圓錐曲線切線的幾個(gè)有趣性質(zhì)

圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，又是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，因而成為歷年高考必不可少的考查對(duì)象.圓錐曲線的主要內(nèi)容之一是其切線問(wèn)題，學(xué)生往往在求解和證明圓錐曲線問(wèn)題時(shí)感到力不從心，甚至產(chǎn)生厭學(xué)情緒，為了幫助學(xué)生擺脫這種困境，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，對(duì)圓錐曲線的切線問(wèn)題有深刻認(rèn)識(shí)，拓寬解題思路，本文通過(guò)采用添加輔助線的方法，得到了以下5個(gè)有趣的性質(zhì)，以供參考.

性質(zhì)1 設(shè)F為圓錐曲線（離心率為e）的一個(gè)焦點(diǎn)，

其相應(yīng)的準(zhǔn)線為l.一直線交圓錐曲線于M，N，交l于P，則FP平分∠MFN的外角.

圖 1

證明 如圖1，過(guò)M，N作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別是K，Q.

由圓錐曲線的定義有

|MF|[]|MK|=|NF|[]|NQ|=e，

∴|MF|[]|NF|=|MK|[]|NQ|.（1）

又由MK⊥l，NQ⊥l知|MK|[]|NQ|=|MP|[]|NP|.（2）

由（1）（2）有

|MF|[]|NF|=|MP|[]|NP|.

由三角形外角平分線定理的逆定理知FP平分∠MFN的外角.

性質(zhì)2 設(shè)F為圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，其相應(yīng)準(zhǔn)線為l，

過(guò)圓錐曲線上一點(diǎn)M的切線交準(zhǔn)線l于P，則PF⊥MF.

證明 如圖2，延長(zhǎng)MF交圓錐曲線于M1.在性質(zhì)1中，

當(dāng)N與M重合時(shí)，直線PNM成為與圓錐曲線相切于點(diǎn)M的切線PM，∠NFM1成為平角∠MFM1.由性質(zhì)1知FP平分∠NFM1，即FP平分∠MFM1，故PF⊥MF.

圖 2

性質(zhì)3 設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓（離心率為e）的兩個(gè)焦點(diǎn)，

點(diǎn)M是橢圓上異于長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的任一點(diǎn)，則在橢圓上的點(diǎn)M處的切線和法線分別平分∠F1MF2及它的外角.

圖 3

證明 過(guò)M的切線交準(zhǔn)線l于點(diǎn)P，法線交長(zhǎng)軸于N.

如圖3，設(shè)點(diǎn)D，E分別在射線F1M，NM上，連接PF2.

由性質(zhì)2知∠MF2P=90°，作MM′⊥l，垂足為M′，連接F2M′，知點(diǎn)M，M′，P，F(xiàn)2四點(diǎn)共圓，MP是直徑.由MN⊥MP知MN是這個(gè)圓的切線，從而

∠NMF2=∠MM′F2，∠MF2N=∠F2MM′.

∴△MF2N∽△M′MF2.

∴NF2[]MF2=MF2[]MM′=e.（1）

同理NF1[]MF1=e.（2）

由（1）（2）知NF2[]MF2=NF1[]MF1，即NF1[]NF2=MF1[]MF2.

由三角形內(nèi)角平分線定理知MN平分∠F1MF2，即∠F1MN=∠F2MN.

由法線定義知∠EMD+∠PMD=∠PMF2+∠F2MN=90°.

又 ∵∠EMD=∠F1MN=∠F2MN，

∴∠PMD=∠PMF2.

故MP平分∠F1MF2的外角∠F2MD.

性質(zhì)4 設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，A1，A2是長(zhǎng)軸兩

端點(diǎn)，

過(guò)橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)M作橢圓的切線，過(guò)F1，F(xiàn)2作切線

的垂線，垂足分別是B，C，則B，C在以A1A2為直徑的圓上.

圖 4

證明 如圖4，設(shè)橢圓的中心為O，直線F1M與直線F2C相交

于D，連接OC，OB.由性質(zhì)3知MC平分∠F2MF1的外角∠F2MD.

∵M(jìn)C⊥F2D，∴C是F2D的中點(diǎn)，且有MD=MF2，從而有

OC=1[]2F1D=1[]2（F1M+MD）=1[]2（F1M+MF2）=1[]2A1A2.

∴點(diǎn)C在以A1A2為直徑的圓上，同理點(diǎn)B也在以A1A2為直徑的圓上.

性質(zhì)5 P為橢圓外一點(diǎn)，PA，PB是橢圓的兩切線，

A，B為切點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩焦點(diǎn)，則PF1，PF2分別平分∠AF1B，∠AF2B.

圖 5

證明 如圖5，過(guò)F1，F(xiàn)2分別作PA，PB的垂線，交直線F2A，F(xiàn)1B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F′1，F(xiàn)′2，交直線PA，PB延長(zhǎng)線于C，D，連接PF1，PF2，PF′1，PF′2.

由性質(zhì)3知∠F1AC=∠F′1AC，又PC⊥F1F′1，

∴AF1=AF′1，PF1=PF′1.

∴△PF1A≌△PF′1A.

∴∠PF1A=∠PF′1A.（1）

∴F2F′1=AF′1+AF2=AF1+AF2=2a.

同理F1F′2=BF1+BF′2=BF1+BF2=2a，

PF2=PF′2.

∴△PF1F′2≌△PF′1F2.

∴∠AF′1F2=∠PF1B.（2）

由（1）（2）知∠PF1A=∠PF1B，故PF1平分∠AF1B，

同理可證PF2平分∠AF2B.