一種考慮應(yīng)變率效應(yīng)的結(jié)構(gòu)非線性時(shí)程分析方法

王文明，李宏男

（大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部，大連 116024）

土木工程中應(yīng)用的大多數(shù)材料都有一定的率敏感性，鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)是目前應(yīng)用最為廣泛的結(jié)構(gòu)，鋼筋和混凝土在不同應(yīng)變率下有不同的力學(xué)性能。試驗(yàn)研究表明［1-6］，隨著應(yīng)變率的提高，鋼筋和混凝土的特征強(qiáng)度有不同程度的提高。在地震作用下，混凝土的應(yīng)變率一般能達(dá)到10-3～10-2/s，最大能達(dá)到10-1/s左右［3］，鋼筋所能達(dá)到的應(yīng)變率更大。對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震分析時(shí)，采用靜態(tài)下的理論不盡合理，應(yīng)該考慮應(yīng)變率效應(yīng)。

對(duì)于一些復(fù)雜或者重要的抗震結(jié)構(gòu)，需要對(duì)其進(jìn)行彈塑性變形演算［7］。理論上說(shuō)，振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)最為可靠，但是這種方法無(wú)法普遍用于實(shí)際工程。非線性時(shí)程分析深受廣大學(xué)者和工程師的認(rèn)可，該方法目前被認(rèn)為是相對(duì)精確的方法。然而到目前為止，該方法采用的本構(gòu)關(guān)系、彎矩-曲率關(guān)系和破壞準(zhǔn)則等大多都是在靜力荷載作用下得到的。從數(shù)值計(jì)算的角度來(lái)說(shuō)，通過(guò)該方法得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)是不精確的。為了提高該方法的準(zhǔn)確性，在結(jié)構(gòu)非線性時(shí)程分析中應(yīng)該考慮應(yīng)變率效應(yīng)。國(guó)外一些學(xué)者對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震作用下的非線性時(shí)程分析時(shí)，考慮了應(yīng)變率效應(yīng)。研究表明，考慮應(yīng)變率效應(yīng)后，計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)發(fā)生一定的變化［8-9］。在有些情況下，變化很明顯，這說(shuō)明在非線性時(shí)程分析中考慮應(yīng)變率效應(yīng)是很有必要的。對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性時(shí)程分析時(shí)，可以采用微觀模型（如纖維模型），也可以采用宏觀模型（如塑性鉸模型）。對(duì)于宏觀模型而言，計(jì)算過(guò)程中不計(jì)算某點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變，所以不可能精確地考慮應(yīng)變率效應(yīng)。對(duì)于微觀模型，精確考慮應(yīng)變率效應(yīng)還存在一些困難?；谝陨显颍疚奶岢隽艘环N在結(jié)構(gòu)非線性時(shí)程分（析中考慮應(yīng)變率效應(yīng)的近似方法，該方法不僅可以應(yīng)用于微觀模型，還可以用于宏觀模型。文中給出了該方法的力學(xué)解釋?zhuān)⑼ㄟ^(guò)數(shù)值模擬對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 考慮應(yīng)變率效應(yīng)的非線性時(shí)程分析方法

在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，回復(fù)力為零的位置叫做這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置。地震作用下，結(jié)構(gòu)發(fā)生復(fù)雜的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，各層間剪力為零的位置為結(jié)構(gòu)的平衡位置。材料沒(méi)有進(jìn)入非線性階段之前，結(jié)構(gòu)的平衡位置為結(jié)構(gòu)的初始位置。如果材料能夠進(jìn)入非線性階段，由于殘余位移的存在，結(jié)構(gòu)的平衡位置會(huì)發(fā)生變化。在地震作用下的很多時(shí)刻，結(jié)構(gòu)的基底剪力為零?？梢越普J(rèn)為，當(dāng)結(jié)構(gòu)的基底剪力為零時(shí)，結(jié)構(gòu)處在平衡位置。本文將相鄰的平衡位置出現(xiàn)時(shí)刻之間的過(guò)程稱(chēng)為一個(gè)半循環(huán)，如圖1所示（圖1為文中模型在峰值加速度調(diào)幅到6 m/s2的El Centro波作用下的頂點(diǎn)位移時(shí)程曲線，取前5 s）。在地震作用過(guò)程中，結(jié)構(gòu)的頂點(diǎn)位移有很多極值點(diǎn)。在絕大多數(shù)情況下，結(jié)構(gòu)的頂點(diǎn)位移在一個(gè)半循環(huán)內(nèi)僅有一個(gè)極值。本文將相鄰的平衡位置和頂點(diǎn)位移極值所在時(shí)刻之間的過(guò)程稱(chēng)為一個(gè)1/4循環(huán)。一個(gè)半循環(huán)可以分為兩個(gè)1/4循環(huán)，分別稱(chēng)為前1/4循環(huán)和后1/4循環(huán)。

圖1 頂點(diǎn)位移時(shí)程曲線Fig.1 Time history of top displacement

本文提出的考慮應(yīng)變率效應(yīng)結(jié)構(gòu)非線性時(shí)程分析方法的具體步驟如下：

（1）建立結(jié)構(gòu)力學(xué)模型，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行不考慮應(yīng)變率效應(yīng)的非線性時(shí)程分析。

（2）對(duì)模型的設(shè)置進(jìn)行修正。修正步驟如下：確定頂點(diǎn)位移達(dá)到最大值的時(shí)刻和之前結(jié)構(gòu)處在平衡位置的時(shí)刻（即基底剪力為零的時(shí)刻），計(jì)算該1/4循環(huán)的時(shí)間；分別計(jì)算這兩時(shí)刻進(jìn)入非線性構(gòu)件控制截面各處鋼筋和受壓區(qū)邊緣位置的應(yīng)變，然后計(jì)算這些位置在該1/4循環(huán)內(nèi)應(yīng)變的變化量；將應(yīng)變變化量除以該1/4循環(huán)的時(shí)間，得到這些位置在該1/4循環(huán)內(nèi)的平均應(yīng)變率；根據(jù)各處鋼筋的平均應(yīng)變率修改相應(yīng)位置鋼筋的本構(gòu)關(guān)系，根據(jù)受壓區(qū)邊緣位置平均應(yīng)變率的2/3修改混凝土的的本構(gòu)關(guān)系。

（3）對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行第二次非線性時(shí)程分析。

下面對(duì)為什么進(jìn)行兩次分析進(jìn)行解釋。第一次分析沒(méi)有考慮材料的應(yīng)變率效應(yīng)，計(jì)算結(jié)果不可靠，第二次分析是第一次分析的修正。不進(jìn)行多次分析的原因如下：① 該方法是一種實(shí)用方法，進(jìn)行多次分析會(huì)大大降低該方法的實(shí)用性；② 第三次和第二次的分析結(jié)果相差很小，可以忽略不計(jì)。

2 方法的力學(xué)解釋和意義

2.1 方法的力學(xué)解釋

該方法的力學(xué)解釋如下：

（1）對(duì)于結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，在地震作用下，存在一個(gè)或者幾個(gè)對(duì)其有重要影響的1/4循環(huán)，其中最大變形對(duì)應(yīng)的前1/4循環(huán)尤為重要。如果在該1/4循環(huán)內(nèi)采用的本構(gòu)關(guān)系更為合理一些，計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)反應(yīng)能更為準(zhǔn)確一些。

（2）在1/4循環(huán)內(nèi)，如果材料必須采用某固定應(yīng)變率下的本構(gòu)關(guān)系，采用平均應(yīng)變率下的本構(gòu)關(guān)系是較為合理的。

（3）根據(jù)控制截面一些位置的平均應(yīng)變率對(duì)整個(gè)構(gòu)件的本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行修正是合理的。在地震作用下，構(gòu)件的非線性變形集中于局部，其他部位保持彈性。對(duì)于處于彈性階段的部位，不管采用多大應(yīng)變率下的本構(gòu)關(guān)系，都不會(huì)對(duì)計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)產(chǎn)生影響（在不同的應(yīng)變率下，可以認(rèn)為材料的彈性模量和泊松比不變）。

（4）材料的動(dòng)態(tài)強(qiáng)度提高幅度與應(yīng)變率的對(duì)數(shù)近似成線性關(guān)系［1-6］。這意味著只有當(dāng)應(yīng)變率發(fā)生量級(jí)的變化時(shí)，材料的屈服強(qiáng)度才產(chǎn)生較為明顯的變化。以HRB335鋼筋為例，應(yīng)變率為0.1/s時(shí)，屈服強(qiáng)度為387.93 MPa；應(yīng)變率為 0.2/s時(shí)，屈服強(qiáng)度為 394.03 MPa（應(yīng)變率之比為2，屈服強(qiáng)度之比為1.016）。在地震作用下，對(duì)結(jié)構(gòu)有重要影響的1/4循環(huán)可能有多個(gè)。在這些不同的1/4循環(huán)內(nèi)，任意一點(diǎn)平均應(yīng)變率的比值一般在0.5～2之間。這意味著，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行第二次非線性時(shí)程分析時(shí)，材料的本構(gòu)關(guān)系在對(duì)結(jié)構(gòu)有重要影響的時(shí)間段內(nèi)是合理的。

（5）在地震作用的很多時(shí)間段內(nèi)，結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生塑性變形。在這些時(shí)間段內(nèi)，不管采用多大應(yīng)變率下的本構(gòu)關(guān)系，都不會(huì)對(duì)計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)產(chǎn)生影響。

基于以上原因，可以看出本文提出的方法是合理的，下文會(huì)通過(guò)數(shù)值模擬的方法對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證。

2.2 方法的意義

對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性動(dòng)力時(shí)程分析時(shí)，可以采用微觀模型，也可以采用宏觀模型。微觀模型是指，在計(jì)算過(guò)程中需要計(jì)算結(jié)構(gòu)中某點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變的模型，如纖維模型；宏觀模型是指，在計(jì)算過(guò)程中不計(jì)算任意一點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變的模型，如塑性鉸模型。一般來(lái)說(shuō)，采用微觀模型對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，計(jì)算結(jié)果更為可靠，但是計(jì)算成本較高。有鑒于此，本文方法的意義如下：

（1）本文方法對(duì)微觀模型具有一定意義。理論上說(shuō)，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性時(shí)程分析時(shí)，如果采用微觀模型，可以采用材料的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型（能夠精確考慮應(yīng)變率的不斷變化）。然而，目前為止，在分析中采用材料的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型還存在一些應(yīng)用上的困難。目前，絕大多數(shù)軟件沒(méi)有這項(xiàng)功能。ABAQUS雖然擁有這項(xiàng)功能，但是軟件中只有CDP（Concrete Damaged Plasticity）模型適用于混凝土結(jié)構(gòu)的抗震分析，這種材料模型不能用于B31單元，用于B21單元時(shí)不能考慮應(yīng)變率效應(yīng)。對(duì)于鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)而言，如果計(jì)算時(shí)采用動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型，梁和柱只能采用實(shí)體單元，然而實(shí)體單元難以應(yīng)用于工程實(shí)際。除此之外，混凝土采用CDP模型時(shí)，如果考慮應(yīng)變率效應(yīng)，計(jì)算難以收斂?？梢哉f(shuō)，用微觀模型對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析時(shí)，本文提出的方法具有一定意義。

（2）本文方法對(duì)宏觀模型具有重要意義。用宏觀模型進(jìn)行非線性動(dòng)力時(shí)程分析時(shí)，計(jì)算過(guò)程中不計(jì)算任意一點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變。這意味著，對(duì)于宏觀模型而言，無(wú)法精確地考慮材料的應(yīng)變率效應(yīng)。如果在宏觀模型中考慮應(yīng)變率效應(yīng)，必須采用近似方法。這里提出的方法可以用于宏觀模型。

下面簡(jiǎn)要說(shuō)明一下如何在塑性鉸模型中使用本文方法。設(shè)置塑性鉸時(shí)，需要確定塑性鉸的骨架曲線和滯回規(guī)則。骨架曲線可以是彎矩和曲率的關(guān)系，也可以是彎矩和轉(zhuǎn)角的關(guān)系。按照本文的方法，需要在步驟2中對(duì)模型的設(shè)置進(jìn)行修正。方法如下：首先，確定進(jìn)入塑性的塑性鉸截面曲率為屈服曲率和極限曲率時(shí)截面各處鋼筋和受壓區(qū)邊緣的應(yīng)變（第一次分析之前即可確定）；其次，計(jì)算這些截面在頂點(diǎn)位移達(dá)到最大值時(shí)刻和之前基底剪力為零時(shí)刻的曲率，采用線性插值的方法分別計(jì)算各處鋼筋和受壓區(qū)邊緣在這兩個(gè)時(shí)刻的應(yīng)變，進(jìn)而求得這些點(diǎn)在該1/4循環(huán)內(nèi)的平均應(yīng)變率；最后，根據(jù)這些點(diǎn)的平均應(yīng)變率對(duì)相應(yīng)塑性鉸的設(shè)置進(jìn)行修正（修正骨架曲線）。

下面以屈服彎矩為例說(shuō)明骨架曲線的修正方法。采用塑性鉸模型時(shí)，一般不考慮混凝土的抗拉強(qiáng)度。對(duì)于鋼筋混凝土矩形截面柱，截面屈服彎矩可按下式計(jì)算［10］：

計(jì)算截面的動(dòng)態(tài)屈服彎矩時(shí)，鋼筋的屈服強(qiáng)度采用動(dòng)態(tài)屈服強(qiáng)度，式中與fy有關(guān)參數(shù)（ξy和f'c）的計(jì)算均需采用鋼筋的動(dòng)態(tài)屈服強(qiáng)度。

3 方法的驗(yàn)證

相對(duì)來(lái)說(shuō)，如果在非線性時(shí)程分析時(shí)采用的本構(gòu)關(guān)系為動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型，那么計(jì)算的結(jié)構(gòu)反應(yīng)可以被認(rèn)為是精確解。如果按照本文方法計(jì)算的結(jié)構(gòu)反應(yīng)十分接近精確解，即可驗(yàn)證本文方法是有效的。

3.1 采用的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型

試驗(yàn)研究表明，隨著應(yīng)變率的提高，鋼筋的彈性模量基本不變，鋼筋的屈服強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度都有一定程度的提高，強(qiáng)度低的鋼筋比強(qiáng)度高的鋼筋對(duì)應(yīng)變率更為敏感［1-2］。在地震作用下，鋼筋的應(yīng)變率一般不會(huì)超過(guò)1/s，其動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型可以按照作者在文獻(xiàn)［2］中給出的模型選取，即：

隨著應(yīng)變率的提高，混凝土的彈性模量和泊松比如何變化沒(méi)有達(dá)成一致共識(shí)［4］，這里不考慮混凝土彈性模量和泊松比隨應(yīng)變率的變化。隨著應(yīng)變率的提高，混凝土的抗壓強(qiáng)度有明顯的增加趨勢(shì)?；炷羷?dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度可按下面的公式計(jì)算［5］：

式中：fcd為當(dāng)前應(yīng)變率下的抗壓強(qiáng)度；fcs為準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)變率下的抗壓強(qiáng)度；c為當(dāng)前的應(yīng)變率。

隨著應(yīng)變率的提高，混凝土的抗拉強(qiáng)度有明顯的增加趨勢(shì)?；炷羷?dòng)態(tài)抗拉強(qiáng)度可按下面的公式計(jì)算［6］：

式中：ftd為當(dāng)前應(yīng)變率下的抗拉強(qiáng)度t為當(dāng)前的應(yīng)變率；ts為準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)變率，這里取為ts=10-5/s；fts為準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)變率下的抗拉強(qiáng)度。

3.2 模型介紹

采用的結(jié)構(gòu)模型如圖2所示，該結(jié)構(gòu)由一根無(wú)質(zhì)量的鋼筋混凝土柱和柱頂?shù)馁|(zhì)量塊組成。質(zhì)量塊質(zhì)量為4 800 kg，沿柱全長(zhǎng)配置φ8@100的箍筋。

縱筋采用HRB335，箍筋采用HPB235，彈性模量分別為2.0×1011Pa和2.1×1011Pa，鋼筋采用理想彈塑性本構(gòu)模型，縱筋在不同應(yīng)變率下的本構(gòu)關(guān)系如圖3所示（應(yīng)力σ和塑性應(yīng)變?chǔ)舏n的關(guān)系，應(yīng)力單位為Pa）。通過(guò)定義一系列不同塑性應(yīng)變率下屈服強(qiáng)度比的方法生成鋼筋的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型，軟件在計(jì)算的過(guò)程中根據(jù)線性插值的方法計(jì)算每一時(shí)刻每一積分點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變?；炷翉?qiáng)度為 C30，采用 CDP模型［11］，混凝土在不同應(yīng)變率下的本構(gòu)關(guān)系如圖4所示（應(yīng)力σ和塑性應(yīng)變 εin的關(guān)系，應(yīng)力單位為Pa），通過(guò)定義一系列塑性應(yīng)變率下混凝土的本構(gòu)關(guān)系的方法生成材料的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型?；炷林捎肅3D8R單元，單元大小為0.1 m ×0.1 m ×0.1 m，鋼筋采用 T3D2單元，單元長(zhǎng)度為0.1 m，通過(guò)軟件中的Embedded將鋼筋埋入混凝土之中，不考慮鋼筋與混凝土之間的粘結(jié)滑移。

圖2 結(jié)構(gòu)模型（mm）Fig.2 The model

圖3 鋼筋的本構(gòu)關(guān)系Fig.3 The constitutive relationship of rebar

圖4 混凝土的本構(gòu)關(guān)系Fig.4 The constitutive relationship of concrete

3.3 地震波的選取

計(jì)算中，采用三條地震波，分別為El Centro波、Northbridge波和 Taft波，峰值加速度分別調(diào)幅到8 m/s2、8 m/s2和 6 m/s2，三條地震波均取前 15 s進(jìn)行輸入。

3.4 分析工況設(shè)置

每次分析時(shí)，均設(shè)置兩個(gè)分析步。首先是靜態(tài)分析，然后是動(dòng)態(tài)分析。其中靜態(tài)分析用于自重作用分析，動(dòng)態(tài)分析用于地震作用分析。需要說(shuō)明的是，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行自重作用分析時(shí)，如果材料采用的是動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型，應(yīng)變率在分析過(guò)程中起作用。這是由于在ABAQUS軟件中，不論是靜態(tài)分析還是動(dòng)態(tài)分析，均需要設(shè)置分析總時(shí)間，分析中應(yīng)變隨時(shí)間變化，應(yīng)變率就起作用。自重作用分析時(shí)，不應(yīng)該考慮應(yīng)變率效應(yīng)，這可以通過(guò)調(diào)大靜態(tài)分析總時(shí)間的方法消除應(yīng)變率效應(yīng)對(duì)自重分析的影響。當(dāng)然，如果材料在自重作用下不能進(jìn)入非線性階段（應(yīng)變率不起作用），就可不必注意此問(wèn)題。

按照5%的阻尼比設(shè)置材料的阻尼參數(shù)，由于文中模型可以看成單自由度體系，設(shè)置材料的阻尼參數(shù)時(shí)，僅需計(jì)算Alpha，Beta等于零。對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震作用分析時(shí)，均采用隱式算法。

3.5 分析結(jié)果

結(jié)構(gòu)在三條地震波作用下的最大反應(yīng)如表1所示。為了便于在整個(gè)時(shí)程內(nèi)比較不同計(jì)算方法得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，這里給出了一些主要的時(shí)程曲線。應(yīng)變最大的縱向鋼筋單元在El Centro波作用下的應(yīng)力時(shí)程和應(yīng)變時(shí)程分別如圖5和圖6所示，結(jié)構(gòu)在三條地震波作用下的頂點(diǎn)位移時(shí)程分別如圖7、圖8和圖9所示。

通過(guò)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，可以得到以下結(jié)論：

（1）采用動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型得到的單元應(yīng)變時(shí)程和應(yīng)力時(shí)程與采用靜態(tài)本構(gòu)模型得到的結(jié)果有明顯的不同。在ElCentro波作用下，采用動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型時(shí)，縱向鋼筋的最大應(yīng)力為388.6 MPa，大約是其靜力屈服強(qiáng)度的1.16 倍。

（2）材料沒(méi)有進(jìn)入非線性階段之前，各種方法計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)時(shí)程相同；材料進(jìn)入非線性階段之后，各種方法計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)時(shí)程不同，但是曲線形狀相似。

（3）采用靜態(tài)本構(gòu)計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)最大反應(yīng)具有較大的誤差。在所有的分析工況中，采用靜態(tài)本構(gòu)計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)最大反應(yīng)相對(duì)誤差的絕對(duì)值均大于5%。最大頂點(diǎn)位移的相對(duì)誤差更為明顯，最大為16.27%。可以看出，在非線性時(shí)程分析中考慮材料的應(yīng)變率效應(yīng)是很有必要的。

（4）本文方法的精度較高。采用本文方法計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)最大反應(yīng)具有較小的誤差，相對(duì)誤差的絕對(duì)值均沒(méi)有超過(guò)5%。在El Centro波和Taft波作用下，按照本文方法計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)位移時(shí)程與精確解幾乎重合，這說(shuō)明本文提出的方法精度較高。

表1 結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)Tab.1 The maximum response of the structure

圖5 某鋼筋單元在El Centro波作用下的應(yīng)力時(shí)程Fig.5 Stress history of a rebar element under El Centro ground motion

圖6 某鋼筋單元在El Centro波作用下的應(yīng)變時(shí)程Fig.6 Strain history of a rebar element under El Centro ground motion

圖7 結(jié)構(gòu)在El Centro波作用下的頂點(diǎn)位移時(shí)程Fig.7 Top displacement history of the structure under El Centro ground motion

4 結(jié)論

本文提出了一種在結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力分析中考慮應(yīng)變率效應(yīng)的近似方法，該方法可以用于微觀模型和宏觀模型。文中給出了該方法的力學(xué)解釋?zhuān)⑼ㄟ^(guò)數(shù)值模擬對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果顯示，本文提出的方法具有較高的精度，可以作為一種在非線性時(shí)程分析中考慮應(yīng)變率效應(yīng)的有效方法。

圖8 結(jié)構(gòu)在Northbridge波作用下的頂點(diǎn)位移時(shí)程Fig.8 Top displacement history of the structure under Northbridge ground motion

圖9 結(jié)構(gòu)在Taft波作用下的頂點(diǎn)位移時(shí)程Fig.9 Top displacement history of the structure under Taft ground motion

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