初中數(shù)學(xué)最值問題的解法

趙秀琴

摘要： 最值型數(shù)學(xué)問題不論是在近幾年的競賽還是中考當(dāng)中都經(jīng)常出現(xiàn)，這類問題貼近生活、貼近社會，有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和社會價(jià)值，有利于考查學(xué)生的分析、猜想、建模和綜合應(yīng)用等方面的能力。

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué)最值問題解法

最值型數(shù)學(xué)問題不論是在近幾年的競賽還是中考當(dāng)中都經(jīng)常出現(xiàn)，這類問題貼近生活、貼近社會，有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和社會價(jià)值，有利于考查學(xué)生的分析、猜想、建模和綜合應(yīng)用等方面的能力.下面就數(shù)學(xué)中常見的最值問題和解法介紹如下.

一、平面幾何的最值問題

平面幾何的最值問題是一類常見的題型，它涉及的知識面廣，綜合性強(qiáng)，解答有一定的難度，下面介紹一種利用“軸對稱”巧解最值問題的方法，舉例說明.

例1：A、B兩點(diǎn)在直線L的同側(cè)，在直線L上取一點(diǎn)P，使PA+PB最小.

分析：在直線L上任取一點(diǎn)P′，連接AP′，BP′，在△ABP中，AP′+BP′＞AB，如果AP′+BP′＝AB，則P′必在線段AB上，而線段AB與直線L無交點(diǎn)，所以這種思路錯(cuò)誤.取點(diǎn)A關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)A′，則AP′＝AP，在△A′BP中，A′P′+B′P′＞A′B，當(dāng)P′移到A′B與直線L的交點(diǎn)處P點(diǎn)時(shí)PA′+B′P′＝A′B，所以這時(shí)PA+PB最小.

二、利用函數(shù)的性質(zhì)求最值問題

1.一次函數(shù)、反比例函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

一次函數(shù)和反比例函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都沒有最值，但在實(shí)際應(yīng)用問題當(dāng)中，自變量在一定范圍內(nèi)取值時(shí)，由函數(shù)的增減性知函數(shù)有最值.

例2：學(xué)校需刻錄一批電腦光盤，若到電腦公司刻錄，每張需8元（包括空白光盤費(fèi)）；若學(xué)校自刻，除租用一臺刻錄機(jī)需120元外，每張還需成本4元（包括空白光盤費(fèi)）.刻錄這批電腦光盤，到電腦公司刻錄費(fèi)用省還是自刻費(fèi)用?。空堈f明理由.

分析：這里刻錄光盤的張數(shù)不知道，所需費(fèi)用隨光盤張數(shù)的增大而增大，需建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系.

解：設(shè)需刻錄x張電腦光盤，則到電腦公司刻錄需y=8x元，自錄刻需y=（120+4x）元，所以有：y-y=8x-（120+4x）=4（x-30）;當(dāng)x＞30時(shí)，y-y＞0，∴y＞y;當(dāng)x=30時(shí)，y-y=0，∴y=y;當(dāng)x<30時(shí)，y-y<0，∴y

答：當(dāng)刻錄光盤數(shù)多于30張時(shí)，自刻費(fèi)用?。划?dāng)刻錄光盤數(shù)等于30張時(shí)，兩者一樣；當(dāng)刻錄光盤數(shù)少于30張時(shí)，到電腦公司刻比較省.

2.二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

一般情況下，二次函數(shù)y=ax+bx+c（a≠0）的最值由頂點(diǎn)坐標(biāo)來確定，這是大多數(shù)同學(xué)容易掌握的.但有時(shí)受自變量取值范圍的影響，函數(shù)的最值不是由頂點(diǎn)坐標(biāo)來確定，這種情況很容易被學(xué)生所疏忽.下面列舉幾例說明.

例3：某商場將每臺進(jìn)價(jià)為3000元的彩電以3900元的銷售價(jià)售出，每天可銷售出6臺，假設(shè)這種品牌的彩電每臺降價(jià)100x（x為正整數(shù)）元，每天可以多銷售出3x臺.（注：利潤=銷售價(jià)－進(jìn)價(jià)）

（1）設(shè)商場每天銷售這種彩電獲得的利潤為y元，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）銷售該品牌彩電每天獲得的最大利潤是多少？此時(shí)，每臺彩電的銷售價(jià)是多少時(shí)，彩電的銷售量和營業(yè)額均較高？

分析：（1）銷售每臺彩電獲利3900-3000-100x=（-100x+900）元，每天銷售量為（6+3x）臺，所以y=（-100x+900）（6+3x）=-300x+2100x+5400.

（2）y=（-100x+900）（6+3x）=-300x+2100x+5400=-300（x-）+9075.

頂點(diǎn)為（，9075），又因?yàn)閤為正整數(shù)，所以當(dāng)x=3或4時(shí)，y取最大值，且為9000元.當(dāng)x=3時(shí)，銷售價(jià)為每臺3600元，銷售量為15臺，營業(yè)額為3600×15=54000元；當(dāng)x=4時(shí)，銷售價(jià)為每臺3500元，銷售量為18臺，營業(yè)額為3500×18=63000元.通過對比發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售價(jià)為每臺3500元時(shí)，能保證銷售量和營業(yè)額均較高.

小結(jié)：本題頂點(diǎn)（，9075），不能作為二次函數(shù)圖像的最高點(diǎn)的原因是x不能取小數(shù)，所以做題時(shí)要注意審題（題中括號內(nèi)已說明x為正整數(shù)），不能放過每一個(gè)細(xì)節(jié).

因此，做二次函數(shù)最值這一類題目時(shí)，要充分挖掘題目中的隱含條件，正確求出自變量的取值范圍。有兩種方法可求出最值：①幾何方法：畫出函數(shù)圖像，找出圖像中的最高點(diǎn)（或最低點(diǎn)），從而求出當(dāng)自變量為何值時(shí)，函數(shù)的最大值（或最小值）是多少？②代數(shù)方法：首先判斷頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在，它就是最值點(diǎn)；若不在，它就不是最值點(diǎn)，然后另尋它點(diǎn).

三、利用不等式求最值問題

例4：某公司為了擴(kuò)大經(jīng)營，決定購進(jìn)6臺機(jī)器用于生產(chǎn)某種活塞.現(xiàn)有甲、乙兩種機(jī)器供選擇，其中每種機(jī)器的價(jià)格和每臺機(jī)器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如下表所示.經(jīng)過預(yù)算，本次購買機(jī)器所耗資金不能超過34萬元.

（1）按該公司要求可以有幾種購買方案？

（2）若該公司購進(jìn)的6臺機(jī)器的日生產(chǎn)能力不能低于380個(gè)，那么為了節(jié)約資金應(yīng)選擇哪種方案？

分析：本題是消費(fèi)購物設(shè)計(jì)型問題，解決這類問題的基本思路是從實(shí)際問題中尋找等量（或不等量）關(guān)系，通過購建方程（或函數(shù)、不等式）模型，從中尋找解決問題的最佳方案.

解：（1）設(shè)購買甲種機(jī)器x臺，則購買乙種機(jī)器（6-x）臺.

由題意，得7x+5(6-x)≤34;解這個(gè)不等式，得x≤2，即x可以取0、1、2三個(gè)值，所以，該公司按要求可以有以下三種購買方案：方案一：不購買甲種機(jī)器，購買乙種機(jī)器6臺；方案二：購買甲種機(jī)器1臺，購買乙種機(jī)器5臺；方案三：購買甲種機(jī)器2臺，購買乙種機(jī)器4臺.

（2）按方案一購買機(jī)器，所耗資金為30萬元，新購買機(jī)器日生產(chǎn)量為360個(gè)；按方案二購買機(jī)器，所耗資金為1×7＋5×5＝32萬元；新購買機(jī)器日生產(chǎn)量為1×100＋5×60＝400個(gè)；按方案三購買機(jī)器，所耗資金為2×7＋4×5＝34萬元；新購買機(jī)器日生產(chǎn)量為2×100＋4×60＝440個(gè).

因此，選擇方案二既能達(dá)到生產(chǎn)能力不低于380個(gè)的要求，又比方案三節(jié)約2萬元資金，故應(yīng)選擇方案二.

以上總結(jié)的三種類型是初中數(shù)學(xué)求最值問題常見的類型，遇到這類問題之后只要認(rèn)真審題，理清思路，就一定會找到最合理的解法.