運(yùn)用Stolz定理求解數(shù)列極限

陳莉敏,唐曉芙

本文介紹了用于求解數(shù)列極限的Stolz定理，并舉例將定理進(jìn)行了應(yīng)用。

在數(shù)列極限求解的時(shí)候,有人會(huì)直接使用洛必塔法則。例如求數(shù)列的極限，若直接使用洛必塔法則，則有===0。可是，數(shù)列是沒有導(dǎo)數(shù)的，因此，上述的做法是錯(cuò)誤的。但是，計(jì)算這樣一類的題，我們有類似于洛必塔法則的方法。現(xiàn)介紹如下。

定理1 （型Stolz定理）： 如果數(shù)列{yn}單調(diào)增加,且yn→+∞（n→∞）,它與數(shù)列{xn}一起滿足存在（或無窮大）, 則=。

定理2 （型Stolz定理）： 如果數(shù)列{xn}{yn}滿足yn-1＞yn＞0（n=1,2,…）,且xn=yn=0,存在（或無窮大）, 則=。

例1：求

解：由定理1，有==ln

=ln l=0.

例2：設(shè)an=a（a≠0），求證=（p∈N）.

證：令xn=a1+2p-1a2+3p-1a3+…+np-1an，yn=np,n∈N。

由定理1得：=====.

例3：求n（-arctan n）

解：n（-arctan n）=符合定理2的條件，

則式===

==-1.

（常州工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院）