反光鏡測(cè)試中曲面數(shù)據(jù)采集及擬合＊

王銀河，陰曉俊，姚春龍，劉新華，戰(zhàn)俊生，朱德金

（沈陽(yáng)儀表科學(xué)研究院 沈陽(yáng)匯博光學(xué)技術(shù)公司，遼寧 沈陽(yáng) 110043）

引 言

非球面光學(xué)反光鏡按照面型分類包括橢圓、拋物面、雙曲面等類型，廣泛應(yīng)用于數(shù)字投影系統(tǒng)［1］、冷光源［2］、電影光源［3，4］、照明光源［5］等，其幾何外形結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中應(yīng)用于數(shù)字投影系統(tǒng)中的橢球反光鏡，如圖2所示，是一種較為精密的反光鏡元件。實(shí)際加工過程中，需要對(duì)未知橢球曲面方程進(jìn)行重構(gòu)求解，以便進(jìn)行數(shù)據(jù)誤差分析及再加工。曲面重構(gòu)的主要方法是通過采集曲面的坐標(biāo)數(shù)據(jù)信息及數(shù)據(jù)擬合，得到非球面曲面方程。曲面的數(shù)據(jù)采集及擬合一方面有助于光學(xué)系統(tǒng)輔助設(shè)計(jì)，另一方面作為制造過程的誤差分析，模擬模型的光學(xué)特性變化，可以提升產(chǎn)品制造精度及性能。

圖1 非球面反光鏡示意圖Fig.1 Schematic of aspherical reflector

圖2 數(shù)字投影系統(tǒng)中非球面反光鏡Fig.2 Spherical reflector in digital projection systerm

1 非球面反光鏡的加工及面型檢測(cè)

1.1 非球面反光鏡加工

非球面反光鏡制造過程主要采用模壓成型及機(jī)械精密研磨成型兩種加工方式。其中，模壓成型方法主要用于小尺寸反光鏡加工，如應(yīng)用于小功率投影機(jī)光源系統(tǒng)的反光鏡；機(jī)械研磨成型加工主要用于大型非球面反光鏡的加工，加工過程也更加復(fù)雜，周期更長(zhǎng)。加工工藝如圖3、圖4所示。在這些精密反光鏡生產(chǎn)的過程中，經(jīng)常要通過精密的測(cè)試和計(jì)算來(lái)提升反光鏡的加工精度，減少制造誤差。非球面反光鏡面形檢測(cè)方法主要有接觸式測(cè)量及非接觸式的測(cè)量。測(cè)量方法包括三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)、輪廓儀、樣板測(cè)試、幾何光學(xué)方法、光電方法測(cè)試等。其中三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)試方法，以其高精度的定量測(cè)量方式已在非球面檢測(cè)領(lǐng)域得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用［6－8］，也是非球面反求工程中實(shí)用性好的一種重要方法。

圖3 反光鏡數(shù)控研磨加工示意圖Fig.3 Schematic of reflector grinding with computer numerical control

圖4 反光鏡模壓成型示意圖Fig.4 Schematic of reflector molding

1.2 三坐標(biāo)面型檢測(cè)

1.2.1 反光鏡測(cè)試檢測(cè)路徑及基準(zhǔn)定標(biāo)

非球面檢測(cè)路徑可采用以下三種方法：子午線法、光柵式檢測(cè)路徑和圓周式檢測(cè)路徑［9］。這里采用子午線方法進(jìn)行測(cè)量。利用測(cè)試設(shè)備測(cè)量一條經(jīng)過軸對(duì)稱光學(xué)元件對(duì)稱軸的子午線，如圖5所示，沿子午線及軸線所在平面剖開橢球形成截面，測(cè)試截面與中心位置的相對(duì)坐標(biāo)，如圖6所示，再通過數(shù)學(xué)方法擬合數(shù)據(jù)。使用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)試非球面光學(xué)元件須先選擇一個(gè)基準(zhǔn)面，以便進(jìn)行坐標(biāo)變換及數(shù)據(jù)分析。由于在反光鏡加工過程中，上端面與反光鏡中軸垂直，所以選擇上端面作為基準(zhǔn)面比較準(zhǔn)確，如圖6所示。選擇非球面反光鏡上端面作為基準(zhǔn)水平面，沿水平端面測(cè)試反光鏡上端內(nèi)表面不同位置坐標(biāo)，再根據(jù)測(cè)試數(shù)據(jù)找到圓心及中軸線。

1.2.2 數(shù)據(jù)采集

沿軸向方向，選擇一個(gè)軸截面作為測(cè)試平面，用三坐標(biāo)測(cè)試機(jī)測(cè)量截面的位置坐標(biāo)。測(cè)試坐標(biāo)的中心選擇在上端面中心，測(cè)試過程采集足夠的數(shù)據(jù)點(diǎn)，一般根據(jù)反光鏡大小采集200～300個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)即可。由于測(cè)試曲面為未知曲面，因此測(cè)試坐標(biāo)點(diǎn)均為相對(duì)空間坐標(biāo)。

圖5 橢球的子午線式測(cè)量檢測(cè)路徑Fig.5 The meridian measurement path of ellipsoid test

圖6 反光鏡三坐標(biāo)測(cè)試示意圖Fig.6 Schematic of reflector test with CMM

2 曲面數(shù)據(jù)擬合及分析

2.1 非球面曲面構(gòu)造

由于測(cè)試的數(shù)據(jù)均為相對(duì)位置坐標(biāo)，須根據(jù)測(cè)試中的空間位置關(guān)系，轉(zhuǎn)換為接近于曲面方程坐標(biāo)系下坐標(biāo)點(diǎn)（xi，yi，zi），再根據(jù)測(cè)試的數(shù)據(jù)建立坐標(biāo)系，采用三維繪圖軟件重構(gòu)圖形如圖7所示。

2.2 參數(shù)方程擬合

曲線擬合：基于最小二乘的數(shù)學(xué)擬合方法在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)用較多［10－12］。高斯—牛頓算法最小二乘擬合［13，14］的出發(fā)點(diǎn)就是 先通過模型進(jìn)行線性近似，求出近似模型的最小二乘估計(jì)，然后再進(jìn)行迭代程序。利用泰勒基數(shù)展開近似非線性方程，將其表示成線性形式，計(jì)算出參數(shù)沿著殘差減小方向上的新估測(cè)值。

設(shè)有t個(gè)回歸因子和n個(gè)待定系數(shù)B，則非線性模型表示為：

圖7 根據(jù)坐標(biāo)點(diǎn)三維模型重構(gòu)Fig.7 3－D model reconstruction based on the coordinates

在參數(shù)擬合計(jì)算中，通過測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)（xj，yj）來(lái)估計(jì)待定系數(shù)bi（i＝1，2，…，n），把現(xiàn)有的回歸模型參數(shù)b0i作為近似值，將最優(yōu)bi與b0i的差值記為Δbi，這樣參數(shù)bj的優(yōu)化問題就轉(zhuǎn)化為確定修正因子Δbi即

B0按照泰勒級(jí)數(shù)展開并取其一次項(xiàng)，并按照未知數(shù)Δbi合并同類項(xiàng)，得到新方程組［14］，解此方程可求的參數(shù)的修正值為Δbj，再由式（2）得到修正值。需要經(jīng)過多次迭代計(jì)算，使Δbj趨近于零。按照橢圓曲線方程編制程序進(jìn)行最小二乘數(shù)據(jù)擬合計(jì)算。

2.3 曲面擬合及誤差分析

利用上述三坐標(biāo)測(cè)試方法采集了一組橢球反光鏡內(nèi)曲面坐標(biāo)點(diǎn)。反光鏡的具體尺寸如下：曲面外徑為173mm，高度為53mm，根據(jù)2.2中最小二乘擬合方法進(jìn)行計(jì)算。通過上述數(shù)據(jù)擬合，計(jì)算得到橢圓方程a＝161.47，b＝109.44，c＝118.72，將坐標(biāo)平移后測(cè)試的坐標(biāo)點(diǎn)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)橢球方程坐標(biāo)系下的數(shù)據(jù)，測(cè)試坐標(biāo)點(diǎn)與擬合橢圓曲線如圖8所示。

曲面擬合誤差：通過沿Y方向計(jì)算測(cè)試點(diǎn)坐標(biāo)與標(biāo)準(zhǔn)方程的誤差對(duì)比，如圖9所示，除反光鏡的邊緣位置點(diǎn)出現(xiàn)明顯偏離外，偏差值均在±0.02mm的范圍內(nèi)，符合反光鏡測(cè)試及制造精度要求。

2.4 焦點(diǎn)誤差模擬分析

將測(cè)試構(gòu)造的反光鏡轉(zhuǎn)換為三維實(shí)體模型，F(xiàn)1、F2分別為第1、2焦點(diǎn)，f1、f2為第1、2焦距。進(jìn)行光線追跡，通過光線追跡分析，若構(gòu)造曲面與擬合曲面偏差較小，則在F2焦點(diǎn)處接收光能量具有最高值。參考擬合曲面所得到方程及焦點(diǎn)位置，將光源置于焦點(diǎn)F1處，在F2附近移動(dòng)接收面，通過接收面接收到光線數(shù)量及能量分布變化，分析模型f2誤差，如圖10所示。模擬的設(shè)置如下：f1＝42.7mm；f2＝280mm，接收面半徑為5mm。通過移動(dòng)接收屏，記錄接收的平均光能量值及入射光線數(shù)，尋找最高能量值點(diǎn)坐標(biāo)值，確認(rèn)f2值的偏差。圖11中最高點(diǎn)位置坐標(biāo)為274mm，參考坐標(biāo)為280mm，F(xiàn)2偏差為6mm。

圖8 平移后坐標(biāo)點(diǎn)與擬合曲線Fig.8 Coordinates and fitted equation after shift

圖9 坐標(biāo)點(diǎn)與擬合曲線方程Y方向偏差Fig.9 Deviation of Ybetween coordinates and fitted equation

圖10 光線追跡示意圖Fig.10 Schematic of ray－tracing

圖11 面F2不同位置處接收能量關(guān)系Fig.11 Energy at different locations on F2

3 結(jié) 論

利用三坐標(biāo)測(cè)試設(shè)備進(jìn)行反光鏡曲面數(shù)據(jù)采集，采用數(shù)學(xué)擬合的方法得到近似曲面方程。通過對(duì)擬合方程與測(cè)試坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)的對(duì)比分析，誤差較??；通過對(duì)擬合曲面及測(cè)試坐標(biāo)點(diǎn)重構(gòu)曲面的光線追跡分析，第二焦點(diǎn)雖有較小偏差，但光能量變化不大。采用上述反光鏡測(cè)試擬合方法，對(duì)于提升精密反光鏡加工精度，減少加工誤差，是一種行之有效的方法。

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