淺談求函數(shù)f(x)解析式的方法

劉愛(ài)國(guó)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終，而求函數(shù)解析式是常見(jiàn)的類(lèi)型，本文列舉些事例進(jìn)行剖析，供解題時(shí)參考.

一、配湊法

把所給函數(shù)的解析式，通過(guò)配方、湊項(xiàng)等方法使之變形為關(guān)于“自變量”的表達(dá)式，然后以x替“自變量”即得所求函數(shù)的解析式,一般地利用完全平方公式.

例1 已知f1+1[]x=1[]x2-1，求f(x)的解析式.

解 把解析式按“自變量”——“1+1[]x”變形，得

f1+1[]x=1+1[]x2-21+1[]x，

在上式中以x代1+1[]x，得

f(x)=x2-2x(x≠1).

二、換元法

已知f［g(x)］，求f(x)的解析式.一般的可用換元法，具體為：令t=g(x),求出f(t)可得f(x)的解析式.換元后要確定新元t的取值范圍.

例2 已知f(3x+1)=4x+3，求f(x)的解析式.

解 令t=3x+1，則x=t-1[]3輋(t)=4×t-1[]3+3輋(t)=4t-5[]3.∴f(x)=4x-5[]3.

三、待定系數(shù)法

所求函數(shù)的解析表達(dá)式是多項(xiàng)式的情形，首先確定多項(xiàng)式的次數(shù)，寫(xiě)出它的一般表達(dá)式，然后由已經(jīng)條件，根據(jù)多項(xiàng)式相等的條件確定待定系數(shù).

例3 已知二次函數(shù)f(x)滿足條件f(0)=1及f(x+1)-f(x)=2x,求f(x).

解 設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由f(0)=1,知c=1，

f(x+1)-f(x)=［a（x+1）2+b(x+1)+c］-(ax2+bx+c)=2ax+a+b.

由f(x+1)-f(x)=2x,得2ax+a+b=2x.

∴2a=2,a+b=0.

∴a=1,b=-1.∴f(x)=x2-x+1.

四、解方程組法

求抽象函數(shù)的解析式，往往通過(guò)變換變量構(gòu)造一個(gè)方程，組成方程組，利用消元法，求f(x)的解析式.

例4 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(-∞,0)∪（0，+∞）上的函數(shù)，且滿足關(guān)系式3f(x)+2f1[]x=4x,求f(x)的解析式.

解 令x=1[]x,3f1[]x+2f(x)=4·1[]x，聯(lián)立方程，得

3f(x)+2f1[]x=4x,

3f1[]x+2f(x)=4·1[]x.∴f(x)=12[]5x-8[]5x.

五、賦值法

一般地，已知一個(gè)關(guān)于x,y的抽象函數(shù)，利用特殊值去掉一個(gè)未知數(shù)y，得出關(guān)于x的解析式.

例5 函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x

成立且f(1)=0,求f(x)的解析式.

解 令x=1,y=0,代入得f(1+0)-f(0)=(1+2×1)×1,

∴f(0)=-2.

又令y=0得f(x+0)-f(0)=(x+0+1)x，∴f(x)=x2+x-2.

六、歸納遞推法

若函數(shù)的定義域?yàn)镹*，且函數(shù)關(guān)系式是由遞推關(guān)系給出的，可用遞推法求出f(x).

例6 已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)镹*，且對(duì)任意的n∈N*，都滿足

f(n+1)=f(n)+2n+1，f(1)=1，求f(x).

解 由f(n+1)=f(n)+2n+1，

依次令n=1，2，…，n-1，有

f(2)=f(1)+3，

f(3)=f(2)+5，

……

f(n)=f(n-1)+2n-1,

以上n-1個(gè)式子相加，得

f(n)=f(1)+3+5+…+(2n-1)

=1+3+5+…+(2n-1)=n2，ス蔲(x)=x2(x∈N*).

七、數(shù)列法

求定義在正整數(shù)集N*上的函數(shù)f(n)，實(shí)際上就是數(shù)列{f(n)}(n=1，2，…)的通項(xiàng).數(shù)列法就是利用等比、等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)(通項(xiàng)公式、求和公式等)求定義在N*上的函數(shù)f(n).

例7 已知f(1)=1，且對(duì)任意正整數(shù)n，都有f(n+1)=3f(n)+2，求f(n).

解 由f(n+1)=3f(n)+2，有

f(n+1)+1=3［f(n)+1)］.

∴f(n+1)+1[]f(n)+1=3.

{f(n)+1}為公比是3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為f(1)+1=1+1=2.

∴f(n)+1=2·3﹏-1，即ゝ(n)=2·3﹏-1-1.

八、參數(shù)法

一般地，通過(guò)設(shè)參數(shù)、消參數(shù)得出函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而求出f(x)的表達(dá)式.

例8 已知f(2-玞os玿)=5-玸in2x，求f(x).

解 設(shè)所求函數(shù)y=f(x)的參數(shù)表達(dá)式為x=2-玞os玹,

y=5-玸in2t;玞os玹=2-x， ①

玸in2t=5-y.②

①2+②，消去參數(shù)t，得y=x2-4x+8,ゼ磃(x)=x2-4x+8,x∈［1,3］.

總結(jié) 求函數(shù)的解析式的方法較多，除上面八種方法外，還有利用給定特性求解析式法和相關(guān)點(diǎn)法等，應(yīng)根據(jù)題意靈活選擇，但不論是哪種方法都應(yīng)注意自變量的取值范圍的變化，對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，更需注意這一點(diǎn)，應(yīng)保證各種有關(guān)量均有意義.求出的函數(shù)解析式最后要寫(xiě)上函數(shù)的定義域，這是容易遺漏和疏忽的地方.