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    地下結(jié)構(gòu)波動法與振動法的對比

    2012-02-09 03:59:50孫常新趙馮兵
    關(guān)鍵詞:計(jì)算結(jié)果波動邊界

    高 峰,孫常新,2,趙馮兵

    (1.重慶交通大學(xué)山區(qū)橋梁與隧道國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地,重慶 400074;

    2.華北水利水電學(xué)院,河南鄭州 450011;3.重慶能源職業(yè)學(xué)院,重慶 400041)

    地下結(jié)構(gòu)波動法與振動法的對比

    高 峰1,孫常新1,2,趙馮兵3

    (1.重慶交通大學(xué)山區(qū)橋梁與隧道國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地,重慶 400074;

    2.華北水利水電學(xué)院,河南鄭州 450011;3.重慶能源職業(yè)學(xué)院,重慶 400041)

    介紹了波動法和振動法的計(jì)算原理和使用方法,用這兩種方法計(jì)算人工地震波,分析兩種方法的區(qū)別。結(jié)果表明:波動法和振動法的計(jì)算數(shù)值和變化規(guī)律基本一致;波動法可以反映波動傳播的時(shí)間效應(yīng),振動法不能反映波動傳播的時(shí)間效應(yīng),但振動法計(jì)算步驟簡便,精度可以滿足要求;建議在地下結(jié)構(gòu)動力分析中使用振動法。

    波動法;振動法;計(jì)算原理;地震波;人工邊界條件

    0 引言

    近年來,隨著在地震中地下結(jié)構(gòu)的大量損壞和計(jì)算手段的快速發(fā)展,地下結(jié)構(gòu)的地震計(jì)算方法引起了人們的重視并獲得快速發(fā)展。地下結(jié)構(gòu)地震時(shí)程分析的常用方法主要有兩種:一種是以求解波動方程為基礎(chǔ)的波動法,另一種是以求解結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程為基礎(chǔ)的振動法。波動法將地下結(jié)構(gòu)與其周圍地層介質(zhì)作為一個整體來進(jìn)行分析,假定地下結(jié)構(gòu)的存在對波動場的影響可以忽略不計(jì),按波動方程求解地下結(jié)構(gòu)與其周圍介質(zhì)中的波動場和應(yīng)力場;振動法以結(jié)構(gòu)為主體求解其地震運(yùn)動,將地震作用以地震加速度形成的慣性力形式施加到結(jié)構(gòu)上,建立地下結(jié)構(gòu)的地震運(yùn)動方程,按運(yùn)動方程求解地下結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)[1]。

    當(dāng)前,使用波動法進(jìn)行地下結(jié)構(gòu)計(jì)算分析主要研究成果有:Pao和Mow[2]采用波函數(shù)展開法開創(chuàng)性地研究了無限空間中單個洞室在彈性波入射下的動應(yīng)力集中問題;20世紀(jì)90年代,Lee和Karl[3]采用大圓弧假定法給出了半空間中單個洞室對P波和SV波的散射解析;梁建文,等[4]用大圓弧假定法分析研究了半空間中雙洞室對P波和SV波的散射并得出解析解;黃艷,等[5]基于波動控制方程研究了以任意方向入射的平面SH波在淺埋多個圓孔處的散射與地震動問題;劉晶波,等[6]應(yīng)用彈性波動理論,發(fā)展了實(shí)現(xiàn)波動直接模擬的三維時(shí)域黏彈性人工邊界,可以方便地應(yīng)用于三維波動問題的模擬分析;潘旦光,等[7]將波動理論和隨機(jī)振動理論結(jié)合起來,提出了P波和SV波作用下層狀土層地震反應(yīng)分析的隨機(jī)波動分析方法;黃勝,等[8]基于無限元人工邊界的合理地震動輸入方法,考慮到地層的輻射阻尼和地震波在地層中的反射和散射,采用波場分解的方法給出地震波從底面垂直入射時(shí)不同邊界面上的等效地震荷載的計(jì)算公式。振動法是動力計(jì)算較常用的方法,近年來的主要研究成果有:李輝,等[9]基于振動法推證出以地表地震動作為輸入的自由地基地震反應(yīng)分析模型;劉如山,等[10]基于振動法從地震時(shí)一維土層反應(yīng)應(yīng)力入手,對有限元反應(yīng)加速度法的地震荷載加載方法進(jìn)行改進(jìn),提出了有限元反應(yīng)應(yīng)力法;胡世麗,等[11]從概念、建立方程、求解方程和適用范圍多個方面闡述了波動和振動的區(qū)別和聯(lián)系。

    當(dāng)前,波動法和振動法應(yīng)用于地下結(jié)構(gòu)地震分析已比較成熟,并取得了不少成果。但是兩種方法有何區(qū)別,至今未見到相關(guān)文獻(xiàn)。筆者將兩種方法進(jìn)行了對比研究,得出了具有一定應(yīng)用價(jià)值的結(jié)論。

    1 計(jì)算原理與方法

    波動法和振動法用于地下結(jié)構(gòu)地震時(shí)程分析時(shí)的出發(fā)點(diǎn)不同,兩者的計(jì)算原理和使用方法有所不同,各具特點(diǎn)。

    1.1 波動法計(jì)算原理

    20世紀(jì)70年代,前蘇聯(lián)的烏茲別克、格魯吉亞等對深埋隧道采用了彈性波動理論擬靜力法進(jìn)行計(jì)算,出現(xiàn)了連續(xù)介質(zhì)彈性力學(xué)法[12],現(xiàn)行的波動法正是在此基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。

    波動法中波動輸入方式主要有兩種:①直接在人工邊界上實(shí)現(xiàn)波動輸入,通過對人工邊界和內(nèi)結(jié)點(diǎn)波動的反復(fù)疊加或減去已知的自由波場的方法完成波動輸入[13],主要在解析計(jì)算中使用,稱之為波動(解析)法;②將人工邊界上的自由場位移作為時(shí)變外荷載輸入,主要在數(shù)值計(jì)算中使用,稱之為波動(數(shù)值)法。自由場位移可以由初始數(shù)據(jù)得到,相當(dāng)于將波動輸入問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)源問題進(jìn)行求解分析。

    1.1.1 波動(解析)法

    波動(解析)法是對波動物理過程的模擬[14]。為說明問題,針對圖1的簡單人工地震波動(波速為c)進(jìn)行計(jì)算分析。

    圖1 人工地震波v(t)時(shí)程Fig.1 Artificial seismic wave schedule of v(t)

    圖2 波動法計(jì)算示意(P波)Fig.2 Calculation of wave method(P wave)

    對圖2中的矩形計(jì)算區(qū)域(高H),設(shè)v(t)于t=0時(shí)刻由底部輸入向上傳播,在時(shí)刻t=H/c時(shí)上行波到達(dá)自由頂面,由此產(chǎn)生一個反射波,此下行波為上行入射波的鏡面映像。當(dāng)下行波在t=2H/c時(shí)刻到達(dá)基底時(shí),完成了波動過程的第一個循環(huán)。然后,由于基底采用的是黏彈性邊界,到達(dá)基底的下行波將被完全吸收,波動循環(huán)完成。設(shè)波動在傳播過程中沒有能量損失,則在波動循環(huán)中陸續(xù)增加的反射波動如式(1):

    式中:z為計(jì)算點(diǎn)到基底的豎直距離,m。

    由式(1)即可求得計(jì)算區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的波動位移,從而可以得到計(jì)算區(qū)域內(nèi)的波動場。由位移公式求導(dǎo)可得到速度場,由速度公式求導(dǎo)可得到加速度場,即可對波動場中的地下結(jié)構(gòu)進(jìn)行波動求解。

    圖3為由波動法計(jì)算得到的計(jì)算區(qū)域內(nèi)的波動場。

    圖3 不同深度處v(t)時(shí)程曲線Fig.3 Different depths schedule curve of v(t)

    由圖3可知:上行波傳到頂面時(shí)v(t)變?yōu)樵鹊膬杀?不同深度處的v(t)不僅振幅不同,在相位上也有所區(qū)別。這些情況與波動理論相符。波動(解析)法是基于波動基本理論的通用方法,計(jì)算結(jié)果精確可信,但在有限元計(jì)算分析中使用不方便,具體有限元計(jì)算中常采用波動(數(shù)值)法。

    1.1.2 波動(數(shù)值)法

    波動(數(shù)值)法是依據(jù)波動場,將輸入波動轉(zhuǎn)化為直接作用在人工邊界上的等效荷載來實(shí)現(xiàn)波動輸入,即把波動作用轉(zhuǎn)換成人工邊界節(jié)點(diǎn)作用力來實(shí)現(xiàn)波動的模擬。波動(數(shù)值)法方便地運(yùn)用于有限元數(shù)值計(jì)算分析中。有限元分析必定是針對有限范圍計(jì)算區(qū)域的計(jì)算,這就需要在半無限地下空間中截取有限的計(jì)算區(qū)域出來,截取的邊界上要采用人工邊界以模擬無限邊界條件,目前常用的是黏彈性人工邊界。

    對于平面內(nèi)的柱面波(以P波為例),其波動方程可以表示為:

    式中:g為任意函數(shù)。

    經(jīng)推導(dǎo),可得任一半徑rb處的應(yīng)力,可用該處的速度和位移表示:

    為實(shí)現(xiàn)波動輸入,在人工邊界上施加總應(yīng)力σZ,采用力學(xué)中分離隔離體概念[15],將人工邊界與附加其上的物理元件脫離,則總應(yīng)力σZ包括對邊界施加的應(yīng)力σ0,使人工邊界上的節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生位移為v0的運(yùn)動,和對物理元件上施加應(yīng)力σ1(σ1=-σ),使物理元件上的節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生位移為v0的運(yùn)動,即:

    由式(8)可推導(dǎo)出需要在人工邊界節(jié)點(diǎn)處施加的等效節(jié)點(diǎn)荷載的計(jì)算公式,進(jìn)而可以在地下結(jié)構(gòu)上施加等效節(jié)點(diǎn)荷載進(jìn)行有限元計(jì)算,完成地下結(jié)構(gòu)在地震荷載作用下的動力時(shí)程分析。

    1.2 振動法計(jì)算原理

    振動法是當(dāng)前地下結(jié)構(gòu)動力時(shí)程分析的通用方法,1900年日本大森房吉教授提出了計(jì)算地震荷載的靜力理論[16],假定地震時(shí)結(jié)構(gòu)各部分都有一個與地震加速度大小相同的加速度,作用于結(jié)構(gòu)上的水平地震力等于結(jié)構(gòu)自重乘以某一地震系數(shù)來計(jì)算結(jié)構(gòu)的變形與內(nèi)力(地震系數(shù)法)。該方法簡單方便,且經(jīng)受過一般地震的考驗(yàn),許多國家的抗震設(shè)計(jì)規(guī)范都采用過。我國地下結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)20世紀(jì)60年代以來沿用地震系數(shù)法,至今仍為隧道設(shè)計(jì)規(guī)程所采用。現(xiàn)行的振動法正是在此基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。

    結(jié)構(gòu)體系承受相同的平動運(yùn)動的地震反應(yīng)體系的運(yùn)動方程為[17]:

    式中:上標(biāo)t表示總位移。

    式(9)表示,引起體系動力反應(yīng)的有效地震力依賴于總運(yùn)動慣性力,而阻尼力和彈性力只依賴于相對運(yùn)動。

    若阻尼力和彈性力用總運(yùn)動與地面運(yùn)動的差來表示,則式(9)可寫成:

    式(10)、式(11)即振動法的基本原理公式。原則上,地震反應(yīng)問題可用式(10)和式(11)來求解,實(shí)際上,因?yàn)槭?11)的地震應(yīng)力的表達(dá)式較復(fù)雜,同時(shí)由于地震運(yùn)動通常以地面加速度來表示,故式(10)較常用。

    常用振動法的基本原理,即式(10)可用矩陣的形式表示如下:

    式中:[M]為計(jì)算結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣;[C]和[K]分別為ti時(shí)刻計(jì)算結(jié)構(gòu)阻尼矩陣和剛度矩陣;ag(t)為第i+1時(shí)段內(nèi)(ti到ti+1)輸入的波動加速度增量,{Δ¨x}、{Δ˙x}和{Δx}為第i+1時(shí)段內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)相對加速度、相對速度和相對位移的增量所組成的列向量。

    式(12)常采用數(shù)值解法,主要有線性加速度法、威爾遜θ法、中點(diǎn)加速度法、紐馬克β法和龍格-庫塔法等,其通用計(jì)算步驟如下[18]:

    1)將整個波動時(shí)段劃分為一系列的微小時(shí)段Δt,通常取(0.01 ~0.02)s;

    2)對實(shí)際波動加速度記錄,經(jīng)過零線調(diào)整等一些必要的處理后,按時(shí)段Δt進(jìn)行數(shù)值化;

    3)在每一個微小時(shí)段 Δt內(nèi),把 M、C、K及ag(t)均視為常數(shù);

    4)利用第i+1時(shí)段(ti到ti+1)的前端值{xi}、{˙xi}、{¨xi}來求該時(shí)段的末端值{xi+1}、{˙xi+1}、{¨xi+1}。循序漸進(jìn)地對每一時(shí)段重復(fù)上述步驟,即得整個時(shí)程的結(jié)構(gòu)波動反應(yīng)。

    式(12)中方程左端的加速度、速度、位移為相對數(shù)值,使用式(12)算出來的結(jié)果也應(yīng)該是相對值。這種方法存在的缺陷是,采用統(tǒng)一的加速度輸入不能考慮波動傳播的時(shí)間效應(yīng);計(jì)算出的結(jié)果是相對值,還需要和輸入值進(jìn)行疊加換算后得到絕對值。但該方法計(jì)算簡便,在當(dāng)前的地下結(jié)構(gòu)地震分析中被大量地采用。

    圖4為振動法計(jì)算示意,其中計(jì)算模型底部設(shè)置成固定約束以反映底層基巖較堅(jiān)硬的性質(zhì)(具體對比中發(fā)現(xiàn)此種邊界條件較合理,此處不再詳述),這是對通常振動法中采用3側(cè)黏彈性邊界條件的一種修正。加速度場可由現(xiàn)場實(shí)測或人工合成得到。

    圖4 振動法計(jì)算示意Fig.4 Calculation of vibration method

    2 計(jì)算結(jié)果對比

    波動法和振動法的計(jì)算原理和使用方法有所區(qū)別,筆者采用這兩種方法針對人工地震波(圖1)進(jìn)行了計(jì)算,并對兩者的位移和應(yīng)力計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對比分析。

    具體的計(jì)算參數(shù)為[15]:地層的剪切模量 G=5.292 MPa,彈性模量 E=13.23 MPa,泊松比 ν=0.25,密度為 ρ=2.7 kg/m3,計(jì)算模型 381 m ×762 m的長方形,采用有限元軟件ANSYS進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算模型如圖5。

    圖5 有限元計(jì)算模型Fig.5 The finite element calculation model

    計(jì)算中輸入波動采用周期性的人工地震波,其振幅為1 m,周期為0.5 s(圖1)。

    對計(jì)算模型中計(jì)算點(diǎn)B(頂面以下57.15 m)處的計(jì)算結(jié)果對比分析如圖6。

    圖6 波動法與振動法計(jì)算結(jié)果對比Fig.6 Contrast of calculation results of wave and vibration method

    2.1 豎向位移對比

    由圖6(a)可以看出:①波動(數(shù)值)法的計(jì)算結(jié)果和波動(解析)法基本一致,鑒于波動(數(shù)值)法便于實(shí)現(xiàn),可直接運(yùn)用波動(數(shù)值)法來代表波動法;②波動法所得的y方向位移值和振動法相比相差不大,變化規(guī)律基本相同;③波動法所得的y方向位移值和振動法相比在時(shí)間上有所滯后,說明兩種方法所反映的時(shí)間效應(yīng)不同;④當(dāng)時(shí)間t較大時(shí)(波動從底面兩次向上反射傳播到計(jì)算點(diǎn)以后),振動法的計(jì)算結(jié)果明顯增大,這是因?yàn)檎駝臃ú捎玫氖枪潭ǖ走吔缍皇遣捎镁哂形üδ艿酿椥赃吔纭?/p>

    2.2 豎向應(yīng)力對比

    由圖6(b)可以看出:①由波動法和振動法計(jì)算所得的豎向應(yīng)力的數(shù)值和變化規(guī)律基本相同;②兩者的計(jì)算結(jié)果在時(shí)間上稍有差別,當(dāng)t較大時(shí)兩者出現(xiàn)較大差異,這是由于兩者的底部邊界條件有所不同造成的;③波動法的計(jì)算結(jié)果隨時(shí)間衰減稍快,這主要是因?yàn)椴▌臃ㄖ性O(shè)置的底部黏彈性邊界具有吸波效應(yīng)。

    2.3 最大主應(yīng)力對比

    由圖6(c)可以看出:①由波動法和振動法計(jì)算所得的最大主應(yīng)力的數(shù)值和變化規(guī)律基本相同;②波動法和振動法計(jì)算所得的最大主應(yīng)力的極值時(shí)刻基本相同;③波動法的計(jì)算結(jié)果隨時(shí)間衰減稍快。

    3 結(jié)論

    將振動法和波動法這兩種常用的動力分析方法分別針人工地震波進(jìn)行了對比計(jì)算分析,得到如下結(jié)論:

    1)采用波動法和振動法進(jìn)行動力分析所得的計(jì)算結(jié)果基本一致,振動法可以滿足精度要求。

    2)波動法采用3側(cè)黏彈性邊界,而使用振動法時(shí)一般要在計(jì)算模型底部采用固定邊界,兩者一般取不同的邊界條件。

    3)振動法和波動法所得的位移和應(yīng)力計(jì)算結(jié)果數(shù)值和變化規(guī)律基本一致。

    4)波動法反映了動力計(jì)算的實(shí)質(zhì),可以體現(xiàn)出波的傳播時(shí)間效應(yīng),但是計(jì)算較為繁瑣,振動法不能反映波動的時(shí)間效應(yīng),但是計(jì)算簡便,計(jì)算結(jié)果與波動法基本一致,實(shí)用性較強(qiáng)。建議在地下結(jié)構(gòu)動力分析中使用振動法。

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    [18]陳伯望,孟茁超.結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析方法的對比研究[J].湖南城市學(xué)院學(xué)報(bào),2003,24(6):6-9.

    Chen Bowang,Meng Zhuochao.Comparative study of analytical methods of seismic reaction of structure[J].Journal of Hunan City University,2003,24(6):6-9 .

    Contrast of Wave and Vibration Methods for Underground Structure

    Gao Feng1,Sun Changxin1,2,Zhao Fengbing3
    (1.State Key Laboratory Cultivation Base for Bridge and Tunnel Engineering,Chongqing Jiaotong University,Chongqing 400074,China;2.North China University of Water Resources and Electric Power,Zhengzhou 450011,Henan,China;3.Chongqing Energy College,Chongqing 400041,China)

    Calculation theories and methods are introduced respectively in this paper;artificial seismic wave was calculated by wave method and vibration method respectively and the difference of these two methods has been analyzed.The analytical results indicate that:the calculating values and changing rules of wave method and vibration method are almost accordant;the wave method can reflect the time effects for the transition of wave while the vibration method cannot;the vibration method has the following advantages:its calculating steps are simple;its calculating precision can meet the needs.Therefore,vibration method is suggested to be used for the dynamical analysis of underground structure.

    wave method;vibration method;calculation theories;seismic wave;artificial boundary condition

    U451

    A

    1674-0696(2012)04-0764-05

    10.3969/j.issn.1674-0696.2012.04.07

    2011-11-16;

    2012-01-15

    國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51178490);中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司科研項(xiàng)目(科2009-31);重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(KJ090403);華北水利水電學(xué)院2009年度青年科研基金項(xiàng)目(HSQJ2009013);山區(qū)橋梁與隧道工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目(CQSLBFY12-2);重慶交通大學(xué)(橋梁)結(jié)構(gòu)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目(CQSLBF-Y10-8)

    高 峰(1964—),男,浙江云和人,教授,博士生導(dǎo)師,博士,主要從事地下結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與施工方面的教學(xué)研究工作。E-mail:gaofeng1964@163.com。

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