基于相似性的電路力學(xué)分析方法

楊 光，楊 碩，倪守誠，田社平

(上海交通大學(xué)電子信息學(xué)院，上海 200240)

力學(xué)反映了最為普遍的自然規(guī)律，具有良好的自洽性，特別是拉格朗目(Lagrange)和哈密頓(Hamilton)等人建立起的基于廣義力學(xué)量的分析力學(xué)，可以實現(xiàn)基于結(jié)構(gòu)的相似性有效的理論移植。文獻(xiàn)［1］已經(jīng)給出了力學(xué)理論向幾何光學(xué)的移植，其有效性業(yè)已彰現(xiàn)。由于電路模型本質(zhì)上具有的力學(xué)性和形式上與力學(xué)理論的相似性，我們將基于集中參數(shù)電路基本定理，在集中參數(shù)電路中建立起相似于力學(xué)的數(shù)學(xué)模型，從而實現(xiàn)如下的電路分析模式:廣義力學(xué)模型→電路的力學(xué)模型→電路分析方法。這種分析模式將力學(xué)理論移植到電路分析中來，提高了理論研究的效率，拓寬了研究思路，對于“基礎(chǔ)電路理論”課程的教學(xué)頗具意義［2］。

1 廣義力學(xué)模型

1.1 動力學(xué)基本原理和運動方程

動力學(xué)基本原理又稱達(dá)朗貝爾(D'Alembert)原理，是廣義力學(xué)模型的基礎(chǔ)。在自由度為n的力學(xué)模型中，達(dá)朗貝爾原理表述如下:

式中，qα為廣義坐標(biāo)，互相獨立;δqα表示qα的變分;Xα為包含對應(yīng)qα的所有作用力的總力。考慮到諸δqα互相獨立，由式(1)立即可得

上式稱為系統(tǒng)的運動方程。式中諸Qk反映了關(guān)于qα的各種作用。事實上，如果在一個系統(tǒng)中能夠定義滿足式(1)的qα和Xα，便可以在這個系統(tǒng)中建立起廣義力學(xué)模型，用力學(xué)方法來對系統(tǒng)的演化規(guī)律進(jìn)行研究［3］。

1.2 拉格朗日方程

對于任意給出的運動方程(1)，一般并非都能定義滿足式(4)的拉格朗日函數(shù)［4］。

式中，Nα稱為廣義非勢力，是廣義力中不能由泛函微商表示的成分。

在系統(tǒng)中建立廣義力學(xué)模型時，可先通過式(1)進(jìn)行可行性驗證;模型建立后，可通過對式(5)進(jìn)行分析，確定系統(tǒng)中運動方程的形式，進(jìn)而確定系統(tǒng)演化所對應(yīng)的力學(xué)分析方法。此外，我們需要指出，以上運算中微分運算的結(jié)果亦可包含廣義函數(shù)，這對應(yīng)著沖擊與碰撞問題。

2 線性非時變電路力學(xué)模型的建立

2.1 廣義坐標(biāo)的選取

就本質(zhì)而言，集中電路參數(shù)模型要求將電場和磁場分開［2］，將耗散元件與供能元件分開，即電場和電荷積累只存在于儲存電場能的元件中。磁場只存在于儲存磁場能的元件中，耗散只存在于阻尼(電阻)元件中，外勢場僅由電源決定。

根據(jù)上節(jié)所述，我們先選取廣義坐標(biāo)，嘗試在電路中建立力學(xué)模型。

考慮到集中參數(shù)電路中的同一支路里，電流處處相等且僅與儲存電能的元件里積累的電荷相關(guān)，電荷只受接入支路中的電源的作用。同時由于電源都是通過在電路中形成外加勢場對電路中電子進(jìn)行加速，從而實現(xiàn)對電路的供能，這里約定對含有電流源的電路均作戴維南等效。

由電路理論可知，同一支路上元件中電流是互不獨立的，它們服從KCL約束，對有N個節(jié)點，B條支路的電路，在每一節(jié)點處有

式(6)是完整約束［1］。此時互相獨立的電流有n=B-N+1個，且n為電路中的獨立回路數(shù)?？紤]到電流的定義i=dq/dt，可以選取n個互相獨立的回路電流i1，i2，…，in為對應(yīng)力學(xué)的廣義速度，與之對應(yīng)的電荷量q1，q2，…，qn為對應(yīng)力學(xué)的廣義坐標(biāo)。

2.2 電路的力學(xué)原理形式

如上所述，對應(yīng)力學(xué)的廣義坐標(biāo)其量綱為電荷的量綱，即庫侖。對照式(1)可知，Xα應(yīng)具有電壓的量綱。于是，將式(1)改寫為

如果取Uα為獨立回路一周的電壓代數(shù)和，則由KVL可知

因此力學(xué)的式(1)和電路的式(8)的相似性得到了確證，這表明在電路中建立廣義力學(xué)模型是可行的。

考慮到Uα(α =1，2，…，n)是回路中諸元件兩端電壓的代數(shù)和，按元件的性質(zhì)將式(9)改寫為

式中，UEα、UMα、UNα和USα分別為回路中所有儲電能元件兩端電壓代數(shù)和、所有儲磁能元件電壓代數(shù)和、所有耗散元件兩端的電壓代數(shù)和以及所有電源兩端的電壓代數(shù)和。需注意，求和時注意參考方向應(yīng)取一致［2］。

為了更方便簡潔地探究電路的力學(xué)對應(yīng)，考慮最簡單的非時變線性模型。此時，儲電能元件為線性非時變電容。其兩端電壓為

式中，qα為諸元件的電荷積累，Cα為串聯(lián)電容值。

儲磁能元件為線性非時變電感，其兩端電壓為

式中，Iβ為產(chǎn)生相應(yīng)磁場能的電流，Lαβ為串聯(lián)等效電感矩陣的矩陣元。

電源為線性非時變電源，其兩端電壓可表示為

2.3 電學(xué)量的力學(xué)形式對應(yīng)

從上面的討論我們初步得到了電學(xué)量的兩個力學(xué)形式，即式(18)和式(19)。除此之外，有一個簡單的事實是

根據(jù)力學(xué)理論，動量是動能對相應(yīng)速度的微商，則相應(yīng)的電學(xué)理論，便有

上式是關(guān)于Iα的自感磁通與互感磁通之和。在力學(xué)理論中，動量對時間的微商描述了物體的受力情況，相應(yīng)地將電路的感性元件視為受力物體，其受力情況如下:

這是感性元件的感應(yīng)電動勢。

將感性元件視為力學(xué)的受力質(zhì)點，繼續(xù)來研究作用外力的來源。在我們討論的上述電路系統(tǒng)中，外力只能是由勢能產(chǎn)生的保守力和與電阻對應(yīng)的耗散力，即

這正是式(10)的結(jié)果，進(jìn)一步表明了電路力學(xué)模型的正確性，即確實可以將電壓看作廣義力來處理。值得一提的是，上述方法均是通過導(dǎo)出力學(xué)牛頓運動方程的方法來求解的，而與之等價的則是正則方程。為此，定義哈密頓量為

上式中 Λα(pα)為非正則余項［1］，可由實際計算得出。式(29)的意義將在下面的討論中體現(xiàn)。

綜上所述，線性非時變電路對應(yīng)的力學(xué)模型建立起來了。由于其對應(yīng)的是線性力學(xué)系統(tǒng)，其運動方程將是二階線性微分方程(組)。在線性動力學(xué)中，物體運動的軌跡是唯一的［1］，因此，線性非時變電路的解也具有唯一性。

3 算例

我們現(xiàn)以一個簡單的二階線性電路例子來說明上述分析方法。如圖1所示為US激勵下的RLC并聯(lián)電路。

圖1 RLC并聯(lián)電路

我們可以采用如下的分析步驟:

(1)確定電路的自由度:電路的獨立網(wǎng)孔數(shù)為2，電路的自由度為2。

(2)選取如圖1的廣義坐標(biāo):分別選取電壓源—電阻—電感回路和電感—電容回路，含這兩個網(wǎng)孔的網(wǎng)孔電荷量q1和q2為廣義坐標(biāo)。

(3)確定拉格朗日量的形式:注意廣義速度即電流I1和I2流經(jīng)電感發(fā)生全耦合，電流取圖1所示的順時針參考方向，則有

設(shè)iL=I1－I2為電感中電流(參考方向取向下)，uC=q2/C為電容兩端電壓(參考方向取上正下負(fù))，則上式可化為

這與列寫兩個回路的KVL方程結(jié)果完全一致。

應(yīng)用力學(xué)模型方法進(jìn)行電路的分析時，對于符合［式(16)～式(19)］的線性非時變模型電路，我們可以直接列出［式(25)］的拉格朗日方程，從而得到電路力學(xué)模型滿足的運動方程。然后再進(jìn)行求解，關(guān)于這一點，文獻(xiàn)［5］－［8］已經(jīng)給出了幾個有效的算例。需要指出，和力學(xué)研究方法相似，電路力學(xué)模型著眼于全過程而不區(qū)分暫態(tài)與穩(wěn)態(tài)，這同傳統(tǒng)電路研究方法略有差異。

4 結(jié)語

本文指出，從數(shù)學(xué)上可以發(fā)現(xiàn)，線性非時變集中參數(shù)電路的力學(xué)模型與經(jīng)典質(zhì)點動力學(xué)模型一一對應(yīng)關(guān)系，如表1所示。這表明，線性非時變電路可借助存在速度反比阻尼的有勢質(zhì)點系模型進(jìn)行研究。

表1 電路的力學(xué)模型與經(jīng)典質(zhì)點動力學(xué)模型

本文初步探討了電路系統(tǒng)和力學(xué)系統(tǒng)的相似性，討論了廣義力學(xué)模型在線性非時變電路分析中的應(yīng)用。通過定義電路中的廣義坐標(biāo)(電荷)和廣義速度(電流)，可以為電路建立嚴(yán)格的廣義力學(xué)模型，即拉格朗日方程組。通過該方程組可推導(dǎo)出電路分析的方程，其結(jié)果與應(yīng)用 KCL、KVL和元件VCR得到的方程完全一致。我們可以受此啟發(fā)，聯(lián)想:更復(fù)雜的高階或非線性電路，也一定對應(yīng)著更加復(fù)雜的力學(xué)模型。而由于電路系統(tǒng)自身約束具有的完整性，對于任意的電路情形，我們都可以在完整動力學(xué)框架下進(jìn)行探討。我們對于相似性的討論，可以有助于在電路教學(xué)中開闊電路分析方法的視野。

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