BBMB方程的Crank-Nicolson差分格式的一種迭代算法

馬維元

(西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅蘭州，730030)

Benjamin-Bona-Mahony-Burgers(BBMB)方程主要是為了描述小振幅的長(zhǎng)波在非線性耗散媒介中的傳播而建立的數(shù)學(xué)模型，在物理中有著重要的意義，對(duì)其進(jìn)行了大量的研究［1－8］，其初邊值問題具體如下:

其中 α，β，γ，T＞0。

K.Omrani等［8］提出了BBMB方程的一種Crank-Nicolson差分格式，但是其求解是通過經(jīng)典的解非線性方程組的Newton迭代法進(jìn)行的。眾所周知，解非線性方程組的Newton迭代法其求解具有一般性，但是其計(jì)算量大，精度也不一定總是很高，因此筆者提出了求解Crank-Nicolson差分格式的一種迭代算法，然后證明了該算法是二階收斂的，最后通過數(shù)值例子說明了筆者所提出的算法是有效的。

1 解Crank-Nicolson差分格式的迭代算法

首先回顧一下K.Omrani在文獻(xiàn)［8］提出的Crank-Nicolson差分格式。

通常設(shè)J，N為任意正整數(shù)，記h=(R－L)/J，τ=T/N分別為空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)。定義空間:

對(duì)于v，w∈W，為了方便起見，引入以下記號(hào):

另外，定義φ:W×W→W的雙線性函數(shù)，具體為(φ(v，w))i=

定義C為廣義常數(shù)與步長(zhǎng)h和τ無關(guān)，且常數(shù)C可在不同的情況下取到不同的值。對(duì)于BBMB方程提出的Crank-Nicolson格式如下:

該差分格式的截?cái)嗾`差為O(h2+τ2)。對(duì)于(4)式，可以改寫為:

筆者在文獻(xiàn)［9］的基礎(chǔ)上，提出如下的迭代算法:

其中

2 迭代算法的收斂性

下面證明所提出的迭代算法收斂到差分格式。

定理1 假設(shè)方程(1)-(3)的解u(x，t)是充分光滑的，當(dāng)k和τ充分小時(shí)，迭代算法(8)以‖·‖∞范數(shù)收斂到Crank-Nicolson差分格式(4)-(6)。

當(dāng)n=0時(shí)，有

當(dāng)n≥1時(shí)，有

從而

當(dāng)k和τ充分小時(shí)，可得

［8］可得

利用(11)式，可得如下的估計(jì)式成立

將(12)式帶入(10)式，可得

從而

即

可得

因此，迭代算法(8)以‖·‖1，h范數(shù)收斂到Crank-Nicolson差分格式(4)-(6)，再利用離散 Soblev不等式［10］，定理1 得證。

3 數(shù)值試驗(yàn)

在此考慮以下的初邊值問題［1］:

邊界條件為

初始條件為

其中α=1，β=12，γ=1。上述問題在(－∞，+∞)上的解為

為了數(shù)值試驗(yàn)，將其截?cái)嗟絽^(qū)間［－50，50］。

取T=10，分別利用筆者所提出的迭代算法(8)和K.Omrani等在文獻(xiàn)［8］所提到的利用經(jīng)典的解非線性方程組的牛頓迭代法求解Crank-Nicolson差分格式。當(dāng)‖∞＜10－10時(shí)，讓迭代終止。表1給出了利用牛頓迭代法解BBMB方程的Crank-Nicolson差分格式的誤差的收斂率，表2給出了利用迭代算法(8)解BBMB方程的Crank-Nicolson差分格式的誤差的收斂率。

表1 牛頓迭代法求解BBMB方程的C-N差分格式的誤差的收斂率

表2 迭代算法(8)求解BBMB方程的C-N差分格式的誤差的收斂率

通過對(duì)比可以看出，在同樣的時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)下，筆者所提出的算法誤差更小，并且牛頓迭代法并不能驗(yàn)證K.Omrani等在文獻(xiàn)［8］所證明的二階收斂率，而使用筆者所提出的迭代算法則可以很好的驗(yàn)證BBMB方程的Crank-Nicolson差分格式的二階收斂率。表3中給出了若每步使用相同的迭代次數(shù)，兩種算法的誤差對(duì)比，可以看出牛頓迭代法在計(jì)算的過程中，損失了很多精度。表4中給出了兩種算法的計(jì)算時(shí)間對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)迭代算法(8)在計(jì)算時(shí)間上遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓迭代法。因此，在求解某些非線性方程的Crank-Nicolson差分格式時(shí)，使用筆者所提出的迭代算法優(yōu)于經(jīng)典的牛頓迭代法。

表3 當(dāng)h=τ=0.05時(shí)，兩種算法的迭代次數(shù)與誤差對(duì)比

表4 當(dāng)h=τ=0.05時(shí)，兩種算法的CPU時(shí)間比較 s

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