖像便可一目了然.

三、用函數(shù)圖像鎖根

對(duì)于由基本初等函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)（方程），我們可借助相關(guān)函數(shù)的圖像鎖定其零點(diǎn).

例3：若方程logx-=0（a＞0，且a≠1）的根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，則a的取值范圍是 .

分析：因本題中的函數(shù)不再是二次函數(shù)，顯然不能再用上面的方法解答，鑒于a的情況只有兩種：0＜a＜1，a＞1，故考慮借助函數(shù)圖像直觀確定.

解：如圖1，在同一坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)y=、y=logx（0＜a＜1）、y=logx（a＞1）的圖像.觀察圖像，可得只有當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=logx和y=的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間（0，1）內(nèi)，即方程logx-=0（a＞0，且a≠1）的根在區(qū)間（0，1）內(nèi).所以a的取值范圍是（0，1）.

解法秀：當(dāng)函數(shù)的單調(diào)性不易判定時(shí)，我們不能貿(mào)然用f（a）·f（b）＜0鎖根，可借助函數(shù)圖像解答.