圓柱體關(guān)于與對(duì)稱(chēng)中心軸垂直且過(guò)對(duì)稱(chēng)中心轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的簡(jiǎn)單推導(dǎo)方法

羅時(shí)榮 左浩毅

（四川大學(xué)物理系，四川 成都 610064）

1 引言

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物體在繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性大小的度量，質(zhì)量連續(xù)分布的物體關(guān)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示為［1～3］

式中，r 是質(zhì)量元dm 到轉(zhuǎn)軸的距離.利用式（1），選取適當(dāng)?shù)馁|(zhì)量元，可得到一些質(zhì)量對(duì)稱(chēng)分布物體關(guān)于某些轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的解析表達(dá)式.質(zhì)量元的選取是式（1）利用的關(guān)鍵，某些物體關(guān)于一些對(duì)稱(chēng)軸容易選取適當(dāng)?shù)馁|(zhì)量元，但有些物體關(guān)于某些對(duì)稱(chēng)軸質(zhì)量元的選取較為困難，比如質(zhì)量均勻分布的圓柱體關(guān)于與其對(duì)稱(chēng)中心軸垂直且過(guò)稱(chēng)中心的轉(zhuǎn)軸，此時(shí)質(zhì)量元的選取就不是那么容易，在文獻(xiàn)［4］中介紹了4 種不同質(zhì)量元選取方法，基于這4 種方法雖然得到了該物體關(guān)于該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，但推導(dǎo)過(guò)程較為復(fù)雜，要用到兩重積分知識(shí)，而對(duì)于學(xué)習(xí)力學(xué)的大一學(xué)生積分知識(shí)才剛接觸，多重積分還很生疏，他們對(duì)這4 種方法的理解有一定困難.本文巧妙地將質(zhì)量均勻分布圓盤(pán)選為質(zhì)量元，利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的薄板垂直軸定理和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平行軸定理，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的推導(dǎo)得到了質(zhì)量均勻分布的圓柱體關(guān)于與其對(duì)稱(chēng)中心軸垂直且過(guò)對(duì)稱(chēng)中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

2 理論推導(dǎo)

2.1 質(zhì)量均勻分布的薄圓盤(pán)關(guān)于一直徑轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

為了求出質(zhì)量均勻分布的實(shí)心圓柱體關(guān)于過(guò)其對(duì)稱(chēng)中心且與對(duì)稱(chēng)中心軸垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，我們先求出質(zhì)量均勻分布的薄圓盤(pán)關(guān)于其直徑轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

圖1 薄圓盤(pán)極其轉(zhuǎn)軸示意圖

由對(duì)稱(chēng)性分析知薄圓盤(pán)關(guān)于任意直徑轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都相等，據(jù)此可知Jx＝Jy.將此等式和Jz表達(dá)式代入式（2）得

式（3）表示的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就是薄圓盤(pán)關(guān)于任意直徑轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

2.2 質(zhì)量均勻分布的實(shí)心圓柱體關(guān)于過(guò)其對(duì)稱(chēng)中心且與對(duì)稱(chēng)中心軸垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

假定質(zhì)量均勻分布的實(shí)心圓柱質(zhì)量為m，半徑為R，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，其對(duì)稱(chēng)中心軸為z 軸，x 軸和y軸相互垂直，且過(guò)圓柱體對(duì)稱(chēng)中心，并與z 軸垂直（如圖2所示）.關(guān)于圖2中x 軸或y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就是圓柱體關(guān)于過(guò)其對(duì)稱(chēng)中心且與對(duì)稱(chēng)中心軸垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，由對(duì)稱(chēng)性分析知，圓柱體關(guān)于過(guò)其對(duì)稱(chēng)中心的任意直徑軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都相等，所以下面只需求出關(guān)于x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.為了求出關(guān)于x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，我們先考查位于z處，厚度為dz的薄圓盤(pán)質(zhì)量元（如圖2 所示）關(guān)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.如用ρ表示圓柱體的質(zhì)量體密度，則質(zhì)量元dm 的質(zhì)量表示為

圖2 圓柱體極其轉(zhuǎn)軸示意圖

從質(zhì)量元與z 軸的交點(diǎn)O1出發(fā)作一平行于x 軸的坐標(biāo) 軸O1x1軸（如 圖2 所 示），O1x1軸 就 是 薄圓盤(pán)質(zhì)量元的一直徑軸，利用式（3），可寫(xiě)出該質(zhì)量元對(duì)O1x1軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，表示為

利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理可將質(zhì)量元關(guān)于x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示為［1～3］

將式（4）、式（5）代入式（6）并對(duì)等式兩邊分別積分得圓柱體關(guān)于x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，表示為

考慮到圓柱體的質(zhì)量可表示為m＝ρπR2L，式（7）可化簡(jiǎn)為

式（8）就是質(zhì)量均勻分布的實(shí)心圓柱體關(guān)于過(guò)其對(duì)稱(chēng)中心且與對(duì)稱(chēng)中心軸垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一般表達(dá)式.

3 結(jié)論

本文將薄圓盤(pán)選為質(zhì)量元，從薄圓盤(pán)通過(guò)盤(pán)心且與盤(pán)面垂直轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表達(dá)式出發(fā)，利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄板垂直軸定理和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理，推導(dǎo)得到了實(shí)心圓柱體關(guān)于過(guò)其對(duì)稱(chēng)中心且與對(duì)稱(chēng)中心軸垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式，與文獻(xiàn)已有的推導(dǎo)過(guò)程相比，該文的推導(dǎo)方法簡(jiǎn)單，便于學(xué)生理解和掌握.

［1］張三慧.大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué)（上冊(cè)）［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2003.146～149

［2］馬文蔚.物理學(xué)（上冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2006.110～111

［3］王磊.大學(xué)物理學(xué)（上冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2009.93～98

［4］史博，張輝，麻曉敏.圓柱體對(duì)垂直其中軸并過(guò)其中心的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的幾種計(jì)算方法［J］.物理與工程，2010，20（5）：67～68