建立對應(yīng)點(diǎn)在圖像變換中的應(yīng)用

鄭竹

摘 要:本文以建立函數(shù)圖像水平方向變換前后的對應(yīng)點(diǎn)間的關(guān)系,來確定函數(shù)在水平方向變換后的函數(shù)表達(dá)式。用這種方法可十分有效地解水平方向變換的題目,要比一般書上介紹的方法簡單,容易掌握,在解題中不易出錯(cuò)。

關(guān)鍵詞:函數(shù)對應(yīng)點(diǎn)變換

中圖分類號:G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1674-098X(2012)06(b)-0256-01

在高中數(shù)學(xué)中,圖像變換問題以圖像水平方向變換居多。解這一類問題,一般是根據(jù)圖像變換前后的函數(shù)表達(dá)式來解決,但學(xué)生在處理這一問題時(shí),常常會對函數(shù)表達(dá)式的含義理解不到位而出錯(cuò)。如把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位,得到的函數(shù)是,絕不是。但多數(shù)學(xué)生則認(rèn)為得出的函數(shù)是,這是對函數(shù)表達(dá)式的含義理解不清造成的。一般書上,在解這類問題時(shí),多指出函數(shù)圖像的平移要注意用什么代替了什么,要注意圖像的平移規(guī)律:左加右減,上加下減。這時(shí)得到的圖像,需用代替中的,即得。但學(xué)生用這種方法解這類題時(shí),還是容易出錯(cuò),其原因是學(xué)生對這種方法理解不透。圖像在水平方向上的變換的最大特點(diǎn)是縱坐標(biāo)不變,如果抓住了這一規(guī)律,也就掌握了解決這一類題目的方法。

設(shè)函數(shù)在水平方向上平移后得到函數(shù),令,使函數(shù)上一點(diǎn)經(jīng)水平方向上變換后對應(yīng)的點(diǎn)是。在水平方向平移變換中,根據(jù)點(diǎn)與間的位置關(guān)系,或點(diǎn)與間的橫坐標(biāo)與間的關(guān)系就可確定函數(shù)是經(jīng)過怎樣在水平方向上平移得到函數(shù)的。當(dāng)時(shí),函數(shù)向右平移個(gè)單位得到函數(shù);當(dāng)時(shí),函數(shù)向左平移個(gè)單位得到函數(shù)。在實(shí)際使用中,可取一特殊點(diǎn),即取。

函數(shù)上點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大A倍(縱坐標(biāo)不變)得到對應(yīng)的點(diǎn)為,對應(yīng)的函數(shù)是;函數(shù)上點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小A倍(縱坐標(biāo)不變)得到對應(yīng)的點(diǎn)為,對應(yīng)的函數(shù)是。

建立圖像在水平方向上變換的前后圖像上對應(yīng)點(diǎn)的位置關(guān)系來解決變換問題,學(xué)生容易理解和掌握,操作簡單而易行,并且還不會出錯(cuò)。

例1:(《高中數(shù)學(xué)培優(yōu)——解題錯(cuò)點(diǎn)診斷與方法引導(dǎo)》第22頁例4)要得到函數(shù)的圖像,只要將函數(shù)的圖像( )

A、向左平移個(gè)單位;B、向左平移個(gè)單位;

C、向右平移個(gè)單位;D、向右平移個(gè)單位。

解:令函數(shù)中的,得;再令函數(shù)中的,得?？疾禳c(diǎn)與,知點(diǎn)在右邊個(gè)單位,即點(diǎn)的橫坐標(biāo)在點(diǎn)的橫坐標(biāo)的右邊個(gè)單位,可得出函數(shù)是由函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得到。故選D。

例2:《高中數(shù)培優(yōu)——解題錯(cuò)點(diǎn)診斷與方法引導(dǎo)》第6頁例8)函數(shù)是偶函數(shù),則函數(shù)的對稱軸是( )

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、

解:令中的,得,令中的,得,知橫坐標(biāo)在橫坐標(biāo)左邊1個(gè)單位。所以函數(shù)是函數(shù)的圖像沿水平方向向左平移1個(gè)單位而得到。偶函數(shù)的對稱軸是y軸,即,把y軸向左平移1個(gè)單位得。故選Ａ。

例3:(安徽高考)將函數(shù)的圖像按向量平移后所得的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱,則向量的坐標(biāo)可能為( )

A、B、C、D、

解:設(shè),令函數(shù)中,得,函數(shù)的圖像按向量平移后可得對應(yīng)點(diǎn),即。由此得出得函數(shù)的圖像按向量平移后的函數(shù)是。令,,因的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱,有,得,當(dāng)時(shí),。故應(yīng)選C。

例4:將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位,再把所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍,所得解析式為( )

A、 B、

C、 D、

解:令函數(shù)中,得。把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位,則對應(yīng)的橫坐標(biāo)為,即,得圖像平移后函數(shù)為,再把平移后所得的縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍所得函數(shù)為,故選C。

從上述的解題過程來看,用圖像水平方向變換前后的對應(yīng)點(diǎn)的思路來解題,操作簡單,易于掌握。