例析以長(zhǎng)方形對(duì)角線(xiàn)為載體的中考試題

楊發(fā)鑫

中考試題中，以長(zhǎng)方形為載體的中考題屢屢出現(xiàn)，這類(lèi)題往往要用到有關(guān)長(zhǎng)方形對(duì)角線(xiàn)的結(jié)論，若這個(gè)結(jié)論沒(méi)掌握好，要解這類(lèi)題目是不容易的，下面我給出結(jié)論及應(yīng)用供同仁們參考．

結(jié)論１ 如圖１，長(zhǎng)方形ＡＢＣＤ的對(duì)角線(xiàn)把長(zhǎng)方形分成面積相等的兩部分．

利用三角形全等容易證明

S△ACB = S△ACD．

結(jié)論２ 如圖２，ＡＣ是長(zhǎng)方形ＡＢＣＤ的對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn)Ｅ是對(duì)角線(xiàn)ＡＣ上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Ｅ分別做ＡＢ，ＡＤ的平行線(xiàn)段ＩＦ，ＨＧ，點(diǎn)Ｉ，Ｆ分別在ＡＤ，ＢＣ上，點(diǎn)Ｈ，Ｇ分別在ＡＢ，ＤＣ上，則圖中陰影部分的面積相等，即S1 = S2．

證明：如圖２，在長(zhǎng)方形ＡＢＣＤ中，由結(jié)論１知，S△ACB = S△ACD……①．

同理在長(zhǎng)方形ＡＨＥＩ中，由結(jié)論１知，

S△AEI = S△ABH……②．

同理在長(zhǎng)方形ＥＦＣＧ中，由結(jié)論１知，

S△ECG = S△ECF……③．

①-②-③，得S1 = S2．

例１ （２０１１年浙江省杭州市城南初級(jí)中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試題）如圖３，矩形ＡＢＣＤ的對(duì)角線(xiàn)ＢＤ經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸，點(diǎn)Ｃ在反比例函數(shù)y = ■的圖像上．若點(diǎn)Ａ的坐標(biāo)為（－２，－２），則ｋ的值為 （ ）.

Ａ． －２ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４

點(diǎn)評(píng) 由結(jié)論２，易知ｋ ＝ ４，答案選Ｄ.

例２ （２０１１甘肅蘭州）如圖４，矩形ＡＢＣＤ的對(duì)角線(xiàn)ＢＤ經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸，點(diǎn)Ｃ在反比例函數(shù)y = ■的圖像上．若點(diǎn)Ａ的坐標(biāo)為（－２，－２），則ｋ的值為 （ ）.

Ａ． １ Ｂ． －３ Ｃ． ４ Ｄ． １或－３

點(diǎn)評(píng) 由結(jié)論２，易知k2 + 2k + 1 =4，解得ｋ ＝ １或－３ ，答案選Ｄ.

以上兩例說(shuō)明了這個(gè)結(jié)論在解題中的重要作用，若平時(shí)對(duì)這個(gè)結(jié)論不熟悉，要解出這兩道例題顯然是不容易的．