一般三次方程的簡明新求根公式和根的判別法則

謝國芳

【摘要】本文推導(dǎo)出了遠(yuǎn)比卡丹公式簡明快捷的可直接用來求解一般三次方程ax3+bx2+cx+d=0的新求根公式，進(jìn)而又針對實系數(shù)的情形討論了根的情況，得到了方便的根的判別法則.

【關(guān)鍵詞】三次方程；求根公式；判別法；判別式

一、一般三次方程的簡化

對于一般形式的三次方程ax3+bx2+cx+d=0 （a≠0）， 兩邊同除以a，即可化為首項系數(shù)為1的三次方程

x3+bax2+cax+da=0.

作變量代換

x=y-b3a.（1）

可消去二次項，得

y3+py+q=0.（2）

其中p=-b2-3ac3a2，q=-9abc-2b3-27a2d27a3.（3）

下面我們把形如式（2）的三次方程稱為簡約三次方程，并約定其一次項系數(shù)p≠0.

二、簡約三次方程的三角函數(shù)解法和求根公式

在方程（2）中作變量代換琜1琞

y=2-p3cosz.（4）

利用三倍角公式 cos3z=4cos3z-3cosz， 方程（2）變?yōu)?/p>

cos3z=-q/2（-p/3）3.（5）

定義參數(shù)χ=-q/2（-p/3）3.（6）

稱之為三次方程y3+py+q=0的關(guān)鍵比（key ratio），式（5）即

cos3z=χ.（7）

利用歐拉公式 cosz=e琲z+e-iz2.（8）

可將方程（7）化為一個以e3iz為元的二次方程 （e3iz）2-2χ（e3iz）+1=0， 解得e3iz=χ±χ2-1.

定義參數(shù) W=χ+χ2-1， 由上式可得 e琲z = 3W 或 13W， 再由式（8），（4）即得方程y3+py+q=0的根為

y=-p33W+13W.（9）

其中 W=χ+χ2-1， χ=-q/2（-p/3）3. （10）

復(fù)立方根3W的三個值正好對應(yīng)于方程的三個根.

三、簡約三次方程的另一個求根公式

定義參數(shù) λ = -q/2（p/3）3， 亦稱之為三次方程y3+py+q=0的關(guān)鍵比，對比χ的定義式（6），若規(guī)定平方根的取值滿足（參見注1和附錄1）-p/3=ip/3， 則χ=iλ， 于是

W=χ+χ2-1=iλ+（iλ）2-1=iλ+-（λ2+1）=i（λ+λ2+1）.

定義參數(shù)Z=λ+λ2+1， 則W=iZ， 故 3W=eπi/6·3Z（參見附錄1）， 代入式（9）可得

y=p3e2πi/3·3Z -1 e2πi/3·3Z.

因為e2πi/3乘以立方根3Z的三個值后仍得到3Z的三個值，所以上式即

y=p33Z-13Z.（12）

其中

Z=λ+λ2+1， λ=-q/2（p/3）3.（13）

四、一般三次方程的兩個求根公式

為了把求根公式（9）和（12）推廣到一般三次方程ax3+bx2+cx+d=0，只需把相應(yīng)的簡約三次方程y3+py+q=0的關(guān)鍵比χ和λ直接用系數(shù)a，b，c，d表出即可. 將由式（3）給出的p，q值代入χ和λ的定義式可得琜2琞

χ = -q/2（-p/3）3 = 9abc-2b3-27a2d27a32b2-3ac9a23=9abc-2b3-27a2d2（b2-3ac）3，

λ = -q/2（p/3）3= 9abc-2b3-27a2d2（-（b2-3ac））3.

定義D=b2-3ac， 則

χ=9abc-2b3-27a2d2（D）3，λ=9abc-2b3-27a2d2（-D）3.

我們可以把它們稱為三次方程ax3+bx2+cx+d=0的關(guān)鍵比. 根據(jù)求根公式（9）和（12），并注意到p=-D3a2和x=y-b3a（參見式（1），（3）），我們就得到了下面的結(jié)果.

定理1（一般三次方程的求根公式Ⅰ）對于三次方程ax3+bx2+cx+d=0， 定義參數(shù)

D=b2-3ac， χ=9abc-2b3-27a2d2（D）3，

W=χ+χ2-1.（14）

則當(dāng)D≠0時它的根為琜3琞

x=-b+D（3W+13W）3a.（15）

設(shè)W=|W|e琲β，|W|為復(fù)數(shù)W的模，β=argW為其幅角主值（-π<β≤π），則3W的三個值為

3|W|e琲β/3， 3|W|e琲（β+2π）/3， 3|W|e琲（β-2π）/3.

代入式（15），并定義實參數(shù)ρ=3|W|， 可得方程的三個根：

x1=-b+Dρ+1ρcosβ3+iρ-1ρsinβ33a，x2=-b+Dρ+1ρcosβ3+2π3+iρ-1ρsinβ3+2π33a，x3=-b+Dρ+1ρcosβ3-2π3+iρ-1ρsinβ3-2π33a.（16）

其中ρ=3|W|， β=argW， W=χ+χ2-1.

定理2（一般三次方程的求根公式Ⅱ）對于三次方程ax3+bx2+cx+d=0， 定義參數(shù)

D=b2-3ac， λ=9abc-2b3-27a2d2（-D）3，Z=λ+λ2+1.（17）

則當(dāng)D≠0時它的根為x=-b+-D3Z-13Z3a.（18）

設(shè)Z=Ze琲α，Z為復(fù)數(shù)Z的模，α=argZ為其幅角主值（-π<α≤π），則3Z的三個值為

3|Z|e琲α/3， 3|Z|e琲（α+2π）/3， 3|Z|e琲（α-2π）/3.

代入式（18），并定義實參數(shù)σ=3|Z|，可得方程的三個根：

x1=-b+-Dσ-1σcosα3+iσ+1σsinα33a，x2=-b+-Dσ-1σcosα3+2π3+iσ+1σsinα3+2π33a，x3=-b+-Dσ-1σcosα3-2π3+iσ+1σsinα3-2π33a.（19）

其中σ=3|Z|， α=argZ， Z=λ+λ2+1.

注意求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ是等價的，在實際應(yīng)用中，我們可以使用這兩個求根公式中的任意一個求解（可視方便而定），除了根的編號可能不同之外，得到的結(jié)果是完全相同的.

例1 解復(fù)系數(shù)三次方程 x3+ix2+x-i=0.

解（用求根公式Ⅰ）D=b2-3ac=（i）2-3×1×1=-4，

χ=9abc-2b3-27a2d2（D）3=9i-2i3-27×（-i）2（-4）3=-198，

W=χ+χ2-1=-198+-1982-1=-19-3338，

β=argW=π， ρ=3|W|=319-3338≈0.604401892838194，

代入式（16），即得方程的三個根：

x1=-i+-4ρ+1ρcosπ3+iρ-1ρsinπ33 ≈0.606290729207199+0.419643377607081i，

x2≈-1.839286755214161i，x3≈-0.606290729207199+0.419643377607081i.

也可以用求根公式Ⅱ求解本題，所得結(jié)果的差別只是后兩個根的編號不同.

五、一般實系數(shù)三次方程的求解和根的判別法則（D-χ判別法）

對于實系數(shù)三次方程ax3+bx2+cx+d=0，我們可以根據(jù)參數(shù)D=b2-3ac的值，選擇使用求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ中較方便的一個求解，進(jìn)而判定根的情況.

1.D<0的情形

當(dāng)D=b2-3ac<0時，顯然用求根公式Ⅱ求解比較方便，因為這時關(guān)鍵比λ為實數(shù)（參見式（17）），Z=λ+λ2+1亦為實數(shù)，設(shè)其實立方根為K，則3Z的三個值為K， e2πi/3K， e-2πi/3K，代入式（18）即得方程的三個根：

x1=-b+-DK-1K3a，x2，3=-b+-DK-1Kcos2π33a±i-DK+1Ksin2π33a.（20）

其中K=3λ+λ2+1， λ=9abc-2b3-27a2d2（-D）3，（λ∈R， K∈R）.

顯然x1為實根，x2， x3為共軛虛根.

2.D>0的情形

當(dāng)D=b2-3ac>0時，顯然用求根公式Ⅰ求解比較方便，因為這時關(guān)鍵比χ為實數(shù)（參見式（14）），參數(shù)W=χ+χ2-1的取值視χ而定.

（1）若χ≥1，則W=χ+χ2-1亦為實數(shù)，設(shè)其實立方根為κ，則3W的三個值為κ， e2πi/3κ， e-2πi/3κ，代入式（15）即得方程的三個根：

x1=-b+D（κ+1κ）3a，x2，3=-b+D（κ+1κ）cos2π33a±iD（κ-1κ）sin2π33a.（21）

其中κ=3χ+χ2-1，（χ∈R， χ≥1， κ∈R）.

易見x1為實根. 當(dāng)χ>1時，x2，x3為共軛虛根. 當(dāng)χ=1，即χ=±1時，κ=±1，x2，x3為兩個相等的實根.

（2）若χ<1，設(shè)χ=cosθ，（0<θ<π），即θ=cos-1χ，于是

W=χ+χ2-1=cosθ+cos2θ-1=cosθ+isinθ=e琲θ，

3W的三個值為e琲θ/3， e琲（θ+2π）/3， e琲（θ-2π）/3，代入式（15）即得方程的三個根：

x1=-b+D·2cosθ33a，x2=-b+D·2cosθ3+2π33a，x3=-b+D·2cosθ3-2π33a.（22）

其中θ=cos-1χ，（χ∈R， χ<1）. 顯然x1，x2，x3全都是實根，由0<θ<π可知

0<θ3<π3，2π3<θ3+2π3<π，-2π3<θ3-2π3<-π3.

因此

12

當(dāng)a>0時即可判定各根的范圍如下：

-b+D3a

顯然x1>x3>x2.當(dāng)a<0時，上面三個不等式中的不等號反向，即x1

3.D=0的情形

當(dāng)D=b2-3ac=0 時，方程ax3+bx2+cx+d=0可以配成完全立方求解，兩邊同除以a，再利用c=b23a可將它改寫為 x+b3a3=b3a3-da. 解得

x1=-b+3b3-27a2d3a，x2=-b+3b3-27a2d·ω3a，x3=-b+3b3-27a2d·ω23a.（23）

其中ω為三次單位根（ω=-12+32i，ω2=ω=-12-32i）. 易見當(dāng)b3≠27a2d時，x1為實根. x2，x3為共軛虛根.當(dāng)b3=27a2d時，x1=x2=x3=-b3a，即方程有一個三重實根-b3a.

4.一般實系數(shù)三次方程的根的判別法則（D-χ判別法）

綜上所述，我們就得到了如下的判別一般實系數(shù)三次方程的根的法則，我們可以把它稱為D-χ判別法，參數(shù)D=b2-3ac（注意它和二次方程判別式的相似性）可稱為第一判別式（first discriminant），它和關(guān)鍵比χ = 9abc-2b3-27a2d2（D）3合在一起就能簡單快捷地判定實系數(shù)三次方程ax3+bx2+cx+d=0的根的情況，并決定相應(yīng)的最便捷的求根公式：

（1）當(dāng)D=b2-3ac<0時琜4琞，方程有一個實根和兩個共軛虛根.

可用求根公式（20）求解.

（2）當(dāng)D=b2-3ac>0，χ>1時，方程亦有一個實根和兩個共軛虛根.

可用求根公式（21）求解.

（3）當(dāng)D=b2-3ac>0，χ=1時，方程有一個兩重實根和一個單重實根.

仍可用求根公式（21）求解，也可以用三角求根公式（22）求解.

（4） 當(dāng)D=b2-3ac>0，χ<1時，方程有三個互異的實根.

可用三角求根公式（22）求解.

（5） 當(dāng)D=b2-3ac=0，b3≠27a2d時琜5琞，方程亦有一個實根和兩個共軛虛根.

可配成完全立方或用式（23）求解.

（6） 當(dāng)D=b2-3ac=0，b3=27a2d時琜6琞，方程有一個三重實根-b3a.

例2 判別方程27x3-2x2+8x-4=0根的情況并求解.

解 D=b2-3ac=（-2）2-3×27×8=-644， 由D<0 可知該方程有一個實根和兩個共軛虛根，可用求根公式（20）求解.

λ= 9abc-2b3-27a2d2（-D）3 = 9×27×（-2）×8-2×（-2）3-27×272×（-4）2·（644）3ぁ2.290292896392045，

K=3λ+λ2+1 ≈1.685620470846232，

x1=-b+-DK-1K3a=2+644K-1K3×27≈0.366928020961414，

x2，3=2-644·12K-1K3×27±i644·32K+1K3×27ぁ-0.146426973443670±0.618313639592831i.

例3 判別方程x3-0.276x2+0.0136x-0.00043=0 根的情況并求其實根.

解 D=b2-3ac=（-0.276）2-3×0.0136=0.035376，

χ = 9abc-2b3-27a2d2（D）3= 9×（-0.276）×0.0136-2×（-0.276）3-27×（-0.00043）2（0.035376）3

≈1.493662011245495，

由D>0，χ>1 可知該方程有一個實根和兩個共軛虛根，可用求根公式（21）求解.

κ=3χ+χ2-1≈1.375628929048766，

實根 x1=-b+Dκ+1κ3a=0.276+0.035376κ+1κ3ぁ0.223820634031594.

例4 判別方程x3-0.5856x2+0.072x-0.002=0根的情況并求解.

解 D=b2-3ac=（-0.5856）2-3×0.072=0.12692736，

χ=9abc-2b3-27a2d2（D）3=9×（-0.5856）×0.072-2×（-0.5856）3-27×（-0.002）2（0.12692736）3ぁ0.842186183431575，

由D>0，χ<1可知該方程有三個互異的實根，可用三角求根公式（22）求解.

θ=cos-1χ≈0.569471258300053，

x1=-b+D·2cosθ33a

=0.5856+0.12692736·2cosθ33ぁ0.428446125903143，

x2=0.5856+0.12692736·2cosθ3+2π33ぁ0.039765810249773，

x3=0.5856+0.12692736·2cosθ3-2π33ぁ0.117388063847084.

【注解】

[1]注意復(fù)數(shù)的平方根有兩個值（它們相差一個符號），本文中的所有平方根都可以取其兩個值中的任意一個值，最終得到的解是完全相同的（除了根的編號可能不同之外），這可以稱為方根取值的自由性原則，它的原理其實就隱含在下面對各求根公式的推導(dǎo)過程中，因為我們對其中出現(xiàn)的平方根都沒有限定它取哪一個值，即它可以取任意一個值. 在實際應(yīng)用中，為了方便計算，可約定各求根公式中的平方根全都取主值（參見附錄1）.

[2]對于任意非零復(fù)數(shù)a，我們總可以選取平方根-b2-3ac9a2的一個值使得它滿足-b2-3ac9a2=-（b2-3ac）3a（因為-（b2-3ac）3a2=-b2-3ac9a2，所以-（b2-3ac）3a必為-b2-3ac9a2的一個值），參見附錄1和注1.

[3]當(dāng)D=0時方程的根由式（23）給出（其中的系數(shù)可取復(fù)數(shù)值）.

[4]即當(dāng)關(guān)鍵比χ為虛數(shù)時.

[5]即當(dāng)關(guān)鍵比χ的分母為0而分子不為0時.

[6]即當(dāng)關(guān)鍵比χ的分母和分子都為0時.

附錄1 復(fù)數(shù)的方根及其性質(zhì)

設(shè)|Z|為復(fù)數(shù)z的模，θ為其幅角主值（-π<θ≤π），其n次方根nz的一般值為

nz=n|z|e琲（θ+2kπ）/n=n|z|cosθ+2kπn+isinθ+2kπn，（k∈Z） ，

當(dāng)k=0，1，2， …， n-1時，上式正好給出n個不同的值，我們可以把k=0對應(yīng)的值即|z|e琲θ/n稱為nz的主值. 易見復(fù)數(shù)的方根有下面的性質(zhì)：

nz1z2=nz1·nz2.

鑒于復(fù)數(shù)方根的多值性，上式中等號的意義是等式兩邊的值的集合相同，更具體地說，我們可以對它作如下更精細(xì)的解釋：

（1）nz1的任意一個值和nz2的任意一個值相乘都是nz1z2的一個值.

（2）固定nz1的一個值，當(dāng)nz2取遍其所有值（共n個）時，乘積nz1·nz2取遍nz1z2的所有值.

（3）nz1z2的任意一個值都可以表示為nz1的任意一個值和nz2的一個值的乘積.

【參考文獻(xiàn)】

（美）迪克森（L.E.Dickson）著.黃緣芳譯.代數(shù)方程式論[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011.