方形蜂窩夾芯夾層板彎曲問題的新解法

伍 莉，劉 均，程遠(yuǎn)勝

（1武漢市第二船舶設(shè)計(jì)研究所，武漢 430064；2華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢430074）

1 引 言

由于夾層結(jié)構(gòu)具有重量輕、強(qiáng)度高的特點(diǎn)，同時也具有良好的抗振、隔聲和隔熱等性能，目前已被廣泛應(yīng)用于航空航天、船舶及土木建筑等領(lǐng)域，因此研究各種形式夾層結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性顯得尤為重要。典型的夾層結(jié)構(gòu)由其上下面板和中間的芯層所組成，按其芯層的結(jié)構(gòu)形式可分為連續(xù)和離散兩種。在過去幾十年里，針對連續(xù)芯層的夾層結(jié)構(gòu)，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了廣泛和深入的研究，取得了很多研究成果。對于離散芯層的夾層結(jié)構(gòu)如棱柱形夾芯、折板夾芯、波紋形夾芯、四邊形蜂窩夾芯、六邊形蜂窩夾芯以及金字塔柵格夾芯等，由于結(jié)構(gòu)形式的復(fù)雜性，其力學(xué)特性已成為目前國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)之一[1-4]。對離散芯層夾層結(jié)構(gòu)，欲從理論上建立準(zhǔn)確的力學(xué)模型，運(yùn)用解析方法進(jìn)行分析是比較困難的，目前國內(nèi)外學(xué)者采用較多的一種方法，是將其結(jié)構(gòu)進(jìn)行均勻等效[5-7]，把離散的芯層等效為均勻的連續(xù)體，利用一定等效原則得到對應(yīng)的力學(xué)參數(shù)，然后利用這些參數(shù)和連續(xù)體假設(shè)再對夾層結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)分析。

本文針對方形蜂窩夾芯夾層板，應(yīng)用離散的力學(xué)模型進(jìn)行了研究，將其離散的芯層視為密加筋形式，在經(jīng)典夾層板理論的基礎(chǔ)上[8]，利用能量原理推導(dǎo)出方形蜂窩夾芯夾層板離散模型的彎曲控制方程，然后假設(shè)夾層板位移為雙傅立葉級數(shù)形式，采用伽遼金法求解。

2 理論分析

2.1 基本假設(shè)

方形蜂窩夾芯夾層板由上下兩塊面板和中間的方形芯層所組成，如圖1所示。tt和tb為上下面板的厚度，tc和Hc為芯層薄壁的厚度和高度，Lc表示芯層薄壁的間距。在以下公式中，下標(biāo)t和b分別表示上面板 （top）和下面板（bottom），下標(biāo) c表示芯層（core）。

以下分析都基于線彈性范圍內(nèi)，基本假設(shè)為：

（1）夾層板的上下面板為普通薄板，沿用經(jīng)典的薄板理論；

（2）芯層橫向不可壓縮；

（3）離散的芯層薄壁承受橫向彎曲和剪切，且假設(shè)整體芯層存在統(tǒng)一的位移場；

（4）夾芯中面法線在變形后保持直線，忽略芯層薄壁之間的交叉連接。

圖1 方形蜂窩夾芯夾層板示意圖Fig.1 Schematic diagram of a square-honeycomb sandwich plate

2.2 基本方程

2.2.1 幾何方程

對于上面板：

其中uk、vk和wk（k=t或b）分別表示上下面板的面內(nèi)x向、y向的位移函數(shù)和橫向位移函數(shù)；uok和vok（k=t或b）分別表示上下面板中面面內(nèi)x向、y向的位移函數(shù)，φxk和φyk（k=t或b）分別表示x法向和y法向轉(zhuǎn)角，zk（k=t或b）表示垂向坐標(biāo)，垂向坐標(biāo)的零點(diǎn)在各面板的中面上，方向向下；uc和vc分別表示芯層的面內(nèi)x向和y向的位移函數(shù)；uoc和voc分別表示芯層中面面內(nèi)x向和y向的位移函數(shù)；φxc和φyc分別表示芯層x法向和y法向轉(zhuǎn)角；zc為垂向坐標(biāo)，垂向坐標(biāo)的零點(diǎn)在芯層的中面上，方向向下；w為夾層板的橫向位移函數(shù)。

對上下面板和芯層的中面位移函數(shù)，根據(jù)變形協(xié)調(diào)性，存在如下關(guān)系：在上面板與芯層交界處

其中uci和wci分別為沿x軸方向的第i根薄壁的面內(nèi)位移和橫向位移，vcj和wcj分別為沿y軸方向的第j根薄壁的面內(nèi)位移和橫向位移，yi為沿x軸方向的第i根薄壁y軸坐標(biāo)，xj為沿y軸方向第j根薄壁x軸坐標(biāo)。

在線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)變位移關(guān)系為：

對上下面板

式中，k＝t或b表示上面板或下面板。

對沿x軸方向的第i根薄壁

對沿y軸方向的第j根薄壁

式中，εxci和γxzi分別為沿x軸方向的第i根薄壁的正應(yīng)變和剪應(yīng)變；εycj和γyzj分別為沿y軸方向的第j

根薄壁的正應(yīng)變和剪應(yīng)變。

2.2.2 物理方程

假設(shè)材料為各向同性，對上下面板

式中，下標(biāo)k＝t或b，E、μ為面板材料的彈性模量和泊松比。

對于芯層，沿x方向第i根薄壁：

沿y方向第j根薄壁：

其中Ec和μc為芯層材料的彈性模量和泊松比。

2.2.3 平衡方程

運(yùn)用能量變分原理推導(dǎo)出夾層板在橫向載荷下的彎曲平衡方程。能量變分原理表示如下：

式中，U和V分別表示夾層板的應(yīng)變能和外力功。δ表示一次變分。

夾層板總的應(yīng)變能可以表示為：

式中，Ut、Uc和Ub分別表示上面板、芯層和下面板的應(yīng)變能。它們可以分別表示為

在橫向載荷作用下，其外力功為：

3 方程求解

要求得以上方程準(zhǔn)確的解析解是比較困難的，本文針對矩形方形蜂窩夾芯夾層板，運(yùn)用伽遼金法求得近似解。

對于固支夾層板，其邊界條件為：

將上面的函數(shù)代入方程組 （20），運(yùn)用伽遼金法可得到關(guān)于未知量代數(shù)方程組，當(dāng)位移函數(shù)取有限項(xiàng)時，則得到其近似解。

4 算 例

為了驗(yàn)證本文方法的正確性，針對某四邊固支和四邊簡支矩形方形蜂窩夾芯夾層板，運(yùn)用本文方法得到了位移場和應(yīng)力場結(jié)果，并與有限元數(shù)值仿真的結(jié)果進(jìn)行了比較。

4.1 邊界條件為固支

矩形夾層板的幾何參數(shù)為：矩形夾層板長度a=205 mm，寬度b=165 mm，上面板厚度tt=2 mm，下面板厚度tb=2 mm，芯層薄壁的厚度tc=0.5 mm，芯層薄壁的高度Hc=10 mm，薄壁間距Lc=5 mm；材料參數(shù)為：面板和芯層為同種材料，其彈性模量E=Ec=2.1×105MPa，泊松比μ=μc=0.3。假設(shè)夾層板四邊剛固，承受橫向均布載荷q＝2.5 MPa。下面給出相關(guān)的位移和應(yīng)力計(jì)算結(jié)果。為比較起見，有限元方法的相應(yīng)結(jié)果也一并在圖中給出。

圖2和圖3給出了y=b/2和x=a/2處夾層板的橫向位移，從圖中可以看出本文方法和有限元法兩者計(jì)算結(jié)果吻合得比較好，本文解的最大位移為0.147 mm，而有限元解為0.148 mm，兩者非常接近。

圖4－7給出上面板的應(yīng)力值，從圖中可以看出，在上面板上表面，本文方法得到的應(yīng)力值和有限元解吻合較好，如圖4和圖5所示；但是在下表面，也即面板和芯層交界處，由于離散芯層薄壁局部加強(qiáng)的作用，有限元計(jì)算得到的應(yīng)力值在芯層薄壁的位置會有較大的波動，如圖6和圖7所示，這是本文方法所不能模擬的，下面板的應(yīng)力解類似于上面板，限于篇幅，不再累述?？傮w而言，本文半解析解的正應(yīng)力結(jié)果和有限元解基本一致。

本文方法基于芯層的一階剪切理論，計(jì)算得到的芯層剪應(yīng)力與有限元計(jì)算結(jié)果有所差異。

圖2 y=b/2處上面板橫向位移Fig.2 Lateral displacement of top face sheet at y=b/2

圖3 x=a/2處上面板橫向位移Fig.3 Lateral displacement of top face sheet at x=a/2

圖4 y=b/2處上面板上表面y方向正應(yīng)力Fig.4 Normal stress distribution of upper surface of top face sheet in y direction at y=b/2

圖5 x=a/2處上面板上表面x方向正應(yīng)力Fig.5 Normal stress distribution of upper surface of top face sheet in x direction at x=a/2

圖6 y=b/2處上面板下表面y方向正應(yīng)力Fig.6 Normal stress distribution of lower surface of top face sheet in y direction at y=b/2

圖7 x=a/2處上面板下表面x方向正應(yīng)力Fig.7 Normal stress distribution of lower surface of top face sheet in x direction at x=a/2

4.2 邊界條件為簡支

本算例中夾層板的幾何參數(shù)和材料參數(shù)與固支算例相同，但邊界為四邊簡支，承受橫向均布載荷q＝1 MPa，下面給出應(yīng)用本文方法和有限元方法得到的相關(guān)位移和應(yīng)力計(jì)算結(jié)果。

圖8和圖9給出了y=b/2和x=a/2處夾層板的橫向位移，從圖中可以看出本文方法和有限元法計(jì)算結(jié)果吻合得比較好。圖10－13給出上面板的應(yīng)力值，從圖中可以看出在上表面，兩者比較接近，在下表面，和固支邊界條件計(jì)算結(jié)果相似，由于離散芯層的局部影響，有限元計(jì)算的應(yīng)力有一些波動，但總體而言，兩者基本一致。上述結(jié)論與固支邊界夾層板結(jié)論相似。

圖8 y=b/2處上面板橫向位移Fig.8 Lateral displacement of top face sheet at y=b/2

圖9 x=a/2處上面板橫向位移Fig.9 Lateral displacement of top face sheet at x=a/2

圖10 y=b/2處上面板上表面y方向正應(yīng)力Fig.10 Normal stress distribution of upper surface of top face sheet in y direction at y=b/2

圖11 x=a/2處上面板上表面x方向正應(yīng)力Fig.11 Normal stress distribution of upper surface of top face sheet in x direction at x=a/2

圖12 y=b/2處上面板下表面y方向正應(yīng)力Fig.12 Normal stress distribution of lower surface of top face sheet in y direction at y=b/2

圖13 x=a/2處上面板下表面x方向正應(yīng)力Fig.13 Normal stress distribution of lower surface of top face sheet in x direction at x=a/2

5 結(jié) 論

本文研究了方形蜂窩夾芯夾層板彎曲問題，在經(jīng)典夾層板理論基礎(chǔ)上，利用能量原理推導(dǎo)出方形蜂窩夾芯夾層板離散模型的彎曲控制方程，運(yùn)用伽遼金法求解。理論分析和數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明：

（1）本文方法簡單，收斂較快，計(jì)算量小，具有很好的精度，利用本文方法能夠較準(zhǔn)確地得到夾層板橫向彎曲的位移場分布；

（2） 利用本文方法能夠從整體上較好地預(yù)測上下面板的應(yīng)力值 （下面板的應(yīng)力值和上面板類似），但是由于本文方法是基于整體上的假設(shè)，對于局部變形所導(dǎo)致的應(yīng)力局部變化不能很好地模擬，這也是今后需要進(jìn)一步探討和研究的。

（3）本文方法基于芯層的一階剪切理論，故計(jì)算得到的芯層剪應(yīng)力與有限元計(jì)算結(jié)果有所差異，今后可采用高階剪切理論，進(jìn)一步提高計(jì)算精度。

（4）該方法直接對夾層板的離散模型建立平衡方程，夾層板的實(shí)際幾何參數(shù)和材料參數(shù)全部保留在方程中，能夠方便地在本文方法的基礎(chǔ)上對方形蜂窩夾層板進(jìn)行參數(shù)化研究和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

該方法為有效、快捷地分析夾層板的力學(xué)性能提供了新的途徑，也為以后的研究提供了理論參考和依據(jù)。

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