在超導系統(tǒng)中實現(xiàn)磁比特的1→n控制相位門

莊 浩， 高貴龍， 范志強， 王明峰， 鄭亦莊

(溫州大學 物理與電子信息工程學院， 溫州 325035)

0 引言

近年來，量子邏輯門作為量子計算的基本元素之一已經(jīng)得到了廣泛的研究.各種各樣制備量子邏輯門的方案相繼被提出.常見的單比特邏輯門有：Z門、X門、Y門等，常見的雙比特門有Hardmand 門、控制相位門(C-P門)、控制非門(C-NOT門)、交換門(iswap門)等.這些基本門的性質和制備方法也已得到了廣泛的研究，在實驗上一些門也已被制備出來，如在腔電動力學中(C-QED)制備原子的量子門[1,2]，在離子囚禁系統(tǒng)中制備的量子門[3]，在超導系統(tǒng)中制備的量子門[4,5]，在光學系統(tǒng)中制備光子的量子門[6，7]，量子點系統(tǒng)中制備的量子門[8]等.雖然已經(jīng)在理論上證明任意的多比特量子門都可以分解為單比特量子門和雙比特控制量子門，但隨著比特數(shù)目的增加，單比特門和控制門的數(shù)目和組成的結構將變得越來越復雜，并且在實驗上操作起來也會變得更加麻煩，誤差也會越來越大.在實驗上每一次單比特操作都會帶來一定的誤差，經(jīng)過多次操作之后必然會使誤差變的很大.所以直接實現(xiàn)多比特量子邏輯門變的尤為重要.

近些年來，一些直接來實現(xiàn)多量子比特邏輯門的方案已被提出，如n比特同時控制單個比特的邏輯門[9，10]、單比特同時控制n個比特的量子邏輯門[11]等.多比特量子邏輯門可被廣泛的應用于量子計算[12]、量子糾錯[13]、量子克隆[14]、量子糾纏態(tài)的制備中[15].

含有約瑟夫森結的超導量子系統(tǒng)做為量子計算機的最佳候選者之一，它有很多優(yōu)點，比如便于擴展、便于操作和控制等，因而已經(jīng)得到廣泛的研究.尤其是近些年來，隨著科學技術的提高，改進后的超導比特的消相干時間已可以達到μs級別，這使得超導比特已經(jīng)成為量子信息科學的最熱門研究對象之一.超導比特包括：電荷比特、磁通比特、相比特[16，17].超導比特之間的耦合方式也有很多種，電荷比特之間可以通過電容直接耦合起來，也可以通過一個中介如一維線性諧振腔(TLR)耦合起來，或者通過另一個電荷比特作為中介將兩個電荷比特耦合起來，而磁通比特則可以通過電感將其耦合起來，或是通過一個中介如可等價為量子諧振腔的LC電路將其耦合起來等等[17].最近幾年超導系統(tǒng)在實驗上也已取得了很大的發(fā)展，如已經(jīng)在實驗上制備出了薛定諤貓態(tài)，量子邏輯門，GHZ態(tài)[18]等.

基于超導量子系統(tǒng)的發(fā)展，提出一種在超導系統(tǒng)中來實現(xiàn)磁通比特的1→n控制相位門的制備方案.與以往方案不同，我們選用磁通比特作為基本比特，選用LC電路作為耦合中介來實現(xiàn)磁通比特1→n控制相位門.本文有以下幾部分構成，第二部分將介紹我們所用的模型及其此系統(tǒng)的哈密頓量，第三部分將給出具體的實現(xiàn)過程，第四部分討論此種方案在實驗上的可行性并給出總結.

1 系統(tǒng)及其哈密頓量

選取的系統(tǒng)如圖1(b)所示，由n個磁比特和1個LC諧振腔組成.磁比特通過自身電感與LC電路耦合起來，假設磁比特彼此之間相隔的足夠遠，因而磁比特之間沒有直接的耦合作用.磁比特的結構如圖1(a)所示，它由一個含有3個約瑟夫森結的超導線圈構成，其中的兩個大結具有相同的約瑟夫森能和相同的電容即滿足條件EJ1=EJ2=EJ和CJ1=CJ2=CJ，另外的一個小結滿足條件EJ3=αEJ和CJ3=αCJ，在一定條件下磁比特可等價于與一個二能級的人造原子.此結構的磁比特可以通過一個外加的磁通Φe和一個隨時間變化的外磁通Φf(t)來進行調節(jié).在一定條件下此系統(tǒng)的哈密頓量可描述為[19,20]：

圖1 (a)基本的磁比特模型；(b)實現(xiàn)N個磁化比特耦合模型(a) 基本的磁比特，可以通過外加磁場來調節(jié).(b) 通過一個可以等效為量子諧振腔的LC電路作為中介將N個磁比特耦合起來.

為了計算簡便，我們?nèi)∷械拇疟忍氐念l率相同都為wq，所有磁比特的經(jīng)典拉比頻率也相同都為Ω，所有磁比特與LC諧振腔的耦合常數(shù)也相同都為g，所有的隨時間變化的外加脈沖的頻率都為w，此時系統(tǒng)的哈密頓量可表示為：

H=H0+HI(2)

當wq=w時，在相互作用繪景中哈密頓量(2)可表示為：

+H.c(4)

當拉比頻率滿足條件Ω?|Δ|，g，可以略去高頻振蕩項，此時系統(tǒng)的有效哈密頓量為[22，23]：

(5)

哈密頓量(5)的時間演化算符可寫為如下形式[24，25]：

(6)

經(jīng)過時間t=τ=2π/Δ后，得到B(τ)=0和A(τ)=g2τ/4Δ，此時可得：

(7)

由(3)式和(7)式，得到此時系統(tǒng)的哈密頓量為：

(8)

2 實現(xiàn)磁比特的1→n控制相位門

本節(jié)將展示如何來實現(xiàn)磁比特的1→n的控制相位門的實現(xiàn).

第一步，選取n+1個磁比特通過電感與LC諧振腔耦合起來，如圖1所示，此時系統(tǒng)的哈密頓量為：

取演化時間滿足條件t1=τ1=2π/Δ，并且取所有的拉比頻率都為Ω(可以通過外加變化的磁場Φf,j(t)來調節(jié))，耦合常數(shù)都為g，Δ=w-wc，則由上節(jié)可得此時系統(tǒng)的演化算符為：

其中：

第二步，通過調節(jié)第一個磁比特的外加磁場Φx,1來調節(jié)第一個磁比特的頻率wq,1，使得wq,1?wc，即此時第一個磁比特與LC諧振器不發(fā)生作用；并且調節(jié)第一個磁比特的外加變化的磁場Φf,1(t)=0，即Ω1=0；則此時系統(tǒng)的哈密頓量為：

取除第一磁比特外的其余所有磁比特的頻率都為w′，所有的拉比頻率都為Ω′(可以通過外加變化的磁場Φf,j(t) 來調節(jié))，耦合常數(shù)都為g，Δ′=w′-wc，取演化時間滿足條件t2=τ=2π/Δ，則此時系統(tǒng)的演化算符為：

(11)

經(jīng)過以上三步，可得系統(tǒng)的演化算符為：

其中：Up(1,j)=exp[-i2λτ(σx,1+σx,j-σx,1σx,j)]取2λτ=(2k+1)π/4時Up(1,j)=exp[-i(2k+1)π(σx,1+σx,j-σx,1σx,j)/4]

可證明：

U(1,j)|e1〉|ej〉=|e1〉|ej〉

U(1,j)|e1〉|gj〉=|e1〉|gj〉

U(1,j)|g1〉|ej〉=|g1〉|ej〉

U(1,j)|g1〉|gj〉=-|g1〉|gj〉(14)

由式(13)和(14)可看出我們同時實現(xiàn)了第一個磁比特對其它n個磁比特的相位控制，即實現(xiàn)了磁比特的1→n控制相位門，并且可以看出此控制相位門的操作時間與比特數(shù)無關，始終為3τ.

3 結束語

下面討論此方案的實驗可行性，主要討論操作時間.在實驗上g～2π×200 MHz，Ω～2π×400 MHz[20-26]，我們?nèi)=2π×150 MHz，Δ=2π×100 MHz，Ω=2π×400 MHz，可算得總的操作時間為30 ns.在實驗上，磁比特的消相干約為1.5μs[27]，這意味著在系統(tǒng)的消相干時間內(nèi)可實現(xiàn)50次1→n控制相位門的操作，這足以實現(xiàn)一些簡單的量子計算.

總的來說，和以往方案不同的是，選用了磁通比特作為基本比特，選用LC電路作為耦合中介來實現(xiàn)磁通比特1→n控制相位門.我們通過對外加磁場的簡單調節(jié)實現(xiàn)了磁比特的1→n控制相位門，此門的操作時間與比特數(shù)目無關，因而可以在較短的時間內(nèi)實現(xiàn)一個比特同時控制任意多個比特的控制相位操作，我們還簡單分析了此方案的實驗可行性.

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