基于Monte Carlo的行程時(shí)間可靠性研究＊

張雄飛 李瑞敏 李宏發(fā) 史其信

（清華大學(xué)交通研究所1） 北京 100084） （中國(guó)民航大學(xué)空中交通管理學(xué)院2） 天津 300300）

行程時(shí)間可靠性是指對(duì)于給定的起終點(diǎn)之間，出行者能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)順利完成出行的概率［1］，行程時(shí)間可靠性可分為路段行程時(shí)間可靠性、路徑行程時(shí)間可靠性、OD對(duì)行程時(shí)間可靠性以及系統(tǒng)行程時(shí)間可靠性［2］.由于直接采集路徑行程時(shí)間數(shù)據(jù)比較困難，因此，對(duì)路徑行程時(shí)間可靠性的研究一般建立在對(duì)路段行程時(shí)間特征分析的基礎(chǔ)上.以往的研究通常假設(shè)路段行程時(shí)間服從相互獨(dú)立的正態(tài)分布，則路徑行程時(shí)間也服從正態(tài)分布［3－4］.而實(shí)際上，路段行程時(shí)間之間具有相關(guān)性，也不一定服從正態(tài)分布，分布特性也可能各不相同［5－6］，從而使得基于解析方法求解路徑行程時(shí)間特性比較復(fù)雜.交通學(xué)者也認(rèn)識(shí)到行程時(shí)間可靠性對(duì)出行者路徑選擇的重要影響［7－9］.事實(shí)上，行程時(shí)間可靠性與出行者路徑選擇是一個(gè)相互作用的過(guò)程，行程時(shí)間可靠性的改變帶來(lái)出行者路徑選擇的改變，從而導(dǎo)致路段流量的變化，最終引起行程時(shí)間可靠性的改變.本文從出行者的角度出發(fā)，將路段通行能力作為連續(xù)隨機(jī)變量，對(duì)行程時(shí)間可靠性進(jìn)行定義，并用Monte Carlo法進(jìn)行求解，同時(shí)考慮行程時(shí)間可靠性對(duì)交通流量分布的影響.

1 行程時(shí)間可靠性

行程時(shí)間可靠性根據(jù)其定義，可用以下一般公式表示

式中：R（t）為指定路段、路徑或者OD對(duì)之間行程時(shí)間可靠性；ti為第i次出行在指定路段、路徑或者OD對(duì)之間所花費(fèi)的時(shí)間；θ為指定的行程時(shí)間閾值，θ一般可取.其中：為對(duì)應(yīng)的自由流行程時(shí)間；φi為對(duì)現(xiàn)實(shí)狀況的期望指標(biāo)，為大于1的實(shí)數(shù).

從上述定義可知，行程時(shí)間可靠性實(shí)際上是行程時(shí)間的累積概率分布，求解路徑、OD對(duì)行程時(shí)間可靠性的關(guān)鍵就是建立合理的行程時(shí)間概率分布模型.

1.1 路段行程時(shí)間可靠性

路段行程時(shí)間可靠性是指給定路段上的行程時(shí)間在可接受閾值內(nèi)的概率.影響路段行程時(shí)間可靠性的因素主要是交通需求和路段通行能力兩個(gè)方面.在交通需求不變的情況下，影響行程時(shí)間可靠性的主要因素是路段通行能力.各種因素將導(dǎo)致通行能力的變化，包括內(nèi)生因素，如交通流量，不同車(chē)型的混合，交通事故等，以及外生因素如天氣情況，道路施工維護(hù)等.由于路段通行能力是隨機(jī)變化的，因此，路段行程時(shí)間也是隨機(jī)變化的.定義路段行程時(shí)間是以流量為變量的阻抗函數(shù)，采用BPR函數(shù)表示，其形式為

式中：xa為路段a上的交通流量；Ca為路段a的通行能力為路段a的自由流行程時(shí)間；α和β為BPR函數(shù)的參數(shù).

有學(xué)者將路段通行能力Ca用正態(tài)分布或者Beta分布表示，這里將路段通行能力Ca作為一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，分布函數(shù)為F（x），則路段a的行程時(shí)間可靠性為

將式（2）代入式（3）得

1.2 路徑行程時(shí)間可靠性

路徑行程時(shí)間可靠性是指給定路徑上的行程時(shí)間在可接受閾值內(nèi)的概率.路段行程時(shí)間可靠性可表示為

路段行程時(shí)間與路徑行程時(shí)間有如下關(guān)系

由于路徑行程時(shí)間可靠性不能由組成該路徑的各個(gè)路段的行程時(shí)間可靠性相加得來(lái)，同時(shí)路段時(shí)間的分布具有復(fù)雜性，直接計(jì)算路段行程時(shí)間可靠性不是那么輕而易舉的.對(duì)于這種情況，Monte Carlo方法是一條行之有效的途徑.

1.3 OD對(duì)行程時(shí)間可靠性

OD對(duì)行程時(shí)間可靠性是綜合給定OD對(duì)之間所有被用戶(hù)使用的路徑的行程時(shí)間以得到一個(gè)關(guān)于OD對(duì)服務(wù)水平的測(cè)度.OD對(duì)之間各條路徑組成的系統(tǒng)可以認(rèn)為是一個(gè)并聯(lián)的系統(tǒng)，則OD對(duì)行程時(shí)間可靠性可表示為

式中：θrs為OD對(duì)rs之間行程時(shí)間的閾值；Wrs為OD對(duì)rs之間所有路徑的集合.

1.4 系統(tǒng)行程時(shí)間可靠性

系統(tǒng)行程時(shí)間可靠性是考慮所有OD對(duì)得到的整個(gè)系統(tǒng)服務(wù)水平的指標(biāo).系統(tǒng)行程時(shí)間可靠性與整個(gè)交通系統(tǒng)的出行需求模式相關(guān)，可表示為各OD對(duì)行程時(shí)間可靠性的加權(quán)和，即

式中：qrs為OD對(duì)rs之間的交通需求.

2 Monte Carlo方法

用Monte Carlo方法計(jì)算行程時(shí)間可靠性的基本步驟如下.

步驟0 確定平衡流量xa，各條路段的通行能力Ca的分布，以及路段、路徑及OD對(duì)之間行程時(shí)間閾值，令n＝1，s＝0.

步驟1 對(duì)每一個(gè)路段隨機(jī)產(chǎn)生通行能力的樣本值C（n）a.

步驟3 判斷.若滿(mǎn)足條件Z（θ），則s＝s＋1.

步驟4 若n＜N，則n＝n＋1，返回步驟1.若n＝N，則計(jì)算路段、路徑或者OD對(duì)的行程時(shí)間可靠性R≈.式中：N為預(yù)先設(shè)定的最大仿真次數(shù).

在計(jì)算路段、路徑或者OD對(duì)的行程時(shí)間可靠性時(shí)，判斷條件Z（θ）具有不同的形式：

根據(jù)OD對(duì)行程時(shí)間可靠性可以計(jì)算得到系統(tǒng)行程時(shí)間可靠性指標(biāo).

行程時(shí)間可靠性計(jì)算的工作流程圖見(jiàn)圖1.

3 求解平衡流量

圖1 行程時(shí)間可靠性計(jì)算流程圖

在Monte Carlo方法求解行程時(shí)間可靠性的第一步中，需要先求解路網(wǎng)的平衡流量.在平衡流量分析中，需要考慮不確定狀態(tài)下的路徑選擇行為.一般來(lái)說(shuō)，在行程時(shí)間確定的情況下，出行者總是選擇行程時(shí)間最短的路徑，而在行程時(shí)間不確定的情況下，出行者選擇rs之間路徑k的概率為

為實(shí)現(xiàn)基于行程時(shí)間可靠性的交通網(wǎng)絡(luò)加載，現(xiàn)實(shí)可行而又有效的方法是Monte Carlo模擬.仿照Sheffi中隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)加載的思路［10］，具體步驟如下.

步驟1 從Ca，a∈A的隨機(jī)分布中隨機(jī)抽取路段通行能力樣本.更新路段行程時(shí)間＝.

式中：ε為預(yù)先設(shè)定的常數(shù)，表明對(duì)計(jì)算精度的要求.

上述模擬方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是不要求對(duì)路徑行程時(shí)間進(jìn)行抽樣，因此，路徑列出可以避免.此外，路段a流量估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差，可以根據(jù)3個(gè)參數(shù)的值來(lái)計(jì)算，即和，不需要記錄每次循環(huán)產(chǎn)生的，從而節(jié)約計(jì)算機(jī)內(nèi)存.

4 算 例

如圖2所示的測(cè)試網(wǎng)絡(luò)，假設(shè)只有2個(gè)OD對(duì)，OD對(duì)（1→5）之間的交通量q15＝70輛／min，OD對(duì)（2→5）之間的交通量q25＝80輛／min.BPR函數(shù)中參數(shù)α＝0.15，β＝4.各路段的自由流行程時(shí)間和最大通行能力見(jiàn)表1.

圖2 測(cè)試網(wǎng)絡(luò)

建立路段通行能力的統(tǒng)計(jì)分布特性需要足夠的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在缺乏相關(guān)數(shù)據(jù)的情況下，可用截尾正態(tài)分布、Beta分布或者均勻分布等來(lái)描述，一般來(lái)說(shuō)，同一網(wǎng)絡(luò)中的各個(gè)路段的通行能力分布特性也不盡相同.這里在不改變問(wèn)題性質(zhì)的前提下，假設(shè)路段通行能力在其最大通行能力和最大通行能力的1／2之間服從均勻分布.利用基于Monte Carlo模擬的加載算法求得各路段的平衡流量見(jiàn)表1.

取所有φi＝1.2，各路段和路徑的行程時(shí)間可靠性分別見(jiàn)表2、表3.

OD對(duì)行程時(shí)間可靠性分別為R15＝0.154，R25＝0.440.最后可求出系統(tǒng)行程時(shí)間可靠性R＝0.307.

表1 路段自由流行程時(shí)間、最大通行能力和平衡流量

表2 路段行程時(shí)間可靠性

表3 路徑行程時(shí)間可靠性

可靠性數(shù)值越大，表明該路段、路徑、OD對(duì)或者整個(gè)系統(tǒng)應(yīng)對(duì)日常變故的能力越強(qiáng).此外，出行者可以根據(jù)路徑行程時(shí)間可靠性，選擇相對(duì)可靠的路徑，制定相應(yīng)的出行計(jì)劃，保證在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成出行.

5 結(jié)束語(yǔ)

實(shí)際路網(wǎng)中，各種隨機(jī)因素可能導(dǎo)致行程時(shí)間產(chǎn)生不確定性.行程時(shí)間可靠性作為這種不確定性的量度，不僅指示著路網(wǎng)的服務(wù)水平，而且會(huì)影響出行者的路徑選擇行為.本文從出行者的角度出發(fā)，提出了路段、路徑、OD對(duì)以及系統(tǒng)行程時(shí)間可靠性的定量計(jì)算方法，給出了基于Monte Carlo仿真的行程時(shí)間可靠性的求解方法，計(jì)算結(jié)果具有明確的物理意義，出行者可以根據(jù)行程時(shí)間可靠性進(jìn)行出行決策.

［1］ASAKURA Y，KASHIWADANI M.Road network reliability caused by daily fluctuation of traffic flow［C］／／Proceedings of 19th PTRC Summer Annual Meeting Brighton，1991：73－84.

［2］劉海旭，卜 雷，蒲 云.隨機(jī)路網(wǎng)的行程時(shí)間可靠性［J］.土木工程學(xué)報(bào)，2004，37（8）：102－105.

［3］IIDA Y.Basic concepts and future directions of road network reliability analysis［J］.Journal of Advanced Transportation，1999，33（2）：125－134.

［4］CHEN A，CHOOTINAN P，ZHOU Z.Capacity reliability versus travel time reliability in the network design problem［C］／／The 3rd International Symposium on Transportation Network Reliability，the Netherlands，2007：152－160.

［5］ARROYO S，KORNHAUSER A.Modeling travel time distributions on a road network［C］／／Proceedings of the 84th Transportation Research Board Annual Meeting.Washington，2005：102－110.

［6］陳 琨，于 雷.基于對(duì)數(shù)正態(tài)和分布的路徑行程時(shí)間可靠性模型［J］.北京交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，33（3）：35－39.

［7］LO H K，TUNG Y K.Network with degradable links：capacity analysis and design［J］.Transportation research part B，2003，37：345－363.

［8］袁鵬程，韓 印，馬萬(wàn)達(dá).基于行程時(shí)間可靠性的隨機(jī)交通網(wǎng)絡(luò)均衡模型［J］.上海理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，30（4）：352－356.

［9］陳建林，劉海旭，程學(xué)慶，等.基于行程時(shí)間可靠性的多類(lèi)用戶(hù)交通分配模型［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，42（1）：115－119.

［10］SHEFFI Y.Urban transportation networks：equilibrium analysis with mathematical programming methods［M］.New Jersey：Prentice－Hall，Inc.，Englewood Cliffs，1985.