基于TLS-ESPRIT 算法的電氣化鐵路諧波檢測

李 強

0 引言

鐵路電氣化改造的逐步實施，武廣、鄭西、京滬等客運專線的開通，標示著中國鐵路正快速邁入電氣化時代。電氣化鐵路雖然在提高運行速度、增加運力等方面具有明顯的經(jīng)濟、社會效益，但也同時帶來了其他不利影響，其中，交-直型、大功率、單相整流電力機車所引起的諧波污染對公共電網(wǎng)及鐵路沿線設(shè)備帶來了嚴重危害[1～3]，必須采取措施對其進行有效治理，而實時、準確的諧波檢測是諧波治理的前提和主要依據(jù)。

目前，用于諧波檢測的算法主要有：傅里葉變換、瞬時無功功率理論、小波變換、Hilbert-Huang變換、Prony 算法。傅里葉變換計算量大、實時性不夠好、易產(chǎn)生頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)；基于瞬時無功功率理論的方法不能對信號進行時間和頻率聯(lián)合檢測；小波變換無法單獨提取任意頻次的諧波信號，且小波基系數(shù)受噪聲影響大；Hilbert-Huang變換可以得到諧波的時頻分布，但應(yīng)用中存在端點效應(yīng)，需做處理[4]。Prony 算法受噪聲干擾、參數(shù)選擇影響較大[5～6]。

1989 年，Roy 和Kailath 提出了一種新的信號參數(shù)提取算法—ESPRIT（Estimating Signal Parameter via Rotational Invariance Techniques）算法，它基于子空間技術(shù)，把待估計信號分解成信號子空間和噪聲子空間，通過信號空間估計出信號參數(shù)[7～8]。具有優(yōu)良的抗噪聲性能、高分辨率、良好的參數(shù)適應(yīng)性。ESPRIT 的思想是通過求旋轉(zhuǎn)算子φ得出信號的衰減和頻率，再由最小二乘（Least Square，LS）或總體最小二乘（Total Least Square，TLS）得出幅值和相位[9]。

TLS - ESPRIT（Total Least Square - Estimating Signal Parameter via Rotational Invariance Techniques）是振蕩衰減正弦信號參數(shù)辨識、諧波恢復(fù)的有效工具[8]。目前已被廣泛應(yīng)用于雷達陣列信號、語音信號、生物信號處理等場合，也正逐漸被引入到電力系統(tǒng)領(lǐng)域，如電壓閃變參數(shù)提取、低頻振蕩模式分析[8～11]。本文將TLS-ESPRIT 算法引入到電氣化鐵路諧波檢測中，從而為治理電氣化鐵路諧波污染奠定基礎(chǔ)。

1 TLS-ESPRIT 算法[8，11]

設(shè)信號x(n)由p 個幅值按指數(shù)函數(shù)變化的正弦分量和白噪聲組成，在采樣時刻n，可表達如下：

ESPRIT 算法可由構(gòu)造觀測數(shù)據(jù)自相關(guān)和互相關(guān)矩陣、進行特征值、奇異值分解來實現(xiàn)，具體過程參見文獻[9]和[12]。由于該方法計算量較大，本文將通過由采樣數(shù)據(jù)序列構(gòu)造Hankel 矩陣來實現(xiàn)該算法，計算簡單、快捷、易于實現(xiàn)。

設(shè)有n 個采樣數(shù)據(jù)序列x(0)，x(1)，x(2)，…x(n-1)，構(gòu)造r×m 階Hankel 矩陣如下：

式中，r＞p，m＞p；且滿足：r + m -1 = n。

對H 矩陣進行SVD 分解，有：

式中，U 為r 階正交矩陣；∑為r×m 階對角陣，其對角元素由矩陣H 的奇異值作遞減排列得到；V為m 階正交矩陣，Vs、Vn分別與信號子空間和噪聲子空間對應(yīng)。

令Vs作式（4）分解：

則存在可逆陣P，使得[8，11]：

求出P 的特征值即可估計出各信號分量的衰減和頻率[11]，這可由總體最小二乘法（TLS）實現(xiàn)。

令K = [V1，V2]，對K 做SVD 分解，即K =，其中，將V3分塊成4 個p×p的子矩陣，有：

則式（5）的總體最小二乘解為

求得Ptls的特征值λi(i = 1,2,…p)，則式（1）信號中所包含的各正弦分量的衰減因子、頻率計算：

則式（1）中各信號分量的幅值、初相為

至此，信號分量的各參數(shù)均已求出。

2 評價指標與計算步驟

2.1 評價指標

rms 反映了擬合模型輸出數(shù)據(jù)偏離原始采樣數(shù)據(jù)的程度，可作為擬合衡量指標。無噪聲干擾下，其值越小，擬合效果越好，當rms = 0 時，擬合曲線和原始曲線完全重合；有噪聲時，該值則與噪聲的均方差接近。

2.2 TLS-ESPRIT 計算步驟

TLS-ESPRIT 算法的完整實現(xiàn)步驟如下：

（1）由測量、記錄裝置或時域仿真獲得采樣數(shù)據(jù)序列X = [x(0),x(1),x(2),…x(n-1)]。

（2）由式（2）構(gòu)造r×m 階Hankel 矩陣H。

（3）按照式（3）對H 進行SVD 分解，并將右奇異向量V 分解成信號子空間Vs、噪聲子空間Vn。

（4）由式（4）分解Vs，得到矩陣V1、V2。

（5）由式（6），式（7）求得Ptls的特征值λi(i= 1,2,…p)，再按照式（8）求出各分量的衰減因子ai、頻率fi。

（6）根據(jù)式（9），式（10），求出各分量幅值ci、初相φi。

（7）由式（11）評價擬合結(jié)果、做輔助分析。

3 電氣化鐵路諧波

3.1 諧波產(chǎn)生原因

國內(nèi)電氣化鐵路采用工頻交流50 Hz三相供電單相用電，其牽引網(wǎng)供電電流為單相交流的電力牽引電流制，這種電流制在電力機車上將交流電降壓后整流以供應(yīng)直流牽引電動機[2～4]。因此，當三相電力系統(tǒng)向電氣化鐵路牽引負荷供電時，電力機車可看作是波動性很大的大功率單相整流負荷，這種高壓單相非線性負載，將會產(chǎn)生大量諧波，并作為諧波源，注入電網(wǎng)中，造成系統(tǒng)波形畸變，嚴重影響供電質(zhì)量、輸電效率和用電設(shè)備的使用壽命。

3.2 電氣化鐵路諧波特點

（1）電力機車產(chǎn)生的諧波源具有基波能量很大，其他各次諧波能量相對較低（主要是3 次、5次、7 次、11 次諧波）等特點。

（2）交流側(cè)電流波形為鏡對稱，不含偶次諧波。

（3）諧波含量會隨機車型號、數(shù)量、分布和運行工況而有較大的變化。電氣化鐵道諧波比其它非線性負荷引起的諧波更為復(fù)雜。

（4）由于電力機車的功率大，速度、負載狀況變化頻繁，因此牽引電網(wǎng)諧波含量高，同時還伴隨有負序電流。

4 仿真測試

本文根據(jù) 2.2 節(jié)的計算步驟編寫了TLS-ESPRT 算法計算程序。由電氣化鐵路諧波特點，構(gòu)造了諧波信號，并進行以下仿真測試，以研究算法辨識電氣化鐵路諧波的性能。

4.1 模式辨識

若某信號解析表達式為

y = 100exp(-0.2t)cos(2π×50t + π / 6) +2exp(-1.5t)cos(2π×250t + π / 5) + 5exp(-t)cos(2π×550t + π / 7) + 3exp(-4t)cos(2π×370t + π / 8) （12）

該信號含基波、2 個諧波、1 個間諧波模式，取采樣頻率為 1 500 Hz，時間窗為 0.1 s，TLS-ESPRIT 對該信號的辨識結(jié)果和擬合曲線分別如表1 和圖1 所示。

表1 TLS-ESPRIT 算法對測試信號各模式的辨識結(jié)果表

表1 說明，在選取合適的采樣頻率和時間窗參數(shù)下，TLS-ESPRIT 算法能準確辨識出基波、各次諧波、間諧波模式，分量5 由于其幅值接近于0，可忽略該分量。均方根接近于0，擬合曲線和實際曲線幾乎完全重合，說明TLS-ESPRIT 算法辨識諧波模式非常準確。

4.2 頻率分辨率

設(shè)信號解析表達式如式（13）所示：

式（13）中，含基波和2 個頻率相差0.02 Hz的諧波模式，TLS-ESPRIT 對該信號的辨識結(jié)果和擬合曲線如表2、圖2 所示。

圖1 實際曲線及TLS-ESPRIT 辨識曲線圖

圖2 實際曲線及TLS-ESPRIT 辨識曲線圖

表2 TLS-ESPRIT 算法對頻率相近諧波信號辨識結(jié)果表

可見，利用TLS-ESPRIT 算法可分辨出頻率差為0.02 Hz 的諧波分量（分量4 可忽略，解釋同上），具有較高的頻率分辨率，這對諧波測量意義重大。

5 結(jié)論

本文將TLS-ESPRIT 算法應(yīng)用到電氣化鐵路諧波檢測中，詳細闡述了其算法原理、評價指標、計算步驟。用編寫的TLS-ESPRIT 算法程序?qū)π盘枩y試表明：在合適的采樣頻率和時間窗長度下，TLS-ESPRIT 算法能準確識別出各次諧波、間諧波模式，具有較高的頻率分辨率。進而為進一步治理電氣化鐵路諧波奠定了基礎(chǔ)。當然，TLS-ESPRIT算法辨識參數(shù)選擇、抗干擾問題也較為重要，這是本文的后續(xù)研究工作。

[1] 林海雪，周勝軍.電氣化鐵路的諧波標準問題[J].中國電力，1999，32（9）：55-58.

[2] 孫卓，姜新建，朱東起.電氣化鐵路中諧波、無功、負序電流的實時檢測方法[J].電力系統(tǒng)自動化，2003，27（15）：53-57.

[3] 李群湛.電氣化鐵道并聯(lián)綜合補償及其應(yīng)用[M].北京：中國鐵道出版社，1993.

[4] 蘇玉香，劉志剛，李科亮，等.基于HHT 方法的電氣化鐵道諧波檢測與分析[J].鐵道學(xué)報，2009，31（6）：33-38.

[5] 丁屹峰，程浩忠，孫毅斌，等.基于小波變換和Prony算法的間諧波參數(shù)辨識[J].上海交通大學(xué)學(xué)報，2005，39（12）：2083-2087.

[6] D J Trudnowski,J M Johnson,J F Hauer.Making prony analysis more accurate using multiple signals[J].IEEE Transactions on Power Systems,1999,14(1): 226-231.

[7] Roy R，Kailath T.ESPRIT：estimation of signal parameters via rotational invariance techniques[J].IEEE Trans on Acoust Speech and Signal Processing，1989，37(16)：297-301.

[8] 張靜，徐政，牛盧璐.TLS-ESPRIT 在電力系統(tǒng)信號高精度頻譜估計中應(yīng)用[J].電力自動化設(shè)備，2009，29（5）：48-51.

[9] 祝磊.電力系統(tǒng)信號參數(shù)提取的TLS-ESPRIT 算法應(yīng)用研究[D].吉林：東北電力大學(xué)，2009.

[10] 李天云，祝磊，黨國營，等.總體最小二乘—旋轉(zhuǎn)矢量不變技術(shù)在電壓閃變參數(shù)提取中的應(yīng)用[J].電網(wǎng)技術(shù)，2009，33（13）：58-63.

[11] 張靜，徐政，王峰，等.TLS-ESPRIT 算法在低頻振蕩分析中的應(yīng)用[J].電力系統(tǒng)自動化，2007，31（20）.

[12] 馬秉偉，周莉.基于TLS-ESPRIT 算法和支持向量機的間諧波檢測[J].高電壓技術(shù)，2009，35（6）：1468-1471.