《幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》教學(xué)實(shí)錄及反思

■武漢市郭希連名師工作室駱惠

《幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》教學(xué)實(shí)錄及反思

■武漢市郭希連名師工作室駱惠

第一部分教學(xué)過程簡錄

一、創(chuàng)設(shè)情境，明確目標(biāo)

前面我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線上某點(diǎn)處切線的斜率，切線問題是微分學(xué)的中心問題，曲線的切線問題又是我們學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)熱點(diǎn)問題。請看下面問題：

教師：確定一條直線需要兩個(gè)條件，從題中可以分析得切線哪兩個(gè)條件呢？

學(xué)生：易知點(diǎn)P（1，1）即為切點(diǎn)，又由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率k=f＇(1)。

教師：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)所對應(yīng)的函數(shù)值，因此解題的關(guān)鍵就在于如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。在導(dǎo)數(shù)問題中常常需要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如何求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？這節(jié)課我們就來研究幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

二、合作探究，研究新知

1.例題導(dǎo)析

教師：事實(shí)上，導(dǎo)數(shù)定義本身，就給出了求導(dǎo)數(shù)的最基本的方法，瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)就是求出Δx當(dāng)趨近于0時(shí)，所趨近于的那個(gè)值。

（師生共同完成下面求導(dǎo)過程，并強(qiáng)化學(xué)生對導(dǎo)數(shù)里的概念符號的熟悉和運(yùn)用）

提煉方法：由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的方法。

教師：下面大家利用所得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出前面曲線的切線方程。

教師：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)往往是解決導(dǎo)數(shù)問題的必經(jīng)之路，雖然導(dǎo)數(shù)定義本身，給出了求導(dǎo)數(shù)的最基本的方法，但由于直接運(yùn)用定義求導(dǎo)數(shù)這在運(yùn)算上很麻煩，有時(shí)甚至很困難，我們需要知道一些常用的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以方便導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算。下面再來求幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

2.試一試：你能求出下列幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)嗎？（三個(gè)學(xué)生演排，仿照前例求導(dǎo)）

（1）函數(shù)y=f(x)=c的導(dǎo)數(shù)（學(xué)生演板過程略）；

（2）函數(shù)y=f(x)=x的導(dǎo)數(shù)（學(xué)生演板過程略）；

（3）函數(shù)y=f(x)=x2的導(dǎo)數(shù)（學(xué)生演板過程略）。

3.在例題解析中，師生共同重點(diǎn)討論以下內(nèi)容，討論有關(guān)方法：

（1）規(guī)范的過程（讓其他學(xué)生上黑板糾錯(cuò)）；（2）理解當(dāng)Δx趨近于0時(shí)，為常數(shù)時(shí)所趨近于的那個(gè)值就是本身；

教師：在常函數(shù)和一次函數(shù)的求導(dǎo)中都出現(xiàn)了平均變化率為常數(shù)的情況，怎樣理解當(dāng)Δx趨近于0時(shí)，為常數(shù)時(shí)所趨近于的那個(gè)值就是本身呢？平均變化率為常數(shù)意味著平均變化率受不受Δx值的影響？

學(xué)生：不受影響。

（3）對（2）作變式處理：求函數(shù)y=2x，y=3x，y=4x的導(dǎo)數(shù)，引伸到函數(shù)y=kx (k≠0)的導(dǎo)數(shù)（為下面幾何意義的探究做好鋪墊）。

教師：導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)中微積分的核心概念之一，它的產(chǎn)生有著深厚的物理背景。這三個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)蘊(yùn)涵著怎樣的物理意義呢？

探究物理意義：分析上述三個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的物理意義。

教師：如果我把這三個(gè)常用函數(shù)都看成是路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)（x是時(shí)間，y是路程），它們的物理意義又分別是什么？（復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，學(xué)生思考作答）

①y＇=0可以解釋為某物體每個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度始終為0，即物體一直處于靜止?fàn)顟B(tài)。

②y＇=1可以解釋為某物體每個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度始終為1，即物體在做瞬時(shí)速度為1的勻速運(yùn)動(dòng)。

③y＇=2x可以解釋在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為2x，即隨時(shí)間x的改變物體瞬時(shí)速度2x也在隨著改變，故物體在做變速運(yùn)動(dòng)。

函數(shù)y = c y = x y = x2導(dǎo)數(shù)y＇= 0 y＇= 1 y＇= 2 x物理意義物體靜止勻速運(yùn)動(dòng)變速運(yùn)動(dòng)

教師：三個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的物理意義分別是運(yùn)動(dòng)物體的三種不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

探究幾何意義：分析常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

教師：常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)中又蘊(yùn)涵著怎樣的幾何意義呢？我們先來看課本提出的一個(gè)探究問題：

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，y=2x，y=3x，y=4x求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。并在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出它們的圖象。

（1）從圖象上看，它們的導(dǎo)數(shù)分別表示什么？

（2）這三個(gè)函數(shù)中，哪一個(gè)增加得最快？哪一個(gè)增加得最慢？

（3）函數(shù)y=kx (k≠0)增（減）的快慢與什么有關(guān)？

教師：通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)得到（1）的答案是什么？

學(xué)生：y＇=2，y＇=3，y＇=4導(dǎo)數(shù)分別為這些直線的斜率。

教師：很好！（2）聯(lián)系著（1）進(jìn)行思考并說明一下為什么。

學(xué)生：y=4x增加得最快，y=2x增加得最慢，因?yàn)楹瘮?shù)y=4x的斜率比函數(shù)y=4x的斜率要大。

教師：（3）在（1）（2）的問題上就不難得到答案是什么。

學(xué)生：函數(shù)增（減）的快慢與斜率k值有關(guān)。

教師：由（1）知導(dǎo)數(shù)分別表示斜率，而斜率又是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，那不就是函數(shù)的增（減）的快慢與其導(dǎo)數(shù)有關(guān)，它們又有著怎樣的關(guān)系呢？下面我們進(jìn)一步來觀察一下函數(shù)y=x2與函數(shù)圖象的變化情況與其導(dǎo)數(shù)是否存在這種關(guān)系。

教師：（打開幾何畫板）大家?guī)е齻€(gè)問題觀察圖像，隨著x變大，（1）圖像的增（減）變化情況；（2）增（減）的快慢情況（啟發(fā)：如何看增（減）快慢呢？鼠標(biāo)像右拖動(dòng)一格看圖像上升下降多少）；（3）導(dǎo)數(shù)絕對值的變化情況。

1.函數(shù)y=x2的導(dǎo)數(shù)是y＇=2x。（幾何圖略）

當(dāng)x>0時(shí)y＇>0，隨著x的增加y＇在增大，函數(shù)y=x2增加得越來越快。

教師：通過對兩個(gè)函數(shù)圖像與導(dǎo)數(shù)值的變化情況的觀察的結(jié)論，我們可以歸納得如下結(jié)論：函數(shù)圖象增（減）的快慢與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系。

當(dāng)y＇>0時(shí)，導(dǎo)數(shù)值越大函數(shù)增加得越快，導(dǎo)數(shù)值越小函數(shù)增加得越慢。

教師：此結(jié)論說明導(dǎo)數(shù)可以反映函數(shù)的變化快慢。

教師：下面再來求一個(gè)較為復(fù)雜點(diǎn)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（給時(shí)間學(xué)生在下面求導(dǎo)，稍后師生共同探討）

教師：求導(dǎo)過程中大家遇到什么難題沒有？

教師：你們怎么解決的呢？

有學(xué)生搶答：分子實(shí)數(shù)化。

教師：精彩！分子實(shí)數(shù)化是無理式常用的變形方法，我們在變中求“通”變中求“活”！

（利用實(shí)物投影儀展示學(xué)生解答）

函數(shù)導(dǎo)數(shù)y=x■y＇=1 2x■

探究規(guī)律：探究五個(gè)函數(shù)特點(diǎn)，五個(gè)函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的規(guī)律。

教師：我們求出了五個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其實(shí)這幾個(gè)常用函數(shù)有一個(gè)統(tǒng)一的名稱叫冪函數(shù)（學(xué)生回答）。冪函數(shù)的求導(dǎo)有沒有統(tǒng)一的規(guī)律呢？

教師：請觀察，觀察結(jié)構(gòu)特征、觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn)、觀察系數(shù)是怎么來的、觀察指數(shù)是怎么變化的?

學(xué)生：導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)是原函數(shù)的指數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的指數(shù)是原函數(shù)的指數(shù)減1。

教師：按這個(gè)規(guī)律我們大膽猜想冪函數(shù)y=f(x)=xn(n∈Q*)的導(dǎo)函數(shù)是什么？

學(xué)生：y＇=nxn-1.

推廣：若y=f(x)=xn(n∈Q*)，則f＇(x) =nxn-1

教師：這就是數(shù)學(xué)所展現(xiàn)出的美與魅力！

教師：它就是下節(jié)課中冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。常用的函數(shù)還有很多，如三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)。它們的導(dǎo)數(shù)都是什么?一個(gè)復(fù)雜點(diǎn)的函數(shù)往往還要進(jìn)行加減乘除運(yùn)算，還有復(fù)合函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則又是怎樣的.這些我們將在下節(jié)課進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

三、鞏固提高

（師生共同探討，當(dāng)堂實(shí)驗(yàn)以下習(xí)題）

1.（1）f(x)=0的導(dǎo)數(shù)是（）

A.0B.1C.不存在D.不確定

（3）.如果函數(shù)f(x)=5，則f＇(1)=（）

A.5B.1C.0D.不存在

四.引導(dǎo)小結(jié)

1.用導(dǎo)數(shù)定義推導(dǎo)了幾種常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它們都是公式要熟記。

______函數(shù)______y=c ______y=x導(dǎo)數(shù)_ _ y＇=0_ _ y＇=1_ _物理意義物體靜止勻速運(yùn)動(dòng)______y=x_____ __2y＇=2x變速運(yùn)動(dòng)y=1 ________x y＇=-1 x2y=x■y＇=1__ _________________ ______2x■y=f(x)=xn(n∈Q*) y＇=nxn-1

2.探究了常用涵數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及物理意義。

3.學(xué)習(xí)了常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用，下節(jié)課將進(jìn)一步學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用。

五、分層作業(yè)

必做題：1.課本18面習(xí)題1.2A組第1題；

選做題：（2010·江蘇，8）函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(diǎn)(ak，ak2)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1，其中k∈N*，若a1=16，則a1+a2+a3的值是________.

第二部分教學(xué)反思

一、基本情況

本節(jié)課是我參加武漢市高中數(shù)學(xué)“課內(nèi)比教學(xué)”的一節(jié)參賽課，施教對象為武漢市育才高中平行班學(xué)生。由于學(xué)生基礎(chǔ)不是很好，學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的知識也才幾節(jié)課，因此對導(dǎo)數(shù)的概念掌握不是很熟練，理解得也不是很透徹，對符號的表示和運(yùn)用也有些困難，于是教師在教學(xué)中就格外注意在探究新知識的同時(shí)強(qiáng)化舊知識復(fù)習(xí)，加深學(xué)生對概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生語言表達(dá)及符號運(yùn)用的能力。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)指導(dǎo)思想

本課初看課題感覺本節(jié)課內(nèi)容太單一、太簡單,教學(xué)中，一般教師不會太重視。通過仔細(xì)研讀教材、教參，查閱一些資料后，我放棄常規(guī)使用的從舊知識的復(fù)習(xí)入手的方法，改為利用教材中的探究問題即以曲線的切線這個(gè)高中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的熱點(diǎn)問題引入，首先就讓學(xué)生明白我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)一步思考怎樣去求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而舊知識的復(fù)習(xí)則采用隨著學(xué)習(xí)的需要逐步進(jìn)行。

本節(jié)課五個(gè)常用函數(shù)的求導(dǎo)都運(yùn)用的是導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，教學(xué)中讓學(xué)生認(rèn)識到導(dǎo)數(shù)的定義本身就給出了求函數(shù)導(dǎo)數(shù)最基本的方法，并讓學(xué)生明確其步驟,本節(jié)課的學(xué)習(xí)又不能僅僅停留在五個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的推導(dǎo)上。在教學(xué)設(shè)計(jì)上，教師怎樣充分利用五個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來挖掘更深層次的東西，準(zhǔn)確表達(dá)教材意圖，設(shè)計(jì)了三個(gè)探究問題讓學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)蘊(yùn)涵的內(nèi)涵。一是利用三個(gè)函數(shù)y=c，y=x，y=x2的導(dǎo)數(shù)，讓學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)的物理背景；二是利用函數(shù)y=x2及函數(shù)y=1 x的導(dǎo)數(shù),讓學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)中所蘊(yùn)涵的幾何意義；三是利用五個(gè)常用函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)間存在的內(nèi)在規(guī)律,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美與魅力。

最后，讓學(xué)生在導(dǎo)數(shù)問題中感受導(dǎo)數(shù)公式給我們帶來的便捷，讓學(xué)生在期盼中去學(xué)習(xí)下節(jié)課更多的導(dǎo)數(shù)公式。

（作者單位：武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)）

責(zé)任編輯 王愛民