基于核仁的供應(yīng)鏈合作收益分配研究

吳銘峰

（1.河海大學(xué)商學(xué)院，南京 210098；2.江蘇信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇無錫 214153）

0 引言

供應(yīng)鏈合作收益分配的研究，從競爭與合作的角度可以分為競爭性的收益分配和合作性的收益分配。競爭性收益分配的方法包括：按各種資源比例分配；使用委托代理機(jī)制進(jìn)行分配；應(yīng)用Stackelberg博弈模型、Nash博弈模型進(jìn)行分配等。競爭性收益分配的方法大都不考慮供應(yīng)鏈成員的集體理性、聯(lián)盟理性和個(gè)體理性，供應(yīng)鏈成員存在脫離供應(yīng)鏈單干，或者部分供應(yīng)鏈成員組成新的供應(yīng)鏈以期獲得更大收益的激勵(lì)，不利于供應(yīng)鏈的長期穩(wěn)定。合作性收益分配的方法借鑒了合作博弈的思想，以聯(lián)盟作為分析的單位，強(qiáng)調(diào)集體理性、公平和效率，將合作博弈的“解”概念作為收益分配的依據(jù)。從現(xiàn)有的文獻(xiàn)來看，Shapley值得到較多應(yīng)用。徐向陽和安景文等[1]在分析多人合作中的費(fèi)用分?jǐn)倖栴}時(shí)、趙曉麗和乞建勛[2]在研究煤炭企業(yè)合作利益分配問題時(shí)均使用了Shapley值作為分析工具。Shapley值是將收益按照參與人的邊際貢獻(xiàn)率進(jìn)行分?jǐn)?，參與人i所應(yīng)當(dāng)獲得的收益等于該參與人對每一個(gè)他所參與的聯(lián)盟的邊際貢獻(xiàn)的平均值。Shapley值的應(yīng)用中存在較多的爭議：（1）Shapley值可能不在于核配置中；（2）從福利經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度看，Shapley值體現(xiàn)的是一種功利主義的“公平”；（3）從分配的時(shí)機(jī)上看，Shapley值法屬于事先分配。這些問題的存在使得Shapley值的應(yīng)用受到很大的限制[3]。而合作博弈中其余“解”的概念均未見應(yīng)用。

本文嘗試將合作博弈另一個(gè)重要的“解”概念——核仁，應(yīng)用到合作收益分配的研究中，以由M個(gè)供應(yīng)商和N個(gè)零售商組成的單層供應(yīng)鏈為研究對象，在最大化供應(yīng)鏈?zhǔn)找娴那闆r下，通過計(jì)算核仁對供應(yīng)鏈合作收益進(jìn)行分配，為供應(yīng)鏈合作收益分配的研究提供新的思路和方法。

1 問題描述

在市場中存在m個(gè)生產(chǎn)商和n個(gè)零售商組成的供應(yīng)鏈聯(lián)盟P，生產(chǎn)商根據(jù)自身的能力及需求來選擇對應(yīng)的零售商為其銷售商品，而零售商通過為生產(chǎn)商提供服務(wù)來獲取收益。為討論方便，本文做如下假設(shè)：（1）生產(chǎn)商的生產(chǎn)的商品只能通過一個(gè)零售來進(jìn)行銷售；（2）零售商所提供的服務(wù)是不可分割的，即一個(gè)零售商只能同時(shí)為一個(gè)生產(chǎn)商銷售商品。令M表示生產(chǎn)商的集合、N表示零售商的集合。對于每一對生產(chǎn)商i∈M和零售商 j∈N的組合() i,j∈M×N，存在一個(gè)正整數(shù)aij表示生產(chǎn)商i和銷售商j進(jìn)行合作時(shí)所產(chǎn)生的收益，收益矩陣為其中生產(chǎn)商獲利為ui，銷售商收益為表示生產(chǎn)商i的合作伙伴是銷售商j。聯(lián)盟P的收益由生產(chǎn)商和零售商合作時(shí)產(chǎn)生的收益總額決定，即v() P=本文的目標(biāo)是在最大化供應(yīng)鏈?zhǔn)找娴那闆r下，通過計(jì)算核仁，將聯(lián)盟的收益在生產(chǎn)商和零售商之間進(jìn)行分配。

2 聯(lián)盟收益最大化模型

在日常生活中經(jīng)常遇到如下問題：有n項(xiàng)任務(wù)，有n個(gè)人可承擔(dān)，由于每人的專長不同，各人完成不同任務(wù)的效率也不同，于是產(chǎn)生應(yīng)指派哪個(gè)人去完成哪項(xiàng)任務(wù)，使完成n項(xiàng)任務(wù)的總效率高（或其他目標(biāo)）的問題。這樣的問題被稱為指派問題。

最大化聯(lián)盟P的收益也可以看作是指派問題，即存在m種商品需要進(jìn)行銷售，有n個(gè)零售商可以負(fù)責(zé)進(jìn)行完成，由于每個(gè)銷售商的專長、能力、效率等的不同，就存在指派哪個(gè)零售商銷售哪種商品可以使得聯(lián)盟收益最大的問題。

指派問題適用于解決m=n的情況，由上文可知參與供應(yīng)鏈聯(lián)盟的生產(chǎn)商和零售商的人數(shù)存在m≠n的可能性，為討論的方便我們引入虛擬參與人，以數(shù)字“0”進(jìn)行標(biāo)記，并允許他們出現(xiàn)在任意的生產(chǎn)商和零售商合作組合中，組合表示空組合表示生產(chǎn)商表示零售商，此時(shí)供應(yīng)鏈聯(lián)盟。包含虛擬參與人的組合收益為0，即a00=ai0=a0j=0，此時(shí)收益矩陣為

最大化收益聯(lián)盟收益可以轉(zhuǎn)換為如下0-1規(guī)劃模型

目標(biāo)函數(shù)z的值為聯(lián)盟P的收益，式（1）表示每個(gè)零售商只為一個(gè)生產(chǎn)商服務(wù)，式（2）表示每個(gè)生產(chǎn)商只選擇一個(gè)零售商銷售商品，決策變量xij表示生產(chǎn)商和零售商的合作情況，當(dāng)xij=1時(shí)，組合( ) i,j進(jìn)行合作，零售商 j完成生產(chǎn)商i的商品銷售任務(wù)。z取得最大值時(shí)聯(lián)盟P的收益最大。使收益聯(lián)盟最大的指派稱為最優(yōu)指派σ。

3 供應(yīng)鏈合作伙伴收益分配的核仁解

3.1 核仁的定義

核仁(nucleolus)是由Schmeidler首先提出的概念，他定義核仁為在所有滿足有效性配置的集合B中，存在唯一配置γ，使得?x∈B,，則γ被稱為博弈的核仁，并證明了每一個(gè)合作博弈都存在非空的核仁，當(dāng)核存在時(shí)，核仁必定包括在核中[4]。

Maschler,Peleg和Shapley針對類似于“m個(gè)生產(chǎn)商和n個(gè)零售商”的雙邊市場問題給出核仁的另一個(gè)定義：令σ為聯(lián)盟的的最優(yōu)指派。構(gòu)建聯(lián)盟上的分割序列，其中Σ0?…?Σn+1，得益向量序列X0?…?Xn+1，則通過如下迭代過程得到核仁[5]：

首先，令Δ0=σ，

當(dāng)r=0,1,2,…,n時(shí)，回歸過程如下：

其中，n是使得Σr≠φ成立時(shí)，r的最大值，集合Xn+1是博弈A( ) M,N 的按字典排序的中心。Maschler,Peleg和Shapley證明了如下結(jié)論：（1）該博弈的按字典排序中心只有一個(gè)點(diǎn)；（2）該博弈的按字典排序中心和博弈的核仁重合[5]。本文今后的討論與計(jì)算中將以Maschler,Peleg和Shapley給出的定義為主。

3.2 核仁解的優(yōu)點(diǎn)

與Shapley值相比，核仁有著顯著的優(yōu)勢：（1）Schmeidler、peleg等先后證明了合作博弈中核仁的存在性，只要合作博弈的核存在，那么核仁必然在核中且唯一[4]。（2）核仁是從平均主義的角度來衡量各個(gè)不同的聯(lián)盟S所能帶來的福利，衡量的標(biāo)準(zhǔn)為聯(lián)盟的剩余e(x ) ,S。令N={ }

1,2,…,n表示參與人集合，v() S表示聯(lián)盟S中參與人相互合作所能得到的收益，對于?x∈B以及S?N，定義，可見當(dāng)收益分配為x時(shí)，e(x ,S)越小，聯(lián)盟S的滿意度越高。剩余可以理解為給聯(lián)盟S帶來的超過“機(jī)會(huì)剩余”的額外好處，它通過最大化最小剩余，即來獲得最終的收益分配，體現(xiàn)了平均主義的公平性。

3.3 核仁的計(jì)算

核仁的計(jì)算往往涉及到求解包含多個(gè)變量和多個(gè)約束方程在內(nèi)的最小化線性規(guī)劃問題，在Kohlberg[6]提出的方法中按照剩余的大小給予不同的權(quán)重，雖然能夠得到解，但是會(huì)導(dǎo)致很龐大的線性規(guī)劃問題。Owen[7]做出了改進(jìn)但面對n個(gè)參與人的問題時(shí)，最小化線性規(guī)劃問題中也包含了2n+1+n個(gè)變量和4n+1個(gè)約束條件的。與Shapley值相比核仁的計(jì)算較為困難。本文通過如下方法求解核仁[8]。

假設(shè)σ是聯(lián)盟的( ) M,N,A 的最優(yōu)指派。令r=0，

圖1 核仁的計(jì)算步驟

（ⅰ）對于H中所有沒有入弧的點(diǎn)p，令?() p=k。在H中將所有這些點(diǎn)以及由這些點(diǎn)出發(fā)的弧全部刪去。令k=k+1。重復(fù)操作（ⅲ），直到H沒有點(diǎn)存在。完成算法（ⅲ）后，令

（5）更新收益向量( ) U,V 。在最優(yōu)指派σ下，生產(chǎn)商i和銷售商 j進(jìn)行合作時(shí)所產(chǎn)生收益aij，其中生產(chǎn)商獲利為ui，銷售商收益為vj=aij-ui，得到收益向量，并根據(jù)式進(jìn)行更新。

（6）更新滿意度 fij。滿意度 fij表示，在收益向量為時(shí)，任意組合的滿意程度，滿意度依下式改變：

（ⅱ）檢驗(yàn)節(jié)點(diǎn)0是否有入弧，如果有就將弧的出點(diǎn)融入到節(jié)點(diǎn)0，保留其他的弧。也就是，如果，從E刪除點(diǎn)p和弧。在上述情況下，如果，那么增加弧刪除?。蝗绻?，增加弧刪除弧

（ⅲ）圖G中是否存在回路，如果存在則將圈中點(diǎn)所有點(diǎn)合成一個(gè)點(diǎn)，并繼承這些點(diǎn)的所有入弧和出弧，也就是如果，在D中增加一點(diǎn)p，將C中所有點(diǎn)和弧全部刪除。

經(jīng)過（?。ⅲáⅲ﹥刹綑z驗(yàn)后得到的圖G為符合要求的圖。

（9）更新分割Σ=ΣΣr+1，Δ=Δ∪Σr+1。

（10）當(dāng)Σ≠φ成立時(shí)，得到的收益( ) U,V ，即為最大化聯(lián)盟收益時(shí)，生產(chǎn)商和零售商的核仁。

4 結(jié)論

本文使用合作博弈的核仁解，對包含m個(gè)生產(chǎn)商和n個(gè)零售商的供應(yīng)鏈聯(lián)盟的合作收益分配問題進(jìn)行了分析。通過實(shí)證分析可以看到，本文使用的方法能夠?qū)崿F(xiàn)預(yù)期目標(biāo)，在最大化聯(lián)盟收益的情況下，求得合作博弈的和核仁解，將收益在聯(lián)盟成員之間進(jìn)行分配，體現(xiàn)了平均主義的公平性，為供應(yīng)鏈合作收益分配問題的研究提供了新的方法。在今后的研究中，將放寬對生產(chǎn)商和銷售商合作伙伴數(shù)目的限制，使問題更貼近實(shí)際。

[1]Schmeidler D.The Nucleolus of a Characteristic Function Game[J].SI?AM J.Appl.Math,1969,（17）.

[2]Maschler M,Peleg B,Shapley LS.Geometric Propertise of the Kernel,Nu?cleolus,and Related Solution Concepts[J].Mathematics of Operations Research,1979,(4).

[3]Kohlberg E.The Nucleolus as a Solution of a Minimization Problem[J]. SIAM J.Appl.Math,1972，(23).

[4]Owen G.A Note on the Nucleolus[J].International Journal of Game The?ory,1974，(3).

[5]Tamas Solymosi.An Algorithm for Finding the Nucleolus of Assignment Games[J].International Journal of Game Theory，1994，(23).

[6]馬世華,王鵬.基于Shapley值的供應(yīng)鏈合作伙伴間收益分配機(jī)制[J].工業(yè)工程與管理,2006，(4).

[7]徐向陽.供應(yīng)鏈管理中風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)與利益分配機(jī)制研究[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào),2004，(5).

[8]趙曉麗,乞建勛.供應(yīng)鏈不同合作模式下合作利益分配機(jī)制研究—以煤電企業(yè)供應(yīng)鏈為例[J].中國管理科學(xué),2007，(8).