尚阿曼, 吳保衛(wèi), 劉麗麗
(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710062)
時(shí)滯現(xiàn)象和不確定性普遍存在于各類工業(yè)系統(tǒng)中,是導(dǎo)致系統(tǒng)不確定性和性能變差的主要因素[1].不確定奇異系統(tǒng)保性能控制研究的基本思想是設(shè)計(jì)一個(gè)控制律使得對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)魯棒漸近穩(wěn)定,并且相應(yīng)的閉環(huán)性能指標(biāo)有一個(gè)性能上界.而非脆弱性是控制律設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要因素,因此,關(guān)于不確定奇異時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的非脆弱保性能控制的研究是具有實(shí)際意義的.至今,有關(guān)這方面的研究已有了豐碩成果.文獻(xiàn)[1]研究了帶有非線性擾動(dòng)的不確定奇異時(shí)滯系統(tǒng)的保性能控制問(wèn)題,其研究的系統(tǒng)無(wú)輸入時(shí)滯;文獻(xiàn)[2]研究了一類非脆弱奇異時(shí)滯系統(tǒng)的保性能控制問(wèn)題,其研究的系統(tǒng)不帶有擾動(dòng)項(xiàng);文獻(xiàn)[3]研究了非線性不確定時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒保性能控制問(wèn)題,其研究的系統(tǒng)時(shí)變時(shí)滯是同一個(gè);文獻(xiàn)[4]研究了線性不確定時(shí)滯系統(tǒng)的保性能控制問(wèn)題.本文主要針對(duì)一類帶有非線性擾動(dòng)的非脆弱奇異時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng),研究了其非脆弱保性能控制問(wèn)題,利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和LMI方法,得出了保性能控制律存在的充分條件和設(shè)計(jì)方法.最后,通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了所得方法的有效性.
考慮由如下狀態(tài)方程描述的一類不確定奇異時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)
(1)
假定所考慮的參數(shù)不確定性是范數(shù)有界的,并具有如下形式
[△A,△A1,△B,△B1]=MF(t)[E1,Ed,E2,Eh]
(2)
其中,M,E1,Ed,E2,Eh是適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣,反映了不確定性的結(jié)構(gòu)信息,且F(t)∈Ri×j,滿足FT(t)F(t)≤I(I是單位矩陣);f(·) 滿足‖f(·) ‖≤‖Gx(t)‖,?x(t)∈Rn,G為給定常矩陣.
定義與系統(tǒng)(1)對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)函數(shù)為
(3)
其中,Q,R為給定的對(duì)稱正定加權(quán)矩陣.
定義1 對(duì)系統(tǒng)(1)和性能指標(biāo)(3),如果存在一個(gè)正數(shù)J*和一個(gè)控制律
u(t)=(K+△K)x(t)
(4)
(其中,K∈Rn×n,△K是一個(gè)增益擾動(dòng)),使得對(duì)任意的不確定性,閉環(huán)系統(tǒng)
(5)
是漸近穩(wěn)定的,并且閉環(huán)性能指標(biāo)滿足J≤J*,則稱J*是系統(tǒng)(1)的一個(gè)性能上界,控制律(4)是系統(tǒng)(1)的一個(gè)非脆弱保性能控制律.其中,
△K=HF(t)Ek
(6)
(H,Ek是適當(dāng)維數(shù)的已知矩陣).
本文所要研究的問(wèn)題是對(duì)系統(tǒng)(1)考慮形如非脆弱保性能控制律(4)的設(shè)計(jì)問(wèn)題,基于LMI方法給出控制律存在的條件和設(shè)計(jì)方法.
引理1[1]給定矩陣Y=YT,及適當(dāng)維數(shù)的矩陣D和N,則對(duì)任意滿足FT(t)F(t)≤I的矩陣F(t),不等式Y(jié)+DF(t)N+NTFT(t)DT<0成立的充要條件是存在一個(gè)常數(shù)ε>0,使得Y+εDDT+ε-1NTN<0.
引理2[3]對(duì)任意適當(dāng)維數(shù)的實(shí)相量X,Y及任意實(shí)數(shù)α,有2XTY≤α-1XTX+αYTY成立.
定理1 給定正數(shù)α>0,對(duì)于不確定奇異時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)(1)和性能指標(biāo)(3),若存在適當(dāng)維數(shù)矩陣P,K及正定矩陣R1,R2,使得對(duì)于所有允許的不確定性,有
PE=ETPT≥0
(1a)
(Ξ=[A+△A+(B+△B)(K+△K)]TPT+P[A+△A+(B+△B)(K+△K)]+R1+
(K+△K)TR2(K+△K)+α-1PDDTPT+αGTG+Q+(K+△K)TR(K+△K))
成立,則閉環(huán)系統(tǒng)(5)是漸近穩(wěn)定的,控制律(4)是系統(tǒng)(1)的非脆弱保性能控制律,并且對(duì)所有允許的不確定參數(shù)矩陣,閉環(huán)性能指標(biāo)(3)滿足
證明:選取如下Lyapunov函數(shù)
沿閉環(huán)系統(tǒng)(5)的任意軌線對(duì)V(x(t))關(guān)于t求導(dǎo),得
對(duì)上式兩邊從0到T積分,并由系統(tǒng)的穩(wěn)定性得
故由定義1,(4)是系統(tǒng)(1)的非脆弱保性能控制律.定理1得證.
定理1給出了系統(tǒng)(1)非脆弱保性能控制律存在的一個(gè)充分條件,但其中含有不確定項(xiàng),無(wú)法直接應(yīng)用.下面的定理2消去了(1b)中的不確定項(xiàng),并利用LMI方法給出了(1b)有解的一個(gè)充要條件.
定理2 對(duì)系統(tǒng)(1)和性能指標(biāo)(3),給定正數(shù)α>0,如果存在ε1,ε2,ε3>0,非奇異矩陣X∈Rn×n,正定矩陣U1∈Rn×n,U2∈Rm×n及矩陣W,使得對(duì)所有允許的不確定性,以下LMIs成立
EX=XTET≥0
(2a)
則系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的.
其中,
進(jìn)而,如果LMI(2b)有一個(gè)可行解(ε1,ε2,ε3,X,U1,U2,W),則系統(tǒng)(1)的狀態(tài)反饋增益矩陣K=WX-1, 閉環(huán)性能指標(biāo)(3)滿足
證明:應(yīng)用引理1及引理3,通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃魏图记桑瑮l件(1b)等價(jià)于
盡管本文所提系統(tǒng)能夠生成答案正確、內(nèi)容豐富、形式自然的答案形式。但是,通過(guò)分析樣例,發(fā)現(xiàn)依然存在如下問(wèn)題:(1)生成的答案包含一些無(wú)意義和錯(cuò)誤的詞匯(如ID 6);(2)無(wú)法匹配到正確的事實(shí)(如ID 7);(3)生成的答案包含了與知識(shí)全局信息不一致的詞匯(如ID 8中的“他” 應(yīng)該是“她”)。
(Ξ=(A+BK)TPT+P(A+BK)+α-1PDDTPT+ε1PMMTPT+ε2PBHHTBTPT)
令T=diag{P-1,R1-1,R2-1,I,I,I,I,I,I,I,I},對(duì)上式左乘T,右乘TT,并記X=P-T,U1=R1-1,U2=R2-1,W=KP-T,則可得(1b)等價(jià)于(2b),并且當(dāng)(2b)有可行解(ε1,ε2,ε3,X,U1,U2,W)時(shí),系統(tǒng)(1)的狀態(tài)反饋增益為K=WX-1,即系統(tǒng)(1)的非脆弱保性能控制律u(t)=(WX-1+HF(t)EK)x(t).
由于(K+△K)TR2(K+△K)<-Ξ=-X-TΘX,所以
故定理2得證.
考慮不確定系統(tǒng)(1),其中,
給定α=0.1,β=0.2,η1=0.5,η2=0.1,利用LMI工具箱,解得相應(yīng)的線性矩陣不等式為
ε1=0.239 6,ε2=1.612 7e+003,ε3=203.515 0,
U2=31.594 2,
W=(-0.002 9 -0.000 6 -0.006 0),
K=(0.242 0 -0.029 7 0.085 5),
本文研究了給定系統(tǒng)的非脆弱保性能控制問(wèn)題,利用LMI方法得出了系統(tǒng)非脆弱保性能控制律存在的充分條件,并通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了所得結(jié)論的可行性.
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