數(shù)學(xué)思想方法在地理學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

福建省泉州九中（362000） 黃朝華 林彬煌

數(shù)學(xué)思想方法在地理學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

福建省泉州九中（362000） 黃朝華 林彬煌

地理學(xué)科，尤其是自然地理，思維方式最接近理科思維，對(duì)學(xué)生的邏輯推理和綜合分析能力要求較高。在地理學(xué)習(xí)過(guò)程中如果能夠從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)看問(wèn)題，把復(fù)雜的地理問(wèn)題抽象成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，將有助于突破一些地理學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。以下介紹幾種地理解題中常用的數(shù)學(xué)思想方法。

一、極值法在地理學(xué)科解題中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)中，極大值與極小值（又被稱為極值）是指函數(shù)在一個(gè)值域上取得最大值（或最小值）點(diǎn)的函數(shù)值。而使函數(shù)取得極值的點(diǎn)(橫坐標(biāo))被稱作極值點(diǎn)。在對(duì)晝夜長(zhǎng)短、正午太陽(yáng)高度變化等地理現(xiàn)象分析時(shí)，對(duì)冬至、夏至、遠(yuǎn)日點(diǎn)、近日點(diǎn)等極值點(diǎn)的分析可以將地理問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而簡(jiǎn)化對(duì)此類問(wèn)題的理解和記憶。

例1 （2011年江蘇高考3、4題）表1為三地連續(xù)兩日日出與日落時(shí)刻（北京時(shí)間），據(jù)此回答（1）～（2）題。

表1

（1）三地按緯度由高到低的排列正確的是

A．①②③ B．①③②

C．②①③ D．③①②

（2）若③地為北京，則此時(shí)

A．太陽(yáng)直射點(diǎn)位于南半球且向北移

B．地球公轉(zhuǎn)速度逐漸加快

C．北極圈內(nèi)極晝的范圍逐漸漸擴(kuò)大

D．各地晝夜長(zhǎng)短相差最小

分析表格中的數(shù)據(jù)主要涉及晝夜長(zhǎng)短變化，從晝長(zhǎng)的變化規(guī)律來(lái)看，赤道永遠(yuǎn)晝夜平分，晝夜時(shí)長(zhǎng)的差距為零，此差距隨緯度增大而增大。因此在解答第(1)題時(shí)，只需查看晝夜時(shí)長(zhǎng)的差距大小，差距小者緯度低。因此不難判斷答案為B。表格數(shù)據(jù)表明，③地晝長(zhǎng)長(zhǎng)于12小時(shí)，且繼續(xù)變長(zhǎng)，若③為北京，顯然此時(shí)太陽(yáng)直射北半球，直射點(diǎn)此時(shí)向北回歸線移動(dòng)，地球向遠(yuǎn)日點(diǎn)移動(dòng)。由于夏至?xí)r太陽(yáng)直射北回歸線，北半球晝長(zhǎng)和極晝范圍均達(dá)到極大值，而遠(yuǎn)日點(diǎn)地球公轉(zhuǎn)速度達(dá)到極小值，因此容易判斷第(2)題中的B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意的答案為C。

在涉及地理圖像的記憶時(shí)，極值法的應(yīng)用有利于簡(jiǎn)化各變化規(guī)律的記憶量。

例2 （2010年四川高考8、9題）圖1是某地氣溫、降水、潛水水位（潛水面海拔）年內(nèi)變化圖。讀圖回答（1）～（2）題。

圖1

（1）圖1所示這類氣候條件容易誘發(fā)的地理現(xiàn)象是

A．寒潮 B．泥石流 C．凌汛 D．沙塵暴（2）下列城市所在地域，與圖1所示氣

候類型相同、海拔相近的是

A．天津 B．昆明

C．新奧爾良 D．加爾各答

分析這類題目的答題關(guān)鍵在于根據(jù)圖標(biāo)判斷氣候類型，而在氣溫和降水、河流流量、潛水位變化等方面，如果能夠記住幾個(gè)關(guān)鍵極值與極值點(diǎn)，便容易進(jìn)行判斷。如亞熱帶與溫帶的氣候差異在于月平均氣溫極小值是否大于0℃，降水量在6月至9月的極大值之間出現(xiàn)了8月的極小值意味著伏旱天氣等。容易判斷該地區(qū) 的氣候類型，（1）、（2）兩題的答案便顯而易見了。

二、向量分析法在地理學(xué)科解題中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)中，既有大小又有方向的量叫做向量，地理中涉及方位的所有計(jì)算均可視為向量運(yùn)算。在引入正交分解等向量計(jì)算方法后，地理方位可分解為東西方位和南北方位兩部分。

例3 讀圖2，圖中B在A的什么方向？

分析使用正交分解法，很容易發(fā)現(xiàn)，從A到B的路線可以分解為從A出發(fā)向西到達(dá)C和C向北到達(dá)B點(diǎn)兩個(gè)方向，即B在A的西北方向。

另外，在太陽(yáng)視運(yùn)動(dòng)的判讀問(wèn)題上，由于空間想象存在困難，許多學(xué)生容易出現(xiàn)一些基本判斷的錯(cuò)誤，甚至一些教師在此類問(wèn)題上都出現(xiàn)錯(cuò)誤，在進(jìn)行命題時(shí)常常出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，如果采用向量分析法，結(jié)合極值法，便能避免此類錯(cuò)誤。如例4便是近年來(lái)常被用于各地高三復(fù)習(xí)的一道試題，便是典型錯(cuò)題。

例4 三地同學(xué)共同開展一個(gè)“影子長(zhǎng)度”的探究學(xué)習(xí)活動(dòng)，他們?cè)诋?dāng)?shù)貢r(shí)間10：00～14：00每隔一小時(shí)測(cè)量一根1米長(zhǎng)的桿的影子長(zhǎng)度，并將所得數(shù)據(jù)繪制成圖。下圖為6月22日三個(gè)地區(qū)同學(xué)所提供的觀測(cè)結(jié)果?；卮穑?）～（2）題。

（1）甲、乙、丙三地緯度由低到高的順序是

A．甲、乙、丙 B．甲、丙、乙

C．乙、甲、丙 D．丙、乙、甲

（2）關(guān)于乙地此時(shí)氣候特征的描述，最可能出現(xiàn)的是

A．一年中氣溫較高、降水較多的季節(jié)

B．一年中降水較少、草木枯黃的季節(jié)

C．一年中氣溫較低、降水較多的季節(jié)

D．一年中降水較多、作物生長(zhǎng)旺盛季節(jié)

圖2

分析該題的甲圖事實(shí)上是不可能存在的，根據(jù)題目條件，此時(shí)為夏至，太陽(yáng)直射北回歸線，而甲圖中北京時(shí)間13時(shí)甲地影長(zhǎng)為0，顯然甲地位于北回歸線，但事實(shí)上，由于夏至全球未出現(xiàn)極晝極夜現(xiàn)象的地區(qū)均日出東北，日落西北，太陽(yáng)方位的南北分量均指向北方，正午之時(shí)，太陽(yáng)達(dá)到甲地正上方，即南北分量為0，顯然，這一天中，太陽(yáng)方位的南北分量不可能為南方，也就是說(shuō)，這一天中，影子不可能朝向北方。

三、變量控制法在地理學(xué)科解題中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，常采用消元法進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算，而這一思想在地理學(xué)習(xí)過(guò)程中的應(yīng)用就是進(jìn)行變量控制，針對(duì)某些復(fù)雜的地理現(xiàn)象變化過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化學(xué)習(xí)。如教材中對(duì)風(fēng)向的判斷分析過(guò)程，就進(jìn)行了這樣的簡(jiǎn)化分析，層層深入，從僅受水平氣壓梯度力影響開始，依次加入地轉(zhuǎn)偏向力、摩擦力等影響因素，逐步了解風(fēng)的形成過(guò)程，而這一方法也可以在解決問(wèn)題中逆向應(yīng)用。

例5 （2006年廣東14題）假設(shè)在北半球各高度水平氣壓梯度力相同，自地面向上一定高度內(nèi)，風(fēng)的變化情況為

A．風(fēng)速變小，風(fēng)向不變

B．風(fēng)速變大，風(fēng)向不變

C．風(fēng)速加大，風(fēng)向逆時(shí)針?lè)较蚱D(zhuǎn)

D．風(fēng)速加大，風(fēng)向順時(shí)針?lè)较蚱D(zhuǎn)

分析本題假定水平氣壓梯度力不變，由于地轉(zhuǎn)偏向力在同緯度大小相等，顯然主要考慮的就是摩擦力變化的問(wèn)題。根據(jù)課文對(duì)摩擦力作用的描述，一方面，摩擦力的作用使風(fēng)力減小，另一方面，摩擦力使風(fēng)向偏轉(zhuǎn)減小。因此，隨著高度上升，摩擦力的影響減小，風(fēng)力加大，偏轉(zhuǎn)加大，由于北半球風(fēng)向順時(shí)針偏轉(zhuǎn)，答案顯然選D。當(dāng)然我們也可以采用極值法，將“一定高度”擴(kuò)大為升高到忽略摩擦力的高度，在不考慮摩擦力的時(shí)候，地轉(zhuǎn)偏向力使風(fēng)向偏轉(zhuǎn)90°，使之與地面偏轉(zhuǎn)較小的風(fēng)向比較，也可以得出該結(jié)論。

四、數(shù)形結(jié)合在地理學(xué)科解題中的應(yīng)用

地理學(xué)習(xí)過(guò)程中，會(huì)遇到許多地理圖表，包括地理等值線圖、各類統(tǒng)計(jì)圖表等，如果充分理解各類圖表的數(shù)學(xué)含義，就能夠做到“運(yùn)用之妙，存乎一心”。

在地理考試時(shí)，常常會(huì)遇到各種新的圖表形式，這就要求我們能夠充分體會(huì)統(tǒng)計(jì)圖表只是地理數(shù)據(jù)的表現(xiàn)形式，大多數(shù)數(shù)據(jù)可以使用最簡(jiǎn)單的點(diǎn)狀、柱狀圖表達(dá)，意味著大多數(shù)復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)圖表可以輕易轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的圖表形式。以下以三角坐標(biāo)圖和雷達(dá)圖為例進(jìn)行分析。

例6 三角坐標(biāo)圖（圖3）。

三角坐標(biāo)圖通常用于表示總和為100%的三個(gè)要素各自的比例構(gòu)成。如經(jīng)濟(jì)中的三大產(chǎn)業(yè)構(gòu)成、人口中的老年、青壯年、兒童的構(gòu)成等。由于坐標(biāo)軸多，而且并非學(xué)生習(xí)慣的直角坐標(biāo)系，三角坐標(biāo)圖成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)。

三角坐標(biāo)圖的讀圖要訣在于將其轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，由于三角坐標(biāo)圖包含三大數(shù)據(jù)的表達(dá)，因此，在讀圖的時(shí)候應(yīng)當(dāng)依次讀出，簡(jiǎn)化讀圖難度是讀圖的關(guān)鍵。在讀圖3時(shí)，我們可以暫時(shí)先拋開c數(shù)軸，只考慮a、b數(shù)軸進(jìn)行判讀。我們可以將b軸平移至a軸的原點(diǎn)處，此時(shí)a、b軸即構(gòu)成一個(gè)直角坐標(biāo)系（圖4），此時(shí)就可以讀出圖中A點(diǎn)的b數(shù)據(jù)，然后將圖旋轉(zhuǎn)120°，依次讀出a、c的數(shù)值即可。圖中A點(diǎn)的a、b、c數(shù)據(jù)分別是20，60，20。

例7 雷達(dá)圖（圖5）。

雷達(dá)圖是另一類學(xué)生較少見到的統(tǒng)計(jì)圖表，學(xué)生易產(chǎn)生畏懼心理，其實(shí)此類圖像很容易就可以變換為我們熟悉的直角坐標(biāo)圖。圖5為廈門降水量分布圖，粗看不容易讀懂，其實(shí)雷達(dá)圖可以看成直角坐標(biāo)（圖6）將橫坐標(biāo)縮短成一個(gè)點(diǎn)后變成的扇形圖，便容易將圖5的形式轉(zhuǎn)變?yōu)閳D6的形式。

圖5

圖6

從數(shù)據(jù)的角度出發(fā)，我們也容易發(fā)現(xiàn)圖5中離圓心越遠(yuǎn)的點(diǎn)數(shù)值越大，我們便可以輕松讀出各點(diǎn)的實(shí)際降水量，容易看出6月降水最多，而雨季持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)，從4月直至9月。

地理是一門綜合性很強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)好地理知識(shí)不僅需要好的記憶力，還需要有對(duì)地理知識(shí)的充分理解，才能夠自如地應(yīng)用地理知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。在目前的地理高考實(shí)踐中，十分側(cè)重考查學(xué)生的四大能力，即獲取和解讀信息的能力、調(diào)動(dòng)和運(yùn)用知識(shí)的能力、描述和闡釋事物的能力、論證和探討問(wèn)題的能力。在能力的培養(yǎng)中，數(shù)學(xué)思維有時(shí)可以起到很大的作用。數(shù)學(xué)思想在地理學(xué)習(xí)過(guò)程中還有很多運(yùn)用，需要在學(xué)習(xí)中逐步加強(qiáng)體會(huì)。