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      向量中的除法運(yùn)算向量中的除法運(yùn)算

      2012-04-29 08:08:50望西軍宋開福
      關(guān)鍵詞:共線原點實數(shù)

      望西軍 宋開福

      【摘要】探究向量的除法運(yùn)算,給出向量除法運(yùn)算的運(yùn)用.

      【關(guān)鍵詞】向量;向量的除法オ

      向量,它既有大?。〝?shù)),又有方向(形),因而向量是數(shù)的一部分.在數(shù)軸上的向量坐標(biāo)是一個實數(shù)a(它的起點在原點0,終點對應(yīng)這個實數(shù)a);在平面中的向量坐標(biāo)是實數(shù)對(x,y)(它的起點在原點(0,0),終點對應(yīng)這個點(x,y));在空間中的向量坐標(biāo)是三實數(shù)組(x,y,z)(它的起點在原點(0,0,0),終點對應(yīng)這個點(x,y,z)).在這個意義上,向量可以看作實數(shù)的一種推廣.另一方面,在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上,復(fù)數(shù)(x+y玦)曾被推廣到四元素(x玦+y玧+z玨+a),而其中的﹛玦+獃玧+z玨被發(fā)展成現(xiàn)在的向量.向量運(yùn)算有著自身的特點,有些運(yùn)算律與實數(shù)相同,有些與實數(shù)運(yùn)算律不相同.

      向量自有加、減、數(shù)乘及數(shù)量積運(yùn)算之時,人們就已經(jīng)研究過除法運(yùn)算問題,然而幾百年來,前人沒有留下關(guān)于向量除法的文字,也沒有看到關(guān)于向量除法的解釋.向量,你真的沒有除法運(yùn)算嗎?

      我們先看一個例子,求方程(x2-3)(x2+1)=0的解.

      1.當(dāng)x為有理數(shù)時,解集x∈В華

      2.當(dāng)x為實數(shù)時,解集x∈{±3};

      3.當(dāng)x為復(fù)數(shù)時,解集x∈{±3,±玦珆.

      如果回答方程(x2-3)(x2+1)=0無解、有兩解或有四解都不對,因為它在不同的范圍內(nèi),解集不同.

      對向量的除法運(yùn)算也應(yīng)如此.

      設(shè)a,b都是非零的向量:

      (1)當(dāng)a與b不共線時,a[]b沒有意義;

      (2)當(dāng)a,b共線時赼[]b=λ∈R

      當(dāng)a,b同向時,λ=|a|[]|b|;當(dāng)a,b反向時,λ=-|a|[]|b|.

      由此可見,向量的除法運(yùn)算是共線向量范圍內(nèi)存在的一種運(yùn)算,向量a,b共線的表示a=λb實質(zhì)上是向量除法的變形記法.

      下面再來看向量除法運(yùn)算的運(yùn)用.

      (1)向量除法在判斷兩向量共線方面的運(yùn)用.

      例1 (新課標(biāo)《數(shù)學(xué)》2004年版必修4教材(玃98)例6)已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y.

      解 由a∥b輆[]b=2(2,1)[]3(2,y/3)∈R輞=3.

      例2 (新課標(biāo)《數(shù)學(xué)》2004年版必修4教材(玃98)例7)已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),判斷A,B,C三點之間的位置關(guān)系.

      解 ∵〢B=(2,4),〢C=(3,6)蒔〢B猍]〢C=2[]3,

      ∴〢B∥〢C.又AB∩AC=A,

      ∴A,B,C三點共線.

      (2)向量除法在線段的定比分點中的運(yùn)用.

      例3 設(shè)點P1(x1,y1),P2(x2,y2),點P(x,y)分有向線段㏄1P2為λ,即㏄1P=λ㏄P2(λ∈R,且λ≠-1),求P1,P2,P之間的關(guān)系.

      如圖,㏄1P猍]㏄P2=|㏄1P獆[]|㏄P2獆=x-x1[]x2-x=y-y1[]y2-y=λ,或オ㏄1P猍]㏄1P2=|㏄1P獆[]|㏄1P2獆=x-x1[]x2-x1=y-y1[]y2-y1=λ[]λ+1.

      向量除法將向量、向量的模及點的坐標(biāo)連在一起.

      例4 (新課標(biāo)《數(shù)學(xué)》2004年版必修4教材(玃101)練習(xí)第7題)已知A(2,3),B(4,-3),點P在線段AB的延長線上,且|〢P獆=3[]2|㏄B獆,求點P的坐標(biāo).

      設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),則

      〢B猍]〢P=2[]x-2=-6[]y-3=1[]3,∴P(8,-15).

      ァ靜慰嘉南住開オ

      普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書必修4《數(shù)學(xué)》A版.

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