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      Rn上完全非線性退化拋物系統(tǒng)無界黏性解的存在性

      2012-04-29 00:44:03王俊芳王照良
      科教導(dǎo)刊 2012年5期

      王俊芳 王照良

      摘 要 本文主要證明了上完全非線性退化拋物系統(tǒng)的耦合黏性上下解的比較原理的成立,也證明了黏性解的存在唯一性。

      關(guān)鍵詞 耦合黏性上下解 完全非線性退化拋物方程 Perron's方法

      中圖分類號:O1文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

      Existence of Unbounded Viscosity Solutions of Fully

      Nonlinear Degenerate Parabolic Systems in

      WANG Junfang[1], WANG Zhaoliang[2]

      ([1] Zhengzhou Vocational College of Industrial Safety, Zhengzhou, He'nan 450000;

      [2] School of Mathematics and Information Science, He'nan Polytechnic University,Jiaozuo, He'nan 454000)

      Abstract In this article, we prove the comparison principle for coupled viscosity sub and super-solution of degenerate parabolic systems of general form inby the technique of coupled viscosity sub- and supper-solutions. We also prove the existence, uniqueness of viscosity by Perron's method.

      Key words Coupled viscosity sub and supper-solutions; Fully nonlinear degenerate parabolic equations; Perron's method

      0 引言

      這篇文章主要是關(guān)于下列二階完全非線性退化拋物方程組(1.1)

      在黏性意義下的解。這里 = ( 0, ]住?讇讇住是給定的函數(shù)但不一定連續(xù)。未知函數(shù)→是實(shí)值函數(shù);其中是捉資刀猿憑卣蟮募合?

      對于擬單調(diào)系統(tǒng)來說,比較原理并不成立,為解決這個(gè)難題,我們利用了耦合黏性上下解的技巧。首先定義: () = {}:讇住?

      這里,

      定義1 假定是退化拋物擬單調(diào)的。我們稱()是(1.1)的黏性上下解,如果≤≤, ∈, 并且滿足

      ,

      ,

      。

      這里是通過∈讇錐ㄒ宓??梢奫6]。

      此時(shí),如果 和 都是 (1.1)的耦合黏性上下解。則稱為 (1.1)的耦合黏性解;如果是 (1.1)的耦合耦合黏性解,稱為 (1.1)的黏性解。

      在文獻(xiàn) [6,7]里定義的黏性解僅適用于標(biāo)量退化橢圓或拋物方程,而上述定義在[4,9] 中成為研究完全非線性拋物或橢圓系統(tǒng)一個(gè)有力工具。這篇文章,我們不僅證明了比較原理的成立,也證明了全空間上黏性解的存在唯一性,這個(gè)結(jié)果拓展了文獻(xiàn)[9]的內(nèi)容,那里的區(qū)域是有界的。

      1 比較原理

      為建立比較原理,我們需加一些條件。

      (1):存在常數(shù)>0,使得()(,,,,)≥-,,() ∈ 。

      (2):存在連續(xù)函數(shù)滿足 = 0使得對每一個(gè)固定,

      (,,,,)() ≤ [||(1+||)]

      , ∈,,,且≤。

      (3):存在常數(shù)使得

      |()(,,,,)|≤||

      ∈, (,,,)∈

      (4):對每一個(gè), = {|()|:||,||≤}<∞。

      定理1 設(shè)是退化拋物擬單調(diào)的且滿足 (1)-(4),讓是(1.1)的耦合粘性上下解。假定至多線性增長,即存在,使得

      ≤(1+||), ≥-(1+||)(2.1)

      則≤

      在證明定理 1之前,我們先做出下面的粗略估計(jì)。

      性質(zhì)1. 假定滿足條件(4)。讓是(1.1)的耦合黏性上下解。滿足 (2.1)式。則對每個(gè) >,存在常數(shù) = (, )>0使得

      ()()≤ ||+(2.2)

      證明:假定和—在上上半連續(xù),讓

      () = ,=(1+||1/2) +

      我們僅需證明,()≤,選取足夠大。(2.3)

      選擇一組上函數(shù),具有性質(zhì):

      (a):≥0; (b):() = 0, ||<, ;

      (c):;

      (d): = {|()|+|()|:∈,>0}<∞。

      考慮函數(shù) () = () (() + ())

      由(2.1)和(c)知 ()<0若||2 + ||2≥且0≤,≤,足夠大。假設(shè)(2.3)錯(cuò)誤,由(b)得,{}>0, 足夠大。注意到 在(,,,)上達(dá)到最大值,這里0< ,< , ,<。于是

      ( ,+, )∈ ( ) ,

      ( ,, - )∈ ( )

      這里 = ((1+||2)1/2) │z =x-y , = ((1+||2)1/2)│z =x-y , =

      由于是(1.1)的耦合黏性上下解,則有

      + ((),, + ,)≤0(2.4)

      + ((),,, -)≥0(2.5)

      又由(d)和的定義,知

      | + |, | |, ||, |-|≤, = ( , )

      兩式相減,再由(4),得≤,如果選取大于和,得出矛盾。

      設(shè) , >0,>1讓其中 () =,= (||2 + ||2)+

      性質(zhì)2.假設(shè)和滿足(2.2),且 = {():|> ,|()∈}>0,則存在常數(shù),使得()>,0< <, 0< < 0,>1 (2.6)

      證明:由(2.2)式知 < +∞。根據(jù)條件,存在一點(diǎn)() ,使得()>3/4且||4</ , 足夠大。注意到 ()>,因此 ()>,, 充分小。

      定理1的證明。反證,假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤,則存在 ∈ ,>0,使得={ :||> , ∈}

      ={{ :||> , ∈}}(2.7)

      現(xiàn)在考慮函數(shù)

      由(2.2)可看出是負(fù)的在緊集 [0, )??外。因上半連續(xù),由(2.6),在點(diǎn)(,,)達(dá)到最大值,這里(,,)依賴于 , , 且(,,)>0,則

      ≤|| +( 1+ ), (2.8)

      根據(jù)和耦合黏性上下解的定義,可知≠0且≠,則存在數(shù)和 ∈,使得( +,+)∈ (), (,)∈(),

      從(2.8)式看出 (||2 + ||2)和 ||3有界,且與0< , ≤1和 >1無關(guān)。因此當(dāng) →0時(shí), , 收斂于0,關(guān)于一致。當(dāng) →∞時(shí),||→0關(guān)于0< ,≤1一致。由[10]性質(zhì)4.4,有||4 = 0,又由()是耦合黏性上下解,則

      + (, ,(),,+ ,+ )≤0 (2.9)

      + (, ,(),, , )≥0 (2.10)

      兩式相減并注意下半連續(xù),讓 →0,得

      0≥ +(, ,(),,, )(, ,(),, , ) = +1+ 2+ 3

      這里(, )是()的極限點(diǎn),當(dāng) →0時(shí),且<,其中

      1= (, ,(),,, )(, ,(),, , );

      2=(, ,(),,, )(, ,(), , , );

      3=(, ,(),,, )(, ,(), , , )

      由條件(1)知 1> ( )→,當(dāng) →∞時(shí);由條件(3)和(2.7),知 2>,當(dāng) →∞時(shí); 又由條件(2)和<知,當(dāng) →∞, , →0時(shí), 3≥- (|| (1+)) = -(|| +||4)→0。所以,≥,當(dāng) →∞, , →0時(shí)。于是得出矛盾,因?yàn)?> ,故比較原理成立。

      2 黏性解的存在

      定理2.假定滿足定理 1的條件。為(1.1)的黏性上下解,≤且和至多線性增長。則(1.1) 有唯一黏性解。

      對于定理2,我們不再給出證明,它是Perron方法的直接結(jié)果。

      本文受福建省教育廳A類科技項(xiàng)目(JA09202)、河南理工大學(xué)青年基金(Q2011-36A)資助

      參考文獻(xiàn)

      [1] H. Engler, S.M. Lenhart, Viscosity solutions for weakly coupled systems of Hamilton-Jacobi equations, Proc. London Math. Soc. 63 (1991) 212-240.

      [2] H.Ishii, Uniqueness of unbounded viscosity solution of Hamilton-jacobi equations, Indiana. Univ. Math. J. 33, No.5 (1984), 721-748.

      [3] H.Ishii, Perron's method for Hamilton-Jacobi equations, Duke Math J.55 (1987), 369-384.

      [4] H. Ishii, S. Koike, Viscosity solutions for monotone systems of second-order parabolic PDEs, Comm. Partial Differential Equations 16 (1991) 1095-1128.

      [5] H. Ishii, S. Koike, Viscosity solutions of a systems of nonlinear second-order parabolic PDEs arising in switching games, Funkcial. Ekvac. 34 (1991) 143-155.

      [6] M.G. Crandall, H. Ishii, P.L. Lions, Users guide to viscosity solutions of second order partial differential equations, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 27 (1992) 1-67.

      [7] M.G. Crandall and P.L. Lions, Viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations, Trans. Amer. Math. Soc. 277 (1983) 1-42.

      [8] S.M. Lenhart, Viscosity solutions for weakly coupled systems of first order PDEs, J. Math. Anal. Appl. 131 (1988) 180-193.

      [9] W.Liu, Y.Yang, G.Lu,Viscosity solution of fully nonlinear parabolic systems, J. Math. Anal. Appl. 281 (2003) 362-381.

      [10] Y. Giga, S. Goto, M.-H. Sato,Comparison principle and convexity preserving properties for singular degenerate parabolic equations on unbounded domains, Indiana. Univ. Math. J. 40, No.2(1991), 443-470.

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