橋梁抗震分析中橋墩M-φ曲線的求解

劉喜平徐長(zhǎng)玉

(1:陜西理工學(xué)院土建學(xué)院，漢中723001;2:西安鐵路局延安機(jī)務(wù)段，延安716000)

橋梁是交通運(yùn)輸系統(tǒng)的樞紐工程.地震中，橋梁的破壞將導(dǎo)致交通中斷，不僅影響人們的正常生活，而且將影響震后的救災(zāi)工作.我國(guó)是一個(gè)多地震國(guó)家，橋梁的抗震分析越來(lái)越引起人們的重視.鋼筋混凝土橋墩M-φ曲線的繪制是橋梁抗震分析的一個(gè)重要步驟，該曲線的精確性直接影響橋梁抗震設(shè)計(jì)的可靠性，但因鋼筋混凝土材料本身性能的復(fù)雜，很難得到精確的M-φ曲線.以往M-φ曲線得出主要靠加載試驗(yàn)而來(lái)，這在橋梁設(shè)計(jì)中既不經(jīng)濟(jì)也不現(xiàn)實(shí).本文試圖采用力學(xué)和數(shù)學(xué)手段，通過(guò)編制程序來(lái)確定鋼筋混凝土橋墩的M-φ曲線.

1 基本理論與計(jì)算方法

在橋梁結(jié)構(gòu)的彈塑性分析中，為了較精確地模擬橋墩進(jìn)入彈塑性階段后內(nèi)力和變形之間的關(guān)系，對(duì)橋墩選用平面梁?jiǎn)卧獊?lái)模擬.梁?jiǎn)卧獙儆跅U系模型，而M-φ曲線是桿系模型中常用的恢復(fù)力模型，其中，Clough雙線型、Takeda剛度退化三線型及Park模型是較為有名的代表模型.在求解結(jié)構(gòu)桿單元的非線性剛度變化的分析中，又可以分為比較簡(jiǎn)單的“簡(jiǎn)化剛度法”和比較復(fù)雜的“實(shí)際剛度法”.“簡(jiǎn)化剛度法”是指對(duì)每根桿件的剛度都給以一定的模式，如圖1所示.當(dāng)桿端塑性鉸出現(xiàn)以前，桿件的截面剛度為常數(shù)，當(dāng)彎矩到達(dá)屈服彎矩My時(shí)，剛度立即進(jìn)入另一常數(shù).從可操作角度出發(fā)，本文采用“簡(jiǎn)化剛度法”對(duì)M-φ關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)化，并忽略下降段，這樣結(jié)構(gòu)分析將大大簡(jiǎn)化.計(jì)算中采用考慮了結(jié)構(gòu)本構(gòu)關(guān)系的強(qiáng)化段的雙分量模型.所謂雙分量模型［1－2］，就是假定每一根桿件由兩個(gè)平行的假想桿組成:一根理想彈塑性桿和一根彈性桿，如圖2所示.(a)圖相當(dāng)于(b)圖和(c)圖的疊加.圖2中，桿件的剛度k是彈性分量剛度k1和彈塑性分量剛度k2疊加而成，即k=k1+k2.式中，k1=pk，k2=qk，且p+q=1.

圖1 彎矩－曲率簡(jiǎn)化模型

圖2 剛度雙分量模型

對(duì)于一根配筋已知的構(gòu)件，若已知My和Mu，根據(jù)彎矩-曲率簡(jiǎn)化模型，可按下式確定彈性剛度系數(shù)p與理想彈塑性剛度系數(shù)q.

式中，My，Mu分別為截面屈服彎矩和極限彎矩;φy，φu為相應(yīng)的截面曲率.

2 計(jì)算假定及鋼筋混凝土的本構(gòu)關(guān)系

2.1 平截面假定

根據(jù)試驗(yàn)可知，截面平均應(yīng)變值從加載開(kāi)始直到破壞，都能較好的符合平截面假定，所以研究中假定構(gòu)件正截面變形后仍保持平面，截面應(yīng)變?yōu)橹本€分布，不考慮鋼筋與混凝土之間的相對(duì)滑移.

2.2 鋼筋的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果及鋼筋混凝土構(gòu)件受力性態(tài)，計(jì)算中受拉或受壓鋼筋的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系分為彈性段、屈服平臺(tái)和強(qiáng)化段3段.當(dāng)鋼筋混凝土構(gòu)件形成塑性鉸后，受拉鋼筋即使越過(guò)屈服平臺(tái)進(jìn)入強(qiáng)化段，也只能達(dá)到不大的范圍，從而強(qiáng)化段可以簡(jiǎn)化為直線，坡度即彈性模量E'=tgα'，按Y.Higashibata提出的E'=0.01E取用，如圖3所示.

圖3 鋼筋應(yīng)力－應(yīng)變曲線

圖4 混凝土應(yīng)力－應(yīng)變曲線

2.3 混凝土非線性應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

混凝土受壓區(qū)應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系曲線采用Hognestad關(guān)系式，如圖4中曲線oab，下降段為線性.其中，σ0，ε0為最大的應(yīng)力及相應(yīng)的應(yīng)變值;εu為混凝土的極限壓應(yīng)變值.一般取ε0為0.002∶0.002 5，εu為0.003 3.相應(yīng)的曲線方程為:

受拉區(qū)混凝土的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系如圖4中曲線ocd，相應(yīng)的曲線方程為:

3 計(jì)算原理分析

圖5所示為矩形截面鋼筋混凝土構(gòu)件，在正截面受力作用下的截面的應(yīng)變、應(yīng)力分布.為方便數(shù)值計(jì)算，將混凝土截面分成有限條帶，并假定每一條帶上的應(yīng)力均勻分布.分析中，混凝土和鋼筋的應(yīng)力均以壓力為負(fù)，拉力為正［3］.

圖5 矩形截面梁應(yīng)力－應(yīng)變

在條帶劃分時(shí)，為了能使計(jì)算模型中截面上的應(yīng)力分布接近實(shí)際情況，一般采用多條帶劃分.根據(jù)平截面假定可得截面曲率為:

式中，εc'為截面受壓區(qū)邊緣混凝土應(yīng)變;εs為受拉鋼筋應(yīng)變;h0為截面有效高度;φ為截面曲率.截面上任意一條條帶的應(yīng)變?yōu)棣與，i

式中，yi為任意一條帶的高度中心距截面受壓區(qū)邊緣的距離.

按已知的混凝土和鋼筋的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系，可得截面上任一條帶的混凝土和鋼筋的應(yīng)力σc，i，σs'及σs，則每一條帶上作用的力為:

每一條帶混凝土及鋼筋對(duì)截面形心的力矩為:

根據(jù)力的平衡條件可以得到:

若有軸向力作用在截面中心軸處時(shí)，上式應(yīng)為:

根據(jù)力矩平衡條件有:

4 M-φ的數(shù)值計(jì)算與程序?qū)崿F(xiàn)

M-φ求解，主要是求得彎矩和曲率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此首先從彎矩或曲率兩者之間選定一個(gè)量作為已知，來(lái)確定另一個(gè)量.由于實(shí)際的M-φ曲線存在著下降段，某些區(qū)段的彎矩值對(duì)應(yīng)兩個(gè)曲率，為了方便起見(jiàn)，可先假定曲率φ為已知，然后求相應(yīng)的內(nèi)力，具體求解步驟如下［4－5］:

(1)令曲率φ=φ+Δφ;

(2)假定梁截面受壓區(qū)邊緣的混凝土應(yīng)變?chǔ)與';

(3)求各混凝土條帶和鋼筋的應(yīng)變;

(4)按圖3，4所示的鋼筋和混凝土的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系求出應(yīng)變及相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值;

(5)按式(8)求內(nèi)力總和，判別是否滿足平衡條件;

(6)若不滿足平衡條件，則需按下述的方法調(diào)整應(yīng)變值εc'，重復(fù)步驟(3)～(5);

(7)滿足平衡條件后，按式(9)求內(nèi)力彎矩，從而得出φ所對(duì)應(yīng)的彎矩M;

(8)循環(huán)步驟(1)～(7)，直至得出整個(gè)的M-φ關(guān)系.

在上述的計(jì)算中會(huì)遇到數(shù)值計(jì)算的逐次逼近的問(wèn)題［1］.以矩形截面偏心受壓為例，在軸向力N作用下第一次假定的εc'為ε1，則通過(guò)ε1求得各條帶的應(yīng)變值ε1，i及相應(yīng)的應(yīng)力σ1，i后，可求得各條帶的內(nèi)力總和N1.然而，ε1不可能一次假定就正好滿足平衡條件:N1-N=0，而需要調(diào)整ε1.

設(shè)函數(shù)

通過(guò)調(diào)整ε，使y=0，即N'(ε)=N，則ε調(diào)整到位.

式(10)的插值函數(shù)為:

式中，y1=N1-N，y2=N2-N.要使y(ε)=0，根據(jù)式(11)，有:

按上式ε3再進(jìn)行復(fù)算，看y3=N3-N→0，如果不小于某一規(guī)定值，可重復(fù)上述步驟進(jìn)行運(yùn)算，直到y(tǒng)i=N3-N接近于零.

5 實(shí)例橋墩截面M-φ曲線計(jì)算

5.1 橋墩截面參數(shù)

下面取一個(gè)橋墩的截面參數(shù)見(jiàn)表1，輸入到自編的程序中去求解橋墩截面的曲線.

表1 橋墩的截面參數(shù)

5.2 截面的M-φ曲線

根據(jù)表1中給出的橋墩截面參數(shù)，取曲率增量Δφ=0.000 05，同時(shí)將截面劃分為50等份進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到橋墩單元截面的M-φ曲線，如圖6(a)所示.

在進(jìn)行結(jié)構(gòu)彈塑性反應(yīng)分析時(shí)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將所得的實(shí)際M-φ曲線圖6(a)簡(jiǎn)化為圖2所示的簡(jiǎn)化形式.根據(jù)構(gòu)件截面大小和配鋼筋的實(shí)際情況，計(jì)算得到:

My=0.166×105kN.m，φy=0.180×10－2，Mu=0.210×105kN.m，φu=0.634×10－1

根據(jù)簡(jiǎn)化原理得橋墩截面M-φ曲線簡(jiǎn)化模型如圖6(b)所示.

圖6 M-φ曲線

6 結(jié)語(yǔ)

本文以求解橋墩彎矩－曲率曲線為目標(biāo)，用M-φ曲線簡(jiǎn)化模型中的剛度雙分量模型來(lái)替代.在考慮了混凝土的非均質(zhì)性和鋼筋的共同作用下，通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法和步驟，利用FORTRAN語(yǔ)言編制了程序，通過(guò)程序計(jì)算得出了橋墩截面的M-φ曲線.

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