效應(yīng)代數(shù)上的模糊濾子

王 敏, 曹懷信, 張坤利

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710062)

0 引言

效應(yīng)代數(shù)是由Foulis和Bennett于1994年引入的一種代數(shù)結(jié)構(gòu). 隨著量子邏輯研究的發(fā)展,關(guān)于其代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究引起了人們的廣泛關(guān)注. 近年來(lái), 許多學(xué)者提出了一些新的代數(shù)結(jié)構(gòu)作為研究量子邏輯的模型. 效應(yīng)代數(shù)包含了量子邏輯中經(jīng)常研究的情形(正交模格和偏序集).

1994年, Foulis在文獻(xiàn)[1]中研究了局部濾子并給出了一些重要性質(zhì). 后來(lái), Wu Jing在文獻(xiàn)[2]中提出了理想和濾子的概念. 模糊濾子之所以重要是因?yàn)樗私?jīng)典濾子. 徐揚(yáng)和秦克云在文獻(xiàn)[3]中研究了模糊格蘊(yùn)涵代數(shù)與模糊濾子. 近年來(lái), 相關(guān)方面的研究越來(lái)越多. 李海洋和李生剛于2008年在文獻(xiàn)[4]中研究了偽效應(yīng)代數(shù)中的同余和理想, 并引入了Riesz強(qiáng)同余的概念. 劉東利和王國(guó)俊于2009年在文獻(xiàn)[5]中引入了效應(yīng)代數(shù)中模糊濾子和模糊理想的概念并研究了它們的一些性質(zhì), 引入并研究了強(qiáng)模糊濾子. 在全序效應(yīng)代數(shù)中提出了一個(gè)模糊同余關(guān)系并證明了這樣生成的同余類是一個(gè)全序格效應(yīng)代數(shù). 在此基礎(chǔ)上, 本文進(jìn)一步研究模糊濾子的性質(zhì), 引入了正規(guī)模糊濾子的定義, 并給出了模糊濾子可以誘導(dǎo)出效應(yīng)代數(shù)的同余關(guān)系.

在本文中E是一個(gè)效應(yīng)代數(shù).

1 效應(yīng)代數(shù)的模糊濾子

定義1[5]F是E的非空子集, 如果F滿足下列條件, 則稱F是E的濾子.

(1)若a∈F, 則b∈E,a≤b,則b∈F；

(2)若a∈F,b∈E,b≤a,則a′⊕b∈F；

映射f：E→[0,1]稱為E的模糊子集, 記f′=1-f, 對(duì)任意x∈E, 定義(1-f)(x)=1-f(x).記FI(E)為E中所有濾子之集，則易知FI(E)是一完備格.

定義2[5]E的模糊子集f如果滿足下面條件, 則稱f為E的模糊濾子

(F1)任意x,y∈E, 若x≥y, 則f(x)≥f(y)；

(F2)任意x,y∈E, 若x≥y, 則f(y)≥f(x′⊕y)∧f(x).

事實(shí)上, 由(F1)成立容易驗(yàn)證(F2)等價(jià)于(F2′):

(F2′)任意x,y∈E, 若x≥y, 則f(y)≥f(x′⊕y)∧f(x).

進(jìn)而, 我們可以從(F2′)得到(F1). 所以若f只滿足(F2′), 則f仍是E的模糊濾子.

記F(E)為E中所有模糊濾子之集, 易驗(yàn)證, 若干個(gè)模糊濾子的交集仍是模糊濾子. 若f是E的一個(gè)濾子, 令〈f〉=∩{g|g是E的一個(gè)模糊濾子且f?g}, 則〈f〉是包含f的最小模糊濾子, 稱為由f生成的模糊濾子.

易知F(E)是一個(gè)完備格, 其中對(duì)于任意f,g∈F(E),f∧g=f∩g,f∨g=〈f∪g〉.

定理1 設(shè)f是E的一個(gè)濾子, 則對(duì)任意x∈E,〈f〉(x)=sup{t|t∈[0,1]且x∈〈ft〉}

證明 設(shè)g是E的一個(gè)濾子,對(duì)任意x∈E,

g(x)=sup{t|t∈[0,1]且x∈〈ft〉}

(1)以下證明g是E的一個(gè)模糊濾子. 對(duì)于任意x∈E,

g(1) =sup{t|t∈[0,1]且1∈〈ft〉}

≥sup{t|t∈[0,1]且x∈〈ft〉}

=g(x)

若存在x,y∈E且x≥y,使

g(y)

=min{g(x),g(x′⊕y)},

則

g(y)

g(y)

從而存在t0,t1∈[0,1], 使x∈〈ft0〉，x′⊕y∈〈ft1〉且g(y)

(2)以下證明f?g. 對(duì)于任意x∈E, 設(shè)f(x)=t2, 則x∈ft2?〈ft2〉. 從而有g(shù)(x)≥t2=f(x).

(3)若f?h且h是E的一個(gè)模糊濾子, 則g?h. 事實(shí)上, 對(duì)于任意x∈E,t∈[0,1],若x∈〈ft〉, 則存在ft中有限個(gè)元素a1,a2,…,an, 使得a1?…?an≤x, 對(duì)于任意i,1≤i≤n,因f(ai)≥t, 故h(ai)≥t,即ai∈ht, 又ht為E的濾子, 故a1?…?an∈ht,即h(x)≥h(a1?…?an)≥t. 從而有h(x)≥sup{t|t∈[0,1]且x∈〈ft〉}=g(x).

綜上所述,g是包含f的最小模糊濾子, 即

〈f〉(x)=g(x)=sup{t|t∈[0,1]且x∈〈ft〉},

定義3 設(shè)f是E的一個(gè)模糊濾子, 若f(1)=1, 則稱E的模糊濾子f是正規(guī)的.

NF(E)表示E的所有正規(guī)模糊濾子之集.

推論1NF(E)是F(E)的一個(gè)子格.

定理2 令

φ：NF(E)→FI(E),

fφ(f)={x∈E|f(x)=1},

則φ是態(tài)射且為一格同態(tài).

證明 易知φ(1)=1. 對(duì)任意x,y∈E,有φ(x⊕y)=(f⊕g)(x)=f(x)+g(x)=2,φ(f)⊕φ(g)=f(x)+g(x)=2,即φ(f⊕g)=φ(f)⊕φ(g)，所以φ是態(tài)射.

對(duì)于任意f,g∈NF(E),

(1)φ(f∧g)=φ(f∩g)

={x∈E|f(x)∧g(x)=1}

={x∈E|f(x)=1}∩{x∈E:g(x)=1}

φ(f)∧φ(g).

(2)φ(f∨g) =φ(〈f∪g〉)

={x∈E|〈f∪g〉(x)=1},

φ(f)∨φ(g) =〈φ(f)∪φ(g)〉

=〈{x∈E|f(x)∨g(x)=1}〉.

若x∈φ(f)∨φ(g),則存在E中有限個(gè)元素a1,a2,…,an使f(ai)∨g(ai)=1,1≤i≤n.ai?…?an≤x. 因〈f∪g〉(ai)=1,1≤i≤n且φ(f∨g)為一濾子, 故有ai?…?an∈φ(f∨g),從而x∈φ(f∨g).若x∈φ(f∨g)則

1=〈f∪g〉(x)=sup{t∈E|x∈〈(f∪g)t〉},

故對(duì)任意t∈[0,1],x∈〈(f∪g)t〉,從而存在(f∪g)t中有限個(gè)元素b1,…,bn使b1?…?bn≤x.

由t的任意性知x∈φ(f)∨φ(g),

故φ(f∨g)=φ(f)∨φ(g).

綜上所述，φ為一格同態(tài).

2 模糊濾子誘導(dǎo)的同余關(guān)系

引理1 設(shè)f是E的一個(gè)濾子,E上的二元關(guān)系～定義為:

?x,y∈E,x～y當(dāng)且僅當(dāng)x′⊕y∈f且y′⊕x∈f，則～是E上的同余關(guān)系.

定義4 設(shè)E是一個(gè)效應(yīng)代數(shù),f是E的一個(gè)模糊濾子,α∈[0,1], 定義E上的一個(gè)二元運(yùn)算fα為

fα={(x,y)|(x,y)∈E×E,f(x′⊕y)>α,

f(y′⊕x)>α}

定理3 設(shè)f是E的一個(gè)模糊濾子, 對(duì)于α∈[0,1],fα≠?當(dāng)且僅當(dāng)f(1)>α.

證明 必要性 若fα≠?,則存在(x,y)∈E×E, 使f(x′⊕y)>α, 由模糊濾子定義(F1)知，當(dāng)x≥y時(shí)有

f(1)=f(x′⊕x)≥f(x′⊕y)>α.

充分性 若f(1)>α,則

?x∈E,f(x′⊕x)=f(1)>α,

因此?x∈E,(x,x)∈fα,故fα≠?.

推論2 設(shè)f是E的一個(gè)模糊濾子,α∈[0,1],如果fα≠?,那么fα是E上的一個(gè)自反關(guān)系.

證明 由定理3可得

?x∈E,f(x′⊕x)=f(1)>α,所以(x,x)∈fα. 因此fα是E上的一個(gè)自反關(guān)系.

定理4 設(shè)f是E的一個(gè)模糊濾子,α∈[0,1], 若fα≠?, 則?(x,y)∈fα,?x,y,z∈E,x,y,z兩兩可加, 都有

f((x′⊕z)′⊕(y′⊕z))>α,

f((y′⊕z)′⊕(x′⊕z))>α,

f((z′⊕x)′⊕(z′⊕y))>α,

f((z′⊕y)′⊕(z′⊕x))>α.

證明 因?yàn)?/p>

f((y′⊕x)′⊕(x′⊕z)′⊕(y′⊕z))

=f(y⊕y′)=f(1)>α,

又由(x,y)∈fα知,f(y′⊕x)>α. 所以由這兩個(gè)不等式及f是E的一個(gè)模糊濾子可得

f((x′⊕z)′⊕(y′⊕z))

≥f((y′⊕x)′⊕(x′⊕z)′⊕(y′⊕z))∧f(y′⊕x)

=min{f((y′⊕x)′⊕(x′⊕z)′⊕(y′⊕z)),f(y′⊕x)}>α

在上述證明過(guò)程中除(x,y)∈fα外交換x和y的位置即可證f((y′⊕z)′⊕(x′⊕z))>α.

類似地可以證明后兩個(gè)不等式.

推論3 設(shè)f是E的一個(gè)模糊濾子,α∈[0,1], 若fα≠?, 則?(x,y)∈fα,?z∈E都有

(x′⊕z,y′⊕z)∈fα, (z′⊕x,z′⊕y)∈fα

證明 因?yàn)?(x,y)∈fα,?z∈E，有

f((x′⊕z)′⊕(y′⊕z))=f(x⊕y′)>α

f((z′⊕x)′⊕(z′⊕y))=f(x′⊕y)>α

所以

(x′⊕z,y′⊕z)∈fα, (z′⊕x,z′⊕y)∈fα.

定理5 設(shè)f是E的一個(gè)模糊濾子,?α∈[0,1],若fα≠?,則fα是E上的等價(jià)關(guān)系.

證明 (1)自反性:由推論2可知.

(2)對(duì)稱性:顯然.

(3)傳遞性:設(shè)(x,y),(y,z)∈fα.下面證明(x,z)∈fα.

由(x,z)∈fα及定理4可得,

f((y′⊕z)′⊕(x′⊕z))>α.

又由于(y,z)∈fα,所以f(y′⊕z)>α.

因此

f(x′⊕z)

≥min{f((y′⊕z)′⊕(x′⊕z)),f(x′⊕y)}>α.

類似可證,f(z′⊕x)>α.因此(x,z)∈fα.

綜上所述,fα是E上的等價(jià)關(guān)系.

定理6 設(shè)f是E的一個(gè)模糊濾子,?α∈[0,1], 若fα≠?, 則fα是E上的同余關(guān)系.

證明 ?(x1,y1),(x2,y2)∈fα,則由推論3可得

注1 設(shè)f是E的一個(gè)模糊濾子,α=f(1), 則由文獻(xiàn)[5]中的定理2.1可知fα是E上的一個(gè)濾子. 此時(shí)將E上的二元關(guān)系fα定義為

fα={(x,y)|(x,y)∈E×E,x′⊕y∈fα,

y′⊕x∈fα}

={(x,y)|(x,y)∈E×E,f(x′⊕y)=α,

f=(y′⊕x)=α}

引理1說(shuō)明, 當(dāng)α=f(1)時(shí), 上面定義的fα仍是E上的同余關(guān)系.

注2 設(shè)f是E的一個(gè)模糊濾子, 令A(yù)f={fα|α∈[0,f(1)]}, 由fα≠?可知Af不是空集. 由定理6和注1知Af中每一個(gè)成員都是E上的一個(gè)同余關(guān)系.(Af,?) 構(gòu)成一個(gè)偏序集, 且是一個(gè)鏈, 其中?是二元關(guān)系的包含, 此偏序集誘導(dǎo)的格記為(Af,∧,∨).

推論4f0是(Af,?) 中的最大元,ff(1)是(Af,?)中的最小元.

定理7 設(shè)Γ?[0,f(1)] , 則

證明 ?α∈Γ,α≥inf(Γ),所以?α∈Γ,fα?finf(Γ),因此finf(Γ)是{fα|α∈Γ} 的上界.

要證明finf(Γ)是{fα|α∈Γ} 的最小上界, 只需證明對(duì)?β∈[0,f(1)]，若fβ?finf(Γ), 則fβ不是{fα|α∈Γ} 的上界.

[1] Foulis D, Bennett M K. Effect algebras and unsharp quantum logics[J]. Foundations of Physics, 1994, 24: 1 331-1 352.

[2] Wu Jing. Ideals, filters, and supports in Pseudo effect algebras[J]. Inter national Journal of Theoretical Physics, 2004, 43:349-358.

[3] 徐 揚(yáng), 秦克云. 模糊格蘊(yùn)涵代數(shù)[J]. 西南交通大學(xué)學(xué)報(bào), 1995,30(2)：121-127.

[4] Li Hai yang, Li Sheng gang. Congruences and ideals in pseudoeffect algebras[J]. Soft Computer, 2008,(12):487-492.

[5] 劉東利, 王國(guó)俊. 效應(yīng)代數(shù)中的模糊濾子[J]. 模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué), 2009, 23(3): 6-16.