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2012-04-29 08:36:37趙建軍
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2012年18期
趙建軍
解三角形是高中數(shù)學(xué)必修五的主要內(nèi)容，是初中“解直角三角形”內(nèi)容的拓展與延續(xù)，也是三角函數(shù)和平面向量在解三角形中的應(yīng)用. 通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，定量地揭示三角形邊、角之間的數(shù)量關(guān)系，而正弦定理與余弦定理是反映三角形元素度量關(guān)系的重要定理，是解決三角形邊與角度量關(guān)系的強(qiáng)大工具. 然而，學(xué)生在遇到此類問題時(shí)，卻不知何時(shí)該用哪個(gè)定理. 基于此，本文主要就此作了歸納總結(jié).
１． 已知一邊和兩個(gè)角，解三角形
例１ 在△ＡＢＣ中，已知ａ ＝ ２０，Ａ ＝ ３０°，Ｃ ＝ ４５°，求Ｂ，ｂ，ｃ．
思維導(dǎo)引 由正弦定理先求角C對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)c.
解析 ∵ Ａ ＝ ３０°，Ｃ ＝ ４５°，∴ Ｂ ＝ １８０° － （Ａ ＋ Ｃ） ＝ １０５°.
又由正弦定理得c = ■ = ■ = 20■，
b = ■ = ■＝ ４０ ｓｉｎ（４５° ＋ ６０°）= 10（■ + ■）.
∴ Ｂ ＝ １０５°，ｂ ＝ １０（■ ＋ ■），ｃ ＝ ２０■．
規(guī)律方法 已知三角形的任意兩個(gè)角及一邊，由三角形內(nèi)角和定理可以先求出三角形的另一角，再由正弦定理計(jì)算出三角形的另兩邊.
２． 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形
例２ 在△ＡＢＣ中，已知ａ ＝ ■，ｂ ＝ ■，Ｂ ＝ ６０°，求Ａ，Ｃ，ｃ．
思維導(dǎo)引 先由正弦定理求另一邊的對(duì)角，再由內(nèi)角和定理求第三角，最后求第三邊.
解 由正弦定理有■ = ■，解得sin A = ■．
由a < b，得A < B． ∴ A = 45°，C = 75°．
c = ■ = ■ = ■.
規(guī)律方法 已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形. 先由正弦定理求另一邊的對(duì)角（要注意有可能兩解），再由內(nèi)角和定理求第三角，最后求第三邊.
３． 已知兩邊及其夾角，解三角形
例１ 在△ＡＢＣ中，已知ａ ＝ ２■，ｃ ＝ ■ ＋ ■，B = 45°，解三角形．
思維導(dǎo)引 先由余弦定理求第三邊和另一個(gè)角，再由內(nèi)角和定理求第三個(gè)角．
解 由余弦定理，得ｂ２ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ － ２ａｃ ｃｏｓ Ｂ ＝ ８，
∴ ｂ ＝ ２■．
由正弦定理，得sin A = ■ = ■ = ■．
∵ c > a > b，∴ A為銳角．
∴ A = 60°，C = 180° - 45° - 60° = 75°．
４． 已知三角形的三邊，解三角形
例４ 在△ＡＢＣ中，已知ａ ＝ ７，ｂ ＝ ３，c = 5，求三角形最大角.
思維導(dǎo)引 先由余弦定理求兩個(gè)角，再由內(nèi)角和定理求第三個(gè)角． 在三角形中，大邊對(duì)大角，所以邊a所對(duì)角最大．
解 ∵ a > c > b，∴ A為最大角．
由余弦定理求得cos A = ■ = -■.
∴ A = 120°． A為最大角．
一個(gè)三角形有三個(gè)角和三個(gè)邊共六個(gè)量，我們一般要確定一個(gè)三角形，至少需要已知三個(gè)量（至少一邊）. 一邊和二角，二邊和一角，三個(gè)邊. 解三角形的綜合問題，除靈活運(yùn)用正弦定理與余弦定理外，還要注意三角形性質(zhì)，以及三角恒等變形的應(yīng)用.
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b = ■ = ■＝ ４０ ｓｉｎ（４５° ＋ ６０°）= 10（■ + ■）.
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∴ ｂ ＝ ２■．
由正弦定理，得sin A = ■ = ■ = ■．
∵ c > a > b，∴ A為銳角．
∴ A = 60°，C = 180° - 45° - 60° = 75°．
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