矩陣K dV約束流的r矩陣

徐 英，梁鳳鳴

(1.淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽淮南 232001;2.泰山學(xué)院學(xué)報(bào)編輯部，山東泰安 271021)

1 引言

近幾十年來(lái)，著名的r矩陣?yán)碚摚?］被廣泛的應(yīng)用于研究約束孤子流中，這些約束孤子流是由孤子方程通過(guò)非線性化Lax對(duì)文獻(xiàn)［2－3］得到的有限維經(jīng)典可積Hamilton系統(tǒng).又因?yàn)樗羞@些約束孤子流都有Lax表示Lx=［U，V］，其中L和V都是李代數(shù).因此，其守恒積分可以由TrLk，k∈Z表示.由如下r矩陣關(guān)系

通過(guò)直接計(jì)算，可以得到如下對(duì)合關(guān)系

已有的r矩陣關(guān)系幾乎都是在對(duì)2×2矩陣型的Lax算子的研究中得到的［4－6］，在本文中我們考慮一個(gè)4×4矩陣型的Lax算子的r矩陣關(guān)系，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)Lax算子也滿足r矩陣關(guān)系(1)，從而有(2)，由此我們可以得到其有限維Hamilton系統(tǒng)足夠多的守恒積分在Poisson括號(hào)下兩兩對(duì)合，進(jìn)而可證明其有限維Hamilton系統(tǒng)在Liouville意義下是完全可積的.

2 矩陣KdV方程

文獻(xiàn)［7］考慮4×4譜問(wèn)題

其中

以及(3)的輔助譜問(wèn)題

其中

的Lax對(duì)非線性化.

3 有限維可積系統(tǒng)的r矩陣

文獻(xiàn)［7］考慮(3)和(4)的Lax對(duì)非線性化.

在約束

下，得到其有限維Hamilton系統(tǒng)

其中

有限維Hamilton系統(tǒng)(6)有如下Lax表示

當(dāng)且僅當(dāng)約束(5)成立，這里

在辛流形(R4N，∑2i=1dpi∧dqi)下，兩光滑函數(shù)f，g的Poisson括號(hào)定義為

記L1(λ)=L(λ)?E4，L2(μ)=E4?L(μ).這里C=A?B定義為c4(i－1)+k，4(j－1)+ι=aijbkl，A=(aij)，B= (bkl)［8］.

在Poisson括號(hào)(8)下，通過(guò)復(fù)雜冗長(zhǎng)的計(jì)算得到［8］

由此可得如下定理.

定理1 L(λ)滿足r矩陣關(guān)系

其中

這里ekl為第k行l(wèi)列元素為1，其他位置全為0的4×4矩陣.

由r矩陣關(guān)系(1)，有

Lax矩陣的特征多項(xiàng)式是

其中

設(shè)

因此，Hamilton函數(shù)與守恒積分的關(guān)系可以表示成

并且由定理1可知，L(λ)滿足r矩陣關(guān)系，所以(2)成立，從而守恒積分對(duì)合，即{Fim，F(xiàn)in}=0，i，j=1，2.

又由文獻(xiàn)［7］知守恒積分Fim(i=1，2，1≤m≤N)在R4N的稠密開(kāi)子集上是函數(shù)獨(dú)立的.因此，在辛空間中，該有限維Hamilton系統(tǒng)(6)在Liouville意義是下完全可積的.

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