解周期初值問題的三角擬合顯式三步方法

劉石威

（棗莊學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，山東棗莊 277160）

解周期初值問題的三角擬合顯式三步方法

劉石威

（棗莊學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，山東棗莊 277160）

以一類解二階微分方程的顯式三步方法為基礎，構(gòu)造了一個三角擬合顯式三步方法，給出了新方法的局部截斷誤差，對新方法做出了穩(wěn)定性分析，數(shù)值實驗的結(jié)果表明新方法在求解周期性初值問題的微分方程時具有明顯高效性.

三角擬合；三步方法；周期性初值問題

1 引言

周期初值問題：

廣泛出現(xiàn)在量子力學、天體力學、電子學、物理化學、化學物理學等不同領域中，尤其當這類方程的解具有周期性或類周期性行為時[1-2].在構(gòu)造求解振蕩性或周期性初值問題方法時，三角擬合與指數(shù)擬合是其中較常使用的方法.Lyche[3]最先給出了這項技術(shù)的理論.Raptis和Allison[4]構(gòu)造了對于解Schr?dinger類型的方程具有更高效率的Numerov類型的指數(shù)擬合方法.后來學者們對三角擬合Runge-kutta方法進行了深入研究，取得了豐碩的成果[5-7].

2 三角擬合顯式三步方法

對（1）的數(shù)值求解問題，考慮下面形式的顯式三步格式[8]讓（2）精確積分的線性組合，可得如下方程組

這里u=ωh.

當u很小時，使用它們的泰勒展式形式

將由（5）所給系數(shù)的三角擬合顯式三步方法（2）記為ST3F1，它的局部截斷誤差為

故此方法的代數(shù)階為4.根據(jù)（6）式，因為u=ωh，可知當ω→0時，我們所得到的新方法ST3F1將變?yōu)樵嫉娘@式三步方法.

3 穩(wěn)定性分析

根據(jù)文獻[9-10]中穩(wěn)定性分析理論，作以下定義：

定義1在二維平面u-H(u=ωh,H=λh)內(nèi)，對于方法ST3F1，設其特征方程的特征根為ri(i=0,1,2)，稱滿足|ri|＜1 (i=0,1,2)的所有點(u,H)的集合D為ST3F1的絕對穩(wěn)定性區(qū)域.同時稱滿足|ri|= 1(i=0,1,2)的所有點(u,H)的集合為穩(wěn)定性區(qū)域D的邊界.

在圖1中給出方法ST3F1的絕對穩(wěn)定性區(qū)域，分析圖1可知，在實際處理振蕩問題時，若ω對于問題的決定性頻率λ的估計越準確，穩(wěn)定性區(qū)間越大.特別地，當ω=λ時，穩(wěn)定性區(qū)間最大.只要ω＜λ，方法都存在主穩(wěn)定性區(qū)間.需要注意的是，文獻[9]中提到大多數(shù)由變量u決定的變系數(shù)Runge-kutta方法沒有主穩(wěn)定性區(qū)間.而與文獻[9]中列舉的一些較好的方法，如EFRK2、EFRK3、EFRK4、PHRK4等相比較可知ST3F1具有較好的穩(wěn)定性.

4 數(shù)值實驗

以下選用五個方法予以比較：原始的St?rmer-Verlet二步方法[8]，用ST2表示.三角擬合St?rmer-Verlet二步方法，用ST2F1表示.原始的顯式三步方法[8]，用ST3表示.三角擬合顯式三步方法，即新方法ST3F1.FSAL屬性的RKN方法[11]，用FRKN表示.

4.1 問題1

考慮初值問題

圖1 新方法ST3F1的絕對穩(wěn)定性區(qū)域

其精確解為：y(x)=cos(10x)+sin(10x)+sin(x).

選擇區(qū)間0≤x≤100，對于新方法ST2F1和FRKN選擇ω=10，評判的依據(jù)是比較5個方法的全局誤差及計算所用的步長，圖2給出了數(shù)值實驗結(jié)果.

4.2 問題2

考慮初值問題

考慮區(qū)間0≤x≤100，對方法ST2F1、ST3F1和FRKN選擇ω=9.評判的依據(jù)是比較5個方法的全局誤差及計算所用的步長，圖3給出了數(shù)值實驗結(jié)果.

圖2 問題1的數(shù)值實驗結(jié)果

圖3 問題2的數(shù)值實驗結(jié)果

4.3 問題3

考慮初值問題

考慮區(qū)間0≤x≤100，對于新方法ST2F1、ST3F1和FRKN選擇ω=13.評判的依據(jù)是比較5個方法的全局誤差及計算所用的步長，圖4給出了數(shù)值實驗結(jié)果.

4.4 問題4

考慮初值問題

這里y(x)=u(x)+iv(x),其精確解為：

考慮區(qū)間0≤x≤100，對于新方法ST2F1、ST3F1和FRKN我們選擇ω=13.評判的依據(jù)是比較5個方法的全局誤差及計算所用的步長，圖5給出了數(shù)值實驗結(jié)果.

圖4 問題3的數(shù)值實驗結(jié)果

圖5 問題4的數(shù)值實驗結(jié)果

5 結(jié)論

通過數(shù)值試驗，容易判斷新方法在數(shù)值求解二階微分方程時，穩(wěn)定性與精確性較原始方法及其他方法表現(xiàn)更好.這個方法具有一定的實際應用價值.

[1]Dormann J,Fiorani D,Tronc E,et al.Advances in chemical physics[M].New York:John Wiley＆Sons,1997:98.

[2]Landau L,Lifshitz F.Quantum mechanics[M].New York：Pergamon,1965.

[3]Lyche T.Chebyshevian multistep methods for ordinary differential equations[J].Numerische Mathematik,1972,19：65-75.

[4]Raptis A,Allison A.Exponential-fitting methods for the numerical solution of the Schrodinger equation[J].Computer Physics Communications,1978,14：1-5.

[5]Anastassi Z A,Simos T E.Trigonometrically fitted fifth-order runge-kutta methods for the numerical solution of the schr?dinger equation[J].Mathematical and Computer Modelling,2005,42：877-886.

[6]Franco J.An embedded pair of exponentially fitted explicit Runge–Kutta methods[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2002,149：407-414.

[7]Vanden Berghe G,De Meyer H,Van Daele M,et al.Exponentially fitted Runge–Kutta methods[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2000,125：107-115.

[8]Hairer E,N?rsett S P,Wanner G.Solving ordinary differential equations：Nonstiff problems[M].Berlin:Springer Verlag,1993.

[9]Van de Vyver H.Stability and phase-lag analysis of explicit Runge–Kutta methods with variable coefficients for oscillatory problems[J].Computer Physics Communications,2005,173：115-130.

[10]Dekker K.Stability of linear multistep methods on the imaginary axis[J].BIT Numerical Mathematics,1981,21：66-79.

[11]Van de Vyver H.A Runge–Kutta–Nystr?m pair for the numerical integration of perturbed oscillators[J].Computer Physics Communications,2005,167：129-142.

Trigonometrically Fitted Explicit Three Steps Method for Periodic Initial Value Problems

LIU Shi-wei
(School of Mathematics and Statistics,Zaozhuang University,Zaozhuang 277160,China)

A trigonometrically fitted explicit three-step method is developed based on an explicit three-step meth?od for periodic initial value problems.Stability of the new derived method is analyzed and the numerical illustra?tions show that the new method is more efficient than some well-known methods.

trigonometrically fitted;explicit three-step method;periodic initial value problems

O242

A

1008-2794（2012）04-0024-04

2012-03-11

劉石威（1982—），男，山東棗莊人，助教，碩士，研究方向：計算數(shù)學.