新課標(biāo)下不等式例題小析

華曄

在新課標(biāo)下，隨著各種教學(xué)模式的展開，教師和學(xué)生思維也相應(yīng)擴(kuò)展開來(lái)。不等式證明作為高考的難點(diǎn)之一，學(xué)生對(duì)它的掌握總是用“能做出來(lái)就可以”的心態(tài)，極少人能真正把所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用開來(lái)。下面舉一實(shí)例：

設(shè)x、t∈R，證明： （4- 7）≤ ≤ （4+ 7）。

方法一：令y= ，則有：

（y-1）x2+（ycost-sint）x+（y-1）=0（﹡）

若y=1，即t=kπ+ （k∈Z）或x=0時(shí)，原不等式成立；

若y≠1，由（﹡）的判別式得（ycost-sint）2≥4（y-1）2。

又|ycost-sint|=| y2+1cos（t+φ）|≤ y2+1

∴y2+1≥（ycost-sint）2≥4（y-1）2

解y2+1≥4（y-1）2得： （4- 7）≤y≤ （4+ 7）。

方法二（數(shù)形結(jié)合）：

當(dāng)x=0時(shí)，即 （4- 7）≤1≤ （4+ 7），成立。

當(dāng)x≠0時(shí)，令p=x+ ，m=x+ +sint，n=x+ +cost，

則 = ，（m-p）2+（n-p）2=1

所以（n，m）在以（p，p）為圓心、以1為半徑的圓周上， =；

即 表示（n，m）與原點(diǎn)所連直線的斜率。設(shè)p=2或-2時(shí)，⊙p的過原點(diǎn)的切線方程為y=kx；

則 =1，解得k= 或 。由圖易知此時(shí)的k值分別為 的最大和最小值。

故 （4- 7）≤ ≤ （4+ 7），

即： （4- 7）≤ ≤ （4+ 7）。

大部分學(xué)生容易想到第一種解法，將問題轉(zhuǎn)化為判別式法求函數(shù)值域問題，而第二種方法用了數(shù)形結(jié)合思想，這是學(xué)生容易忽略的方法。數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)解題中常用到的一種數(shù)學(xué)思想方法，并且也是一種重要的教學(xué)思想方法。它實(shí)現(xiàn)了將代數(shù)問題和幾何圖形聯(lián)系起來(lái)并相互轉(zhuǎn)化。數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩塊基石，它們既相互獨(dú)立又相互統(tǒng)一。在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)有意識(shí)地向?qū)W生滲透各種數(shù)學(xué)思想，以提高學(xué)生思維，培養(yǎng)其能力。