基于分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的圖像加密算法及安全性分析

朱 偉，段文強(qiáng)，楊 陽，沈建鑫

(重慶郵電大學(xué)系統(tǒng)理論及其應(yīng)用研究中心，重慶 400065)

0 引言

自20世紀(jì)90年代以來，混沌現(xiàn)象的研究與應(yīng)用一直是非線性學(xué)科研究的熱點(diǎn)［1－2］。混沌系統(tǒng)以其對系統(tǒng)參數(shù)、初值的高度敏感性，對產(chǎn)生序列的偽隨機(jī)性等特點(diǎn)，越來越突出地表現(xiàn)在保密通信領(lǐng)域中。

近年來，高維的超混沌系統(tǒng)在圖像加密領(lǐng)域得到了廣泛的關(guān)注［3－7］。Gao 等［4］提出的基于超混沌的圖像加密算法，該算法利用Logistic混沌映射［3］與超混沌系統(tǒng)置亂并置換像素，該方法具有更好的偽隨機(jī)及算法簡單的特性。但隨后Belghith等［5］指出了此方法對選擇明文攻擊的軟弱性以及改進(jìn)建議。此建議使得人們對混沌系統(tǒng)的加密方法有了新的認(rèn)識，即在提高系統(tǒng)動力學(xué)行為復(fù)雜性的同時也要保證加密系統(tǒng)與圖像或特定隨機(jī)物質(zhì)相關(guān)聯(lián)。最近，一些學(xué)者根據(jù)上述思想提出了對Gao模型的改進(jìn)算法，如 Wang等［6］提出的高維混沌圖像加密(hyperchaotic image encryption，HIE)改進(jìn)算法。然而，我們通過對Wang算法的深入分析發(fā)現(xiàn):Wang的方法雖然在置亂過程中關(guān)聯(lián)了明文字節(jié)，但通過理論分析表明其算法仍與Gao的方法具有同樣的缺陷，即依然無法抵抗選擇性明文攻擊，導(dǎo)致密文能夠很容易地被破解。

針對HIE算法［6］的漏洞，本文提出一種基于分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的圖像加密改進(jìn)算法?；煦缦到y(tǒng)的Lyapunoy指數(shù)是表明分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)能產(chǎn)生較整數(shù)超混沌系統(tǒng)更為復(fù)雜的動力學(xué)行為，具有更強(qiáng)的偽隨機(jī)性和不可預(yù)測性，可以避免非線性預(yù)測等攻擊方法。同時本文算法利用各像素之間的關(guān)系并參入初值，代入混沌系統(tǒng)進(jìn)行迭代，做到明文與系統(tǒng)相關(guān)聯(lián)。較以往單純改進(jìn)關(guān)聯(lián)性算法［6－7］具有更復(fù)雜的密碼學(xué)特性。由于混沌系統(tǒng)對初值的敏感性，該方法保證對不同明文具有不同的加密序列。理論和實(shí)驗(yàn)表明，該改進(jìn)算法可以有效抵御選擇明文攻擊和選擇密文攻擊，且統(tǒng)計及差分特性理想。

1 HIE算法分析

1.1 算法簡述

根據(jù) Gao 等［4］提出的算法模型，Wang 等［6］進(jìn)行了2點(diǎn)改進(jìn)。

1 )為了降低低維混沌系統(tǒng)易被破解的風(fēng)險，將其原有模型中用于置亂行列的Logistic混沌系統(tǒng)換成高維的超混沌系統(tǒng);

2 )為了抵御選擇明文攻擊及選擇密文攻擊，改進(jìn)其原有模型中的置換像素值算法。

上述HIE算法的的具體步驟見文獻(xiàn)［6］。然而理論分析表明改進(jìn)后的HIE算法仍然不能抵御選擇明文攻擊，具體分析如下。

1.2 選擇明文攻擊

對應(yīng)HIE算法的已知明文攻擊大致分為以下4個步驟。

步驟1 取特殊明文P0，輸入到上述超混沌加密系統(tǒng)中得到密文C0，為了便于分析，我們設(shè)定以下數(shù)據(jù)都為3×3矩陣。

步驟3 對于任意密文Cx，經(jīng)過步驟1我們已經(jīng)破解了超混沌加密過程中的像素置換過程，恢復(fù)到僅經(jīng)行列置換的密文。下面我們?nèi)√厥饩仃噥砥平庑辛兄脫Q，得到最終明文。

分析列置亂，取特殊明文l

根據(jù)此結(jié)果可對密文Cx通過矩陣列變換的反變換得到密文。

步驟4 分析行置亂，取特殊明文h

將特殊明文h輸入加密系統(tǒng)中。同理，利用步驟1得到相應(yīng)密文hh，假設(shè)得到的hh為

以上分析可知，在對于已知加密系統(tǒng)，有選擇性的3組明文密文的攻擊分析下，可以在不知道密鑰的情況下可對任何密文進(jìn)行破解。可見Wang等提出的改進(jìn)算法依然存在缺陷，不能有效地避免選擇明文攻擊。

2 本文算法

根據(jù)上述分析，本文對原算法進(jìn)行以下2點(diǎn)改進(jìn)。

1 )為了使系統(tǒng)具有更復(fù)雜動力學(xué)行為，我們將原算法中的整數(shù)階超混沌系統(tǒng)替換分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)［8］

Lyapunov指數(shù)是衡量混沌系統(tǒng)動力學(xué)特性的一個重要定量指標(biāo)，它表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。通過計算，該系統(tǒng)的4個 Lyapunov指數(shù)分別為 λL1=1.598 6;λL2=0.049 972;λL3= 0;λL4=－21.541 4。其中，最大Lyapunov指數(shù)大于零，即該系統(tǒng)的狀態(tài)空間中存在一個超混沌吸引子。根據(jù)混沌理論，Lyapunov指數(shù)越大，說明混沌特性越明顯，混沌程度越高，本文運(yùn)用的分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的2個正Lyapunov指數(shù)分別為1.598 6，0.049 972，如表1 所示。

表1 Lyapunoy指數(shù)對比Tab.1 Contrast of Lyapunoy exponent

由表1可知本文運(yùn)用的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)顯然大于Wang等提出算法中運(yùn)用的整階混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)。故從理論角度而言本文采用的分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)要比以往文獻(xiàn)中常采用的整數(shù)階超級混沌系統(tǒng)具有更復(fù)雜的動力學(xué)特性。文獻(xiàn)［8］直觀地顯示了超混沌系統(tǒng)(13)的復(fù)雜動力學(xué)行為。

2 )為了更進(jìn)一步做到加密過程與特定明文相關(guān)聯(lián)，保證每個圖像像素對加密序列的擴(kuò)散影響。我們改進(jìn)原算法的加密步驟，計算相鄰像素間的關(guān)系帶入混沌系統(tǒng)中進(jìn)行迭代，憑借混沌系統(tǒng)對初值的高度敏感性產(chǎn)生差異較大的且與特定明文相關(guān)的偽隨機(jī)序列。具體算法步驟如下。

步驟1 為了提高圖像加密系統(tǒng)的效率，我們將HIE算法法中的Chen氏超混沌系統(tǒng)復(fù)原為Logistic混沌映射，即像素置亂過程保持不變，根據(jù)密鑰N0將Logistic混沌映射迭代N0次

直至產(chǎn)生 N 個值 li，i=1，2，3，…，N ，N 為圖像像素高度。利用序列l(wèi)i對明文矩陣進(jìn)行列置換。

步驟2 改進(jìn)原方法的置亂算法。首先根據(jù)密鑰N0將分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)迭代N0次，為了使加密序列與明文相關(guān)聯(lián)，我們將明文像素值關(guān)聯(lián)初值帶入到混沌系統(tǒng)中進(jìn)行迭代。

對初值進(jìn)行像素關(guān)聯(lián)后帶入混沌系統(tǒng)(13)進(jìn)行迭代，得到新的加密序列。利用此隨機(jī)序列計算

表2 超混沌序列組合公式Tab.2 Resultant formula of hyperchaotic sequence

步驟3 反復(fù)迭代步驟2直至遍歷所有明文像素點(diǎn)，至此分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的明文加密結(jié)束。

3 實(shí)驗(yàn)和安全性分析

一個良好的圖像加密算法應(yīng)當(dāng)具有較高的安全性，能夠有效地抵抗各種形式的攻擊，如窮舉攻擊、已知明文攻擊、選擇明文攻擊等。本文從2個方面分析算法的安全性:①通過模擬實(shí)驗(yàn)，對密鑰進(jìn)行敏感性分析、空間分析，以及對明文進(jìn)行敏感性分析;②對像素進(jìn)行相關(guān)性和直方圖分析來判斷算法的擴(kuò)散性與擾亂性。

實(shí)驗(yàn)采用Visual Studio 2008 Opencv平臺與Matlab7.1平臺，取像素深度為255的灰度圖像作為明文(圖1a)，密鑰選擇N0=2 000，λ =3.857 434 5，x=0.1，x0=1，y0=2，z0=3，w0=4。

3.1 密鑰的敏感性分析

如圖1所示，圖1a為原始的圖像，圖1b行列置換過后的圖像。圖1c為最終加密后的密文，圖1d為解密后的圖像。為了測試新算法的密鑰敏感性，將其中一個密鑰進(jìn)行微小的改動(10－16)，例如對x0進(jìn)行改動，使原始密鑰x0該為x0=1.0000 000 000 000 1，其他密鑰不變，密文的解密結(jié)果如圖1e所示。從本實(shí)驗(yàn)可以看出，當(dāng)x0進(jìn)行了微小的改動后，解密出的圖像與原始明文圖像完全不同。當(dāng)其他密鑰進(jìn)行相應(yīng)微小改變時，也得到相同的結(jié)論。可以看出本文方法能夠抵抗各種敏感性攻擊。

圖1 圖像加密過程及密鑰敏感性分析Fig.1 Process of image encryption and sensitivity analysis

3.2 選擇明文攻擊安全性分析

對于本文算法，取1.1節(jié)中特殊明文P0進(jìn)行選擇明文攻擊，在知道特殊明文P0各個像素值全為零的情況下，可以利用公式(17)

得到最終置換矩陣B，但由于本文改進(jìn)算法在求取矩陣B時是利用公式(9)將每個明文像素值帶入混沌系統(tǒng)進(jìn)行迭代而產(chǎn)生的，故對于不同的明文，有不同的混沌序列。從而可以避免選擇明文攻擊和選擇密文攻擊。

3.3 像素相關(guān)性分析

在現(xiàn)實(shí)生活中，一般事物的細(xì)節(jié)常為連續(xù)的，在數(shù)字圖像中表現(xiàn)為各像素點(diǎn)間的相關(guān)性較強(qiáng)。而圖像加密要求克服圖像細(xì)節(jié)的關(guān)聯(lián)性，避免圖像被復(fù)原。本文利用相關(guān)性分析來考察明文經(jīng)過系統(tǒng)加密后的擴(kuò)散程度，這里計算3種不同方向的相關(guān)性，即水平方向相關(guān)性、垂直方向相關(guān)性以及對角相鄰相關(guān)性。設(shè)x，y分別表示相鄰2個像素灰度值，相鄰2個像素的相關(guān)系數(shù)rxy可用以(18)式進(jìn)行計算

根據(jù)(18)式，隨機(jī)選取圖像1 000個像素，得到3個相關(guān)性系數(shù)，分別表示圖像水平、垂直、對角3個方向如表3所示。結(jié)果表明，加密前明文中高度相關(guān)的相鄰像素，在通過本文算法加密后密文中幾乎沒有相關(guān)性。由此表明明文圖像的統(tǒng)計特征已被擴(kuò)散到密文中，本文加密算法具有良好的擴(kuò)散性。

表3 像素間相關(guān)性Tab.3 Correlation of pixels

Matlab仿真出的原始圖像與加密圖像在垂直方向上相鄰像素點(diǎn)間的相關(guān)性結(jié)果分別如圖2a－b所示。像素點(diǎn)坐標(biāo)間隔取值為(1:10:255)，圖2可直觀顯現(xiàn)出原始圖像中各個像素點(diǎn)呈現(xiàn)的明顯線性關(guān)系，而通過本文算法加密后的圖像其各個像素點(diǎn)間相關(guān)性呈現(xiàn)為無明顯規(guī)律的隨機(jī)分布。

3.4 直方圖分析

圖3a－b分別為明文圖像和密文圖像的像素灰度直方圖。由圖3可知，與明文圖像的直方圖分布不均相比，密文圖像灰度直方圖分布均勻。加密算法將原圖像的像素不均勻分布轉(zhuǎn)換為均勻分布，密文像素值在灰度值區(qū)間內(nèi)取值概率大致相等，統(tǒng)計特性良好，擾亂效果理想，可以有效抵抗選擇明文攻擊或者選擇明文攻擊。

4 結(jié)束語

本文首先指出HIE［6］方法的優(yōu)缺點(diǎn)，之后分別對系統(tǒng)復(fù)雜性和系統(tǒng)與明文與系統(tǒng)的相關(guān)性2個方面進(jìn)行改進(jìn)。最后對改進(jìn)算法進(jìn)行了理論分析和實(shí)驗(yàn)仿真。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)算法在保持并了原加密算法計算方法簡單等優(yōu)點(diǎn)的同時，解決了原算法的缺陷，并具有較好的統(tǒng)計特性、差分特性以及密鑰敏感性等密碼學(xué)特性。

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(編輯:劉 勇)