淺談?dòng)欣頂?shù)的巧算淺談?dòng)欣頂?shù)的巧算

吳銀花

現(xiàn)代數(shù)學(xué)論認(rèn)為：數(shù)學(xué)源于生活，又運(yùn)用于生活，生活中充滿數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教育寓于生活實(shí)際.要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生溝通生活中的具體問(wèn)題與有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的聯(lián)系，借助學(xué)生熟悉的生活實(shí)際中的具體事例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的求知欲，幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，并運(yùn)用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

我們先來(lái)計(jì)算(100+2)×(100-2)的值：

(100+2)×(100-2)

=100×100-2×100+2×100-4

=1002-22.

這是一個(gè)對(duì)具體數(shù)的運(yùn)算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運(yùn)算過(guò)程變?yōu)?/p>

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

于是我們得到了一個(gè)重要的計(jì)算公式：

(a+b)(a-b)=a2-b2.

這個(gè)公式叫平方差公式，以后應(yīng)用這個(gè)公式計(jì)算時(shí)，不必重復(fù)公式的證明過(guò)程，可直接利用該公式計(jì)算.

例1 計(jì)算3001×2999的值.

解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)

=30002-12=8999999.

例2 計(jì)算103×97×10009的值.

解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)

=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99999919.

例3 計(jì)算：24690[]123462-12345×12347.

分析與解 直接計(jì)算繁.仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及三個(gè)連續(xù)整數(shù)：12345，12346，12347.可設(shè)字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母變?yōu)閚2-(n-1)(n+1).應(yīng)用平方差公式化簡(jiǎn)得

n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，

即原式分母的值是1，所以原式=24690.

例4 計(jì)算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).

分析 式子中2，22，24…每一個(gè)數(shù)都是前一個(gè)數(shù)的平方，若在(2+1)前面有一個(gè)(2-1)，就可以連續(xù)遞進(jìn)地運(yùn)用(a+b)(a-b)=a2-b2了.

解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)?(216+1)(232+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)?(232+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=…

=(232-1)(232+1)=264-1.

例5 計(jì)算：1-1[]221-1[]32…1-1[]921-1[]102.

分析 在前面的例題中，應(yīng)用過(guò)公式

(a+b)(a-b)=a2-b2.

這個(gè)公式也可以反著使用，即

a2-b2=(a+b)(a-b).

本題就是一個(gè)例子.

解 原式=1+1[]2

1-1[]2

1+1[]3

1-1[]3

?…?1+1[]9

1-1[]9

1+1[]10

1-1[]10

=1+1[]2

1+1[]3

…1+1[]9

1+1[]10

×1-1[]2

?1-1[]3

…1-1[]9

1-1[]10

=

3[]2?4[]3?5[]4?…?10[]9?11[]9

1[]2?2[]3?3[]4?…?8[]9?9[]10

=11[]2?1[]10?11[]20.

通過(guò)以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計(jì)算帶來(lái)很大的益處.下面再看一個(gè)例題，從中可以看到用字母表示一個(gè)式子，也可使計(jì)算簡(jiǎn)化.

例9 計(jì)算：1[]2+1[]3+…+1[]19991+1[]2+…+1[]1998-1+1[]2+…+1[]19991[]2+1[]3+…+1[]1998.

分析 四個(gè)括號(hào)中均包含一個(gè)共同部分：1[]2+1[]3+…+1[]1998,我們用一個(gè)字母表示它以簡(jiǎn)化計(jì)算.

解 設(shè)A=1[]2+1[]3+…+1[]1998,ピ蛟式=A+1[]1999(1+A)-1+A+1[]1999A=A+A2+1[]1999+A[]1999-〢+狝2+A[]1999=1[]1999.