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    可重構(gòu)機(jī)器人構(gòu)形平面的工作空間研究

    2012-03-23 06:57:52魏延輝劉施菲許德新
    關(guān)鍵詞:構(gòu)形極坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)學(xué)

    魏延輝,劉施菲,許德新

    (哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,黑龍江哈爾濱150001)

    可重構(gòu)機(jī)器人能夠以一套機(jī)器人模塊,產(chǎn)生多種工作構(gòu)形,克服傳統(tǒng)固定結(jié)構(gòu)形式的工業(yè)機(jī)器人改裝費(fèi)用高,不能一機(jī)多用等缺點(diǎn),可滿足快速實(shí)時(shí)的生產(chǎn)生活需要,近年來成為國內(nèi)外機(jī)器人研究的熱點(diǎn)之一[1-2].

    運(yùn)動(dòng)學(xué)求解問題是可重構(gòu)機(jī)器人研究的關(guān)鍵問題之一.目前研究的方法大多采用旋量和指數(shù)積的方法進(jìn)行求解[3-4],這種方法可以不依賴與機(jī)器人構(gòu)形形式,但是其求解過程較為復(fù)雜,目前僅能解決少自由度的工作構(gòu)形運(yùn)動(dòng)求解.由于可重構(gòu)機(jī)器人在實(shí)際的應(yīng)用中,找到一組滿足要求的運(yùn)動(dòng)學(xué)解即可,無需將所有的運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆解求出來.因此采用構(gòu)形平面匹配的方法,能夠在較為合理的工作位形下求解出可重構(gòu)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)解,這種方式更能夠滿足可重構(gòu)機(jī)器人在實(shí)際生產(chǎn)下的需要[5-6].

    構(gòu)形平面方法求解運(yùn)動(dòng)學(xué)的一個(gè)重要部分是劃分后的構(gòu)形平面的工作空間求解,它是構(gòu)形平面進(jìn)行匹配的前提.由于可重構(gòu)機(jī)器人的實(shí)時(shí)性需要,要求運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的計(jì)算量盡可能小,而構(gòu)形平面進(jìn)行位置和姿態(tài)匹配時(shí),也不需要將整個(gè)構(gòu)形平面的工作空間完全表示出來,因此在工作空間的求解計(jì)算上,希望表達(dá)方式盡可能簡潔、計(jì)算量小,僅將構(gòu)形平面匹配需要的工作空間表示出來即可.可重構(gòu)機(jī)器人構(gòu)形復(fù)雜多變,劃分后的構(gòu)形平面的工作空間會(huì)形成多連域封閉形式區(qū)域,求解較為困難,本文力求實(shí)現(xiàn)自動(dòng)快速求解構(gòu)形平面的工作空間的方法.

    1 構(gòu)形平面定義

    1.1 基本模塊的數(shù)學(xué)建模

    可重構(gòu)機(jī)器人基本模塊可劃分為4種:移動(dòng)模塊、搖擺模塊、回轉(zhuǎn)模塊和連接模塊.基于可重構(gòu)機(jī)器人模塊化思想,為每個(gè)基本模塊建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,運(yùn)動(dòng)模塊僅有一個(gè)變量,而連接模塊無變量,模塊間的連接定位用連接機(jī)構(gòu)保證.為了方便表達(dá),建立可重構(gòu)機(jī)器人模塊的統(tǒng)一表達(dá)方式:

    式中:θ為該模塊是回轉(zhuǎn)模塊時(shí)的回轉(zhuǎn)角度,若為其他模塊時(shí)為0;β為該模塊是搖擺模塊時(shí)的擺動(dòng)角度,若為其他模塊時(shí)為0;h為該模塊是搖擺模塊時(shí)的連接長度,若為其他模塊時(shí)為0;l為該模塊是回轉(zhuǎn)模塊或連接模塊時(shí)的連接長度,若為其他模塊時(shí)為0;w為該模塊是移動(dòng)模塊時(shí)的移動(dòng)量,若為其他模塊時(shí)為0.

    1.2 構(gòu)形平面的定義

    根據(jù)基本模塊的統(tǒng)一表達(dá)方式,通過位姿矩陣相乘表達(dá)式,可以發(fā)現(xiàn)搖擺模塊、移動(dòng)模塊和連接模塊單獨(dú)或任意組合組成機(jī)器人構(gòu)形,無論運(yùn)動(dòng)模塊如何運(yùn)動(dòng),所得到的機(jī)器人末端僅能在二維平面內(nèi)運(yùn)動(dòng);而機(jī)器人構(gòu)形中含有搖擺模塊和回轉(zhuǎn)模塊,并同時(shí)有轉(zhuǎn)動(dòng)量時(shí),機(jī)器人末端可在三維空間能運(yùn)動(dòng).可以認(rèn)為可重構(gòu)機(jī)器人在某一時(shí)刻的位形可由有限個(gè)平面依次連接組成.

    定義1 構(gòu)形平面:若干個(gè)依次連接的可重構(gòu)機(jī)器人模塊的中心線所形成的平面稱為構(gòu)形平面.

    構(gòu)形平面具有如下的特點(diǎn):機(jī)器人某時(shí)刻位形由1個(gè)或多個(gè)構(gòu)形平面組成,相鄰2個(gè)構(gòu)形平面的交線必是回轉(zhuǎn)模塊的中心線.

    1.3 構(gòu)形平面的劃分

    按照構(gòu)形平面的特點(diǎn),以回轉(zhuǎn)模塊在機(jī)器人構(gòu)形中的位置作為劃分構(gòu)形平面依據(jù).可將機(jī)器人構(gòu)形用若干個(gè)構(gòu)形平面組成,其最大數(shù)量取決于構(gòu)形中回轉(zhuǎn)模塊的數(shù)量.

    定義2 構(gòu)形平面中心:在構(gòu)形平面內(nèi),在與該構(gòu)形平面相鄰的上一個(gè)構(gòu)形平面相交的回轉(zhuǎn)軸線上,與上一個(gè)相鄰構(gòu)形平面最近的搖擺中心定義為構(gòu)形平面中心.

    由于第1個(gè)構(gòu)形平面沒有與之相鄰的上一個(gè)構(gòu)形平面,因此它的平面構(gòu)形中心就是基座標(biāo)原點(diǎn).

    定義3 構(gòu)形平面末端:在構(gòu)形平面內(nèi),在與該構(gòu)形平面相鄰的下一個(gè)構(gòu)形平面相交的回轉(zhuǎn)軸中心線上,與本構(gòu)形平面最近的搖擺中心定義為構(gòu)形平面末端.

    由于最后一個(gè)構(gòu)形平面沒有與之相鄰的下一個(gè)構(gòu)形平面,因此它的平面構(gòu)形末端就是機(jī)器人的末端點(diǎn).

    值得說明的是,在劃分的構(gòu)形平面內(nèi)除了構(gòu)形平面中心和構(gòu)形平面末端所占有的回轉(zhuǎn)模塊外,還會(huì)有其他的回轉(zhuǎn)模塊.由于構(gòu)形平面在匹配時(shí)是以平面方式匹配,因此構(gòu)形平面中的這種回轉(zhuǎn)模塊可近似看作是連接模塊,以保持構(gòu)形平面的平面性.

    1.4 平面構(gòu)形的逆運(yùn)動(dòng)求解方法

    構(gòu)形平面工作空間的區(qū)間計(jì)算需要對(duì)平面構(gòu)形進(jìn)行逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解,其方法也有別于機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解.構(gòu)形平面在匹配時(shí),構(gòu)形平面的末端及相應(yīng)連桿的姿態(tài)和位置相對(duì)其中心是已知的,這樣運(yùn)用平面構(gòu)形的逆運(yùn)動(dòng)進(jìn)行區(qū)間計(jì)算時(shí),僅需要判斷機(jī)器人關(guān)節(jié)能否在其工作區(qū)間內(nèi)滿足要求.

    圖1 平面構(gòu)形求解示意Fig.1 Sketch of solving configuration plane

    如圖1所示圖中DnDn-1姿態(tài)和Dn點(diǎn)位置已知,則Dn-1位置也是已知的,則ODn-1線段距離也是已知的.以求解搖擺中心為 D1的關(guān)節(jié)為例,在△OD1Dn-1中,由余弦定理可求得∠OD1Dn-1的值,若所求的值在該關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi),則其他關(guān)節(jié)不用計(jì)算,可認(rèn)為其沒有進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng),關(guān)節(jié)角為零.否則使該關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角等于其極限角,進(jìn)行求解下一個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角,直到除了第1個(gè)關(guān)節(jié)和第n個(gè)關(guān)節(jié)以外,構(gòu)形平面內(nèi)所有的關(guān)節(jié)角都用采用這種方法求解出.這樣D1點(diǎn)的位置就已知了,這樣在構(gòu)形平面內(nèi),ODn-1和OD1兩端的矢量也就已知了,從而可求得第1個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角,由于β1+β2+…+βn是已知的,這樣βn也就已知了.

    值得說明的是,對(duì)于移動(dòng)模塊的移動(dòng)量求解,當(dāng)求解到含有移動(dòng)模塊關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角時(shí),要進(jìn)行判斷一下,能否通過移動(dòng)模塊解決位置匹配.若能夠,則不用進(jìn)行剩余關(guān)節(jié)角的求解,將移動(dòng)模塊的置于相應(yīng)的移動(dòng)量處.否則將其移動(dòng)量放在最短處和最長處(由該關(guān)節(jié)中心到n-1關(guān)節(jié)中心距離決定),進(jìn)行下一個(gè)搖擺關(guān)節(jié)的求解.

    2 構(gòu)形平面工作空間計(jì)算方法的研究

    2.1 典型構(gòu)形平面工作空間分析

    在劃分后的構(gòu)形平面上,由于分布的模塊種類和數(shù)量的差異,所形成的工作空間也有很大差異.根據(jù)平面構(gòu)形末端相對(duì)于平面構(gòu)形中心的距離和姿態(tài)角的關(guān)系,有下面幾種典型情況:

    1)距離不變、姿態(tài)角不變.平面內(nèi)可能有回轉(zhuǎn)模塊和連接模塊,其工作空間僅為一個(gè)點(diǎn).

    2)距離變化、姿態(tài)角不變.平面內(nèi)不僅可能有回轉(zhuǎn)模塊和連接模塊,還必須有移動(dòng)模塊.其工作空間為一條直線.

    3)距離不變、姿態(tài)角變化.平面內(nèi)不僅可能有回轉(zhuǎn)模塊和連接模塊,并且有且只有一個(gè)搖擺模塊.其工作空間為一段圓弧.

    4)距離變化、姿態(tài)角變化.平面內(nèi)可能有回轉(zhuǎn)模塊和連接模塊,還有移動(dòng)模塊加搖擺模塊組合或者2個(gè)搖擺模塊的組合.其工作空間為不規(guī)則的平面.

    2.2 構(gòu)形平面工作空間邊界的計(jì)算

    前3種類型構(gòu)形平面的工作空間容易表示,其位置多在整個(gè)機(jī)器人構(gòu)形的最前端和最后端,在構(gòu)形平面匹配時(shí)一些參數(shù)容易確定,也容易匹配.由于設(shè)計(jì)的搖擺模塊是非偏置形式的,這種形式模塊的運(yùn)動(dòng)空間是有限制的,從而造成了最后一種類型構(gòu)形平面的工作空間是不規(guī)則的,在進(jìn)行匹配時(shí)既要考慮位置是否匹配,而且要考慮各關(guān)節(jié)角是否滿足要求.在構(gòu)形平面內(nèi)移動(dòng)模塊和搖擺模塊決定工作空間大小.

    第4種類型構(gòu)形平面是研究的重點(diǎn),采用極坐標(biāo)的形式表示平面構(gòu)形的工作空間,首先在給定任意極坐標(biāo)角下,采用構(gòu)形平面內(nèi)的機(jī)器人末端點(diǎn)到構(gòu)形中心最大值和最小值,以便進(jìn)行多連域工作空間區(qū)間的搜索.

    1)極坐標(biāo)角下最大值的求解.當(dāng)目標(biāo)矢量的極坐標(biāo)角未超出第1個(gè)搖擺模塊運(yùn)動(dòng)范圍,則其最大值為

    當(dāng)目標(biāo)矢量的極坐標(biāo)角超出第1個(gè)搖擺模塊運(yùn)動(dòng)范圍時(shí),如圖2所示,D'B為其余關(guān)節(jié)最大長度和,首先將第1個(gè)關(guān)節(jié)置于距離極坐標(biāo)角最近的極限角,然后將第2個(gè)搖擺關(guān)節(jié)置于與第1個(gè)搖擺關(guān)節(jié)相同的極限角處,求解D'的位置坐標(biāo),查看其極坐標(biāo)角與第1個(gè)搖擺關(guān)節(jié)的極限角是否分布在目標(biāo)極坐標(biāo)矢量的兩側(cè).若不在兩側(cè)則繼續(xù)以相同的方法進(jìn)行尋找,直到所有關(guān)節(jié)都找到,如果所有的搖擺關(guān)節(jié)都找完后,仍然不能夠使D'的極坐標(biāo)角與前一個(gè)搖擺關(guān)節(jié)的極限角分布在目標(biāo)矢量角的兩側(cè),則說明在這個(gè)矢量角下,構(gòu)形平面的構(gòu)形末端不能到達(dá)目標(biāo)點(diǎn).如果在某一搖擺關(guān)節(jié)處于極限角處,能夠使D'的極坐標(biāo)角與前一個(gè)搖擺關(guān)節(jié)的極限角分布在目標(biāo)矢量極坐標(biāo)角的兩側(cè),則在目標(biāo)矢量極坐標(biāo)角處,構(gòu)形平面內(nèi)的構(gòu)形能夠達(dá)到最大的距離值.

    圖2 最大值求解示意Fig.2 Sketch of solving the maximum value

    2)極坐標(biāo)角下最小值的求解.極坐標(biāo)角下最小值的求解較為復(fù)雜.如果最大值存在,則最小值也就存在.

    思路 首先在構(gòu)形平面內(nèi)找到一個(gè)搖擺中心,要求搖擺中心分成的2個(gè)部分長度的差值最小,如圖3所示.然后將O2、O3為中心的搖擺模塊的中心都置于極限處,察看O2O4與O3O5是否發(fā)生干涉如圖4所示,對(duì)于非偏置搖擺模塊,其在構(gòu)形平面內(nèi)是不會(huì)產(chǎn)生交叉狀況.

    圖3 構(gòu)形平面的搖擺中心確定示意Fig.3 Confirmation sketch of swing center of configuration plane

    在△O1O2O3中,可直接求得O2O3,進(jìn)而可求出∠O1O2O3和∠O1O3O2.

    此時(shí)有3種情況:

    1)∠O1O2O3和∠O1O3O2都沒有超出搖擺關(guān)節(jié)的極限.此時(shí)O2O4與O3O5發(fā)生干涉,則最小值為0.

    2)∠O1O2O3和∠O1O3O2有一個(gè)角超出了搖擺關(guān)節(jié)的極限.設(shè)∠O1O3O2超出,如圖 4所示,∠O1O3O5為極限角.如果在O3O5段還有搖擺關(guān)節(jié),則以距離O3最近的搖擺模塊為中心,設(shè)為O3'.旋轉(zhuǎn)該模塊,使得O3'O5線段與O3'O2矢量重合.計(jì)算O2O5線段距離,判斷O2O5與O2O4的2個(gè)線段大小,如果O2O5≤O2O4,則極坐標(biāo)角下最小值為0;否則將O2O4旋轉(zhuǎn)到O2O5矢量線上,O4O5就為極坐標(biāo)角下最小值.

    圖4 最小值求解示意Fig.4 Sketch of solving the minimus value

    3)∠O1O2O3和∠O1O3O2都超出了搖擺關(guān)節(jié)的極限.將這2個(gè)關(guān)節(jié)都置于極限處.其求解過程與上一種情況相同,找到O4O5的最小值.

    2.3 構(gòu)形平面工作空間區(qū)間的搜索

    構(gòu)形平面工作空間的區(qū)間搜索實(shí)際上是對(duì)區(qū)間界限的搜索.由于要兼顧精度和速度,因此搜索時(shí)采用兩步搜索方法:粗搜索和精搜索結(jié)合的方法[7].

    1)粗搜索.粗搜索用于確定空間邊界的大致區(qū)域,采用等步距Δl進(jìn)行搜索.搜索的范圍為在已知極坐標(biāo)角下,通過上一節(jié)方法求的[lmin,lmax]區(qū)域.其工作流程如圖5所示.

    圖5 粗搜索流程圖Fig.5 Soarse search flowchart

    2)細(xì)搜索.細(xì)搜索為通過粗搜索確定的空間邊界,搜索滿足一定精度的邊界點(diǎn),采用二分法進(jìn)行邊界搜索.其工作流程如圖6所示.

    圖6 細(xì)搜索流程圖Fig.6 Fine search flowchart

    3 8-DOF機(jī)器人的構(gòu)形平面工作空間計(jì)算

    以一個(gè)8-DOF機(jī)器人構(gòu)形[8]進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),其關(guān)節(jié)參數(shù)如表1所示,構(gòu)形如圖7所示.

    表1 8-DOF機(jī)器人參數(shù)Table 1 8-DOF robot parameters

    機(jī)器人初始點(diǎn)的位置姿態(tài)矩陣如下:

    機(jī)器人運(yùn)動(dòng)目標(biāo)點(diǎn)的位置姿態(tài)矩陣如下:

    進(jìn)行構(gòu)形平面劃分后,以關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)7作為劃分點(diǎn),分解成3個(gè)構(gòu)形平面:關(guān)節(jié)1與關(guān)節(jié)2組成構(gòu)形平面1;關(guān)節(jié)3、關(guān)節(jié)4、關(guān)節(jié)5、關(guān)節(jié)6組成構(gòu)形平面2;關(guān)節(jié)7和關(guān)節(jié)8組成構(gòu)形平面3.構(gòu)形平面工作空間形式固定,易于求解,也易于匹配.通過計(jì)算,構(gòu)形平面2的末端相對(duì)于構(gòu)形平面2的中心的位姿矩陣為

    圖7 8-DOF工作構(gòu)形Fig.7 8-DOF configuration robot

    圖8 極坐標(biāo)下構(gòu)形平面工作空間Fig.8 Configuration plane working space in polar coordinates

    也就是說,在構(gòu)形平面2的極坐標(biāo)系中,其末端的極坐標(biāo)角為120.007°情況下,極半徑要滿足657.5.否則,要重新劃分構(gòu)形平面,進(jìn)行構(gòu)形平面匹配.按照前面的說明,構(gòu)形平面的工作空間僅是確定其在極坐標(biāo)角下的工作空間內(nèi)的區(qū)域.通過計(jì)算和搜索,極坐標(biāo)角120.007°下,其構(gòu)形平面2的工作空間為[527,815],非多區(qū)域工作區(qū)間,如圖8所示.其能夠滿足構(gòu)形平面間的位姿匹配要求,可求出可重構(gòu)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解.

    4 結(jié)論

    1)通過對(duì)構(gòu)形平面的工作空間分析,總結(jié)出4種基本構(gòu)形平面的工作空間類型,為可重構(gòu)機(jī)器人在任意空間工作位形下的構(gòu)形平面劃分提供了依據(jù).

    2)針對(duì)復(fù)雜的多連域構(gòu)形平面工作空間,提出了極坐標(biāo)下區(qū)間形式的工作空間表達(dá)方法,極大簡化了工作空間的計(jì)算量,為可重構(gòu)機(jī)器人構(gòu)形平間的位姿匹配節(jié)省了時(shí)間,進(jìn)而保證機(jī)器人的工作的實(shí)時(shí)性.

    3)采用了先計(jì)算工作空間邊界,后通過粗搜索、細(xì)搜索結(jié)合確定工作區(qū)間的方法,極大加快工作空間的計(jì)算速度,提高計(jì)算方法的效率.

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