分部積分法中的湊微分技巧

【摘 要】在分部積分法中，如何選取，是不定積分章節(jié)的難點(diǎn)，根據(jù)多年的經(jīng)驗(yàn)積累，本文總結(jié)出分部積分法中的湊微分技巧，以便快速正確求解出積分。

【關(guān)鍵詞】分部；積分；湊微分；技巧

1.引言

在高等數(shù)學(xué)的不定積分章節(jié)中，學(xué)習(xí)了直接積分法、第一類換元積分法、第二類換元積分法后，我們可以求解出一些簡(jiǎn)單的不定積分，但對(duì)于某些不定積分，如，，等，

仍然不能求出。為了解決這類不定積分問題，我們需借助分部積分法。

定義：設(shè)函數(shù)與具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則：

（1）式稱為分部積分公式，因?yàn)?，，所以分部積分公式又可寫成。應(yīng)用分部積分法時(shí)，

計(jì)算步驟可分解如下：

從以上計(jì)算步驟中可得，需將轉(zhuǎn)化為。顯然，我們的目標(biāo)是將求解比較困難的化為求解比較容易的，也即利用分部積分公式往往可以起到化難為易的作用。反之，則越算越復(fù)雜，甚至不能求出。例如：

顯然，比更復(fù)雜，不能求出積分。

因此，在利用分部積分法時(shí)，關(guān)鍵在于恰當(dāng)選取與，才能有效湊出微分。在分部積分公式中第一步是湊微分，我們得需將、中相對(duì)容易的確定為，即湊成。因此，選取與要考慮兩點(diǎn)：（1）容易求得；（2）比更易求出。

2.湊微分技巧

我們將中學(xué)所學(xué)的基本初等函數(shù)歸納起來共有五類，即三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)（將這五類基本初等函數(shù)簡(jiǎn)記為“三、指、冪、反、對(duì)”），求這五類函數(shù)綜中兩類函數(shù)合在一起的積分，如：，，，通常情況下利用直接積分法和換元積分法無法求得，需借用分部積分。因此，涉及到選取與，根據(jù)多年的任教經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出了湊微分的口訣，即“三指高、冪居中、反對(duì)低，湊高不湊低”，即五類基本初等函數(shù)在分部積分中湊微分的優(yōu)先級(jí)別由高到低的順序分別為三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)。下面以具體的實(shí)例說明。

3.舉例

綜上所述，在分部積分中湊微分時(shí)，只需牢記湊微分口訣“三指高、冪居中、反對(duì)低，湊高不湊低”，就能避免解題走彎路，從而問題得以迎刃而解。

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