金融數(shù)學(xué)專業(yè)實(shí)變函數(shù)教學(xué)方法探析

柏萌

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣東 肇慶 526061）

2008級(jí)金融數(shù)學(xué)班是肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院設(shè)置金融數(shù)學(xué)專業(yè)后招收的首屆學(xué)生，筆者于2010—2011年下半學(xué)期給他們講授實(shí)變函數(shù)這門專業(yè)課.在授課及與學(xué)生座談的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)如下幾個(gè)問題：1)多數(shù)金融數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生對(duì)自身定位不甚清楚，一些學(xué)生不喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)比較復(fù)雜深?yuàn)W的理論課有抵觸情緒；此外，由于學(xué)生數(shù)學(xué)分析的功底較為薄弱，因而對(duì)要用到許多數(shù)學(xué)分析知識(shí)的實(shí)變函數(shù)課的學(xué)習(xí)熱情不高.2)大多數(shù)實(shí)變函數(shù)的教材偏難且偏重于基礎(chǔ)知識(shí)，所需的學(xué)時(shí)多，但其中缺乏與金融數(shù)學(xué)所需的概率和測(cè)度知識(shí)的聯(lián)系，不適合金融數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí).3)從作業(yè)和考試情況看，部分學(xué)生解題能力欠缺.

金融數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的后續(xù)課程有概率論和隨機(jī)分析.從發(fā)展角度來看，不論將來就業(yè)還是繼續(xù)攻讀研究生，實(shí)變函數(shù)都是一門重要的基礎(chǔ)課，學(xué)生要從這門課中學(xué)到對(duì)自己專業(yè)發(fā)展有用的知識(shí).目前的許多實(shí)變函數(shù)教材割裂了實(shí)變函數(shù)與概率論及隨機(jī)分析的聯(lián)系.許多學(xué)生也對(duì)學(xué)習(xí)這門課的意義及重要性認(rèn)識(shí)不足，認(rèn)為要花費(fèi)很多時(shí)間和精力學(xué)習(xí)如此難學(xué)的課程不值得，有的學(xué)生甚至干脆放棄了這門課的學(xué)習(xí).此外，作為一般性本科院校，我校的生源質(zhì)量一般，學(xué)生數(shù)學(xué)分析的功底也相對(duì)薄弱.例如：在講授Lebesgue積分時(shí)，要比較Riemann積分與Lebesgue積分的關(guān)系，但許多學(xué)生頭腦中已經(jīng)對(duì)Riemann積分沒有概念.在平時(shí)學(xué)習(xí)過程中，不少學(xué)生無法按時(shí)完成作業(yè)，且許多作業(yè)存在驚人的雷同現(xiàn)象.考試時(shí)，學(xué)生則只會(huì)做平時(shí)課上講過的題目，對(duì)稍有變化的題目缺乏舉一反三的能力.

針對(duì)上述問題，筆者進(jìn)行了一些研究和反思，并通過實(shí)踐總結(jié)出幾點(diǎn)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和體會(huì).

1 應(yīng)該加強(qiáng)實(shí)變函數(shù)與概率論及隨機(jī)分析的聯(lián)系

實(shí)變函數(shù)與概率論、隨機(jī)分析這2門課的聯(lián)系非常緊密，對(duì)于金融數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言更是如此，絕不能將實(shí)變函數(shù)與概率論及隨機(jī)分析割裂開來，要將他們作為一個(gè)統(tǒng)一的整體來對(duì)待.現(xiàn)代概率論是前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Kolmogorov在20世紀(jì)30年代基于測(cè)度理論的基礎(chǔ)重新建立的，要理解概率公理化體系，就必須要理解一般空間上的抽象測(cè)度，所以在講解Lebesgue測(cè)度知識(shí)的同時(shí)要引入抽象測(cè)度.雖然理解抽象測(cè)度的定義需要用到代數(shù)中環(huán)的概念，但是由于學(xué)生此時(shí)也在學(xué)習(xí)抽象代數(shù)課程，因此他們理解起來并非很困難.另外，概率論和隨機(jī)分析中的許多概念，從實(shí)變函數(shù)的角度能理解更深層次的含義.例如：概率中的隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)測(cè)度中的可測(cè)子集；隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)可測(cè)函數(shù)；數(shù)學(xué)期望對(duì)應(yīng)可測(cè)函數(shù)對(duì)測(cè)度的積分；對(duì)于離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的理解，也都可以統(tǒng)一在可測(cè)函數(shù)這一概念之下[1－4].教師在講述實(shí)變函數(shù)課中上述概念的時(shí)候，可以適當(dāng)列舉一些概率論和隨機(jī)分析中的例子.

2 教學(xué)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)生動(dòng)形象

實(shí)變函數(shù)課程的內(nèi)容比較抽象和枯燥，筆者在教學(xué)中努力采用生動(dòng)有趣的語言與便于理解的例子，力求生動(dòng)形象、由淺入深，能吸引學(xué)生的注意力.在講授實(shí)變函數(shù)第1章中最重要的概念“基數(shù)”時(shí)，筆者首先講了一個(gè)原始人計(jì)數(shù)的故事：在人類文明的早期階段，原始人不會(huì)數(shù)數(shù)，自己家有1只羊，就在樹上畫1道線，于是樹上的線條數(shù)與他家羊的數(shù)目就對(duì)應(yīng)了.現(xiàn)在有很多東西我們無法計(jì)數(shù)，如無窮多個(gè)自然數(shù)，還有連續(xù)不斷的實(shí)數(shù)；但我們可以向原始人學(xué)習(xí)，找一些集合來與其對(duì)應(yīng)，這就是“基數(shù)”的概念.學(xué)生聽過這個(gè)故事后，對(duì)“基數(shù)”這個(gè)概念印象就比較深刻.比如：在證明“已知A＝｛a1,a2,…,an,…｝是可數(shù)集，B＝｛b｝是單元素集，且A∩B＝?，求證A∪B～A”這道習(xí)題時(shí)，需要構(gòu)造如下映射φ:A∪B→A,這個(gè)映射的構(gòu)造是實(shí)變函數(shù)中重要的解題思想，但是對(duì)于剛?cè)腴T的學(xué)生來說，理解起來相對(duì)比較困難.為了便于學(xué)生理解，筆者采用了Hilbert的生動(dòng)例子：有個(gè)旅館共有可數(shù)無窮個(gè)客房，每個(gè)客房能且只能住1位旅客.現(xiàn)在這個(gè)Hilbert旅館已經(jīng)滿員了，但是又來了1位旅客，旅館老板想到一個(gè)解決辦法.設(shè)原來的房客為a1,a2,…,an,…，新來的客人為b，安排如下：b住1號(hào)房，a1住2號(hào)房，a2住3號(hào)房，…，an住n＋1號(hào)房，于是大家就都能住下了[5].在比較Lebesgue積分與Riemann積分的優(yōu)越性時(shí)，筆者選取了Lebesgue曾用過的店員數(shù)法郎的例子[6]5.用Riemann積分的方法數(shù)錢是將所有的錢加起來；而用Lebesgue積分?jǐn)?shù)錢時(shí)，則需將錢按面值分類：所有1元面值錢的集合為E1，則1元面值錢的個(gè)數(shù)為mes(E1)；所有2元面值錢的集合為E2，則2元面值錢的個(gè)數(shù)為mes(E2)；所有5元面值錢的集合為E5，則5元面值錢的個(gè)數(shù)為mes(E5)；…總金額則為1×mes(E1)＋2×mes(E2)＋5×mes(E5)＋….當(dāng)錢的數(shù)目較少時(shí)，采用這2種方法的差別不大；但是當(dāng)這些“和”的總數(shù)為無窮時(shí)，這2種方法的區(qū)別就顯現(xiàn)出來.筆者還例舉了[0,1]上的Dirichlet函數(shù)在Riemann積分意義下不可積，而其在Lebesgue積分意義下則可積.通過列舉這些實(shí)例，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)的興趣和信心都得到了強(qiáng)化，感覺這門課的內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)生活貼近，不再覺得其抽象、枯燥和乏味.

3 正確處理定理及其證明

實(shí)變函數(shù)中的定理特別多，表述抽象且證明煩瑣冗長(zhǎng)，教師必須從學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，正確處理定理的講授與詮釋.對(duì)于一些不太重要而證明過難的定理，教師不必按部就班地講解定理及其證明，只選用經(jīng)典實(shí)例幫助學(xué)生理解即可.例如：講解“基數(shù)無最大”這個(gè)定理及其證明時(shí)，可以引用“理發(fā)師的悖論”代替定理的抽象證明過程[7].對(duì)于比較重要的定理，要讓學(xué)生深刻理解其所述內(nèi)容；掌握定理中每個(gè)條件的意義和作用，其中哪些條件不可或缺，哪些條件是可以替換的；定理是否可逆，逆命題是什么，若不可逆的話，能否舉出相應(yīng)的反例.例如：在講授Egorov定理時(shí)，教師應(yīng)舉例說明“集合測(cè)度小于無窮”這個(gè)條件不能缺少，還要舉例說明其結(jié)論不能進(jìn)行如下修改：存在可測(cè)集E0?E，滿足μ(E＼E0)＝0，使得在E0上fn(x)一致收斂到f(x)[8].在講解Lusin定理時(shí)，可將Lusin定理的逆定理作為課后作業(yè)布置給學(xué)生思考.教師在講述定理證明時(shí)，重在講解清楚證明思路，最好是將定理的證明過程分解為一個(gè)個(gè)小目標(biāo).在講述Egorov定理的證明時(shí)，可以將證明過程分成2個(gè)目標(biāo)：第1步，找到集合A，使得函數(shù)列fn(x)在集合A上一致收斂于f(x)；第2步，描述集合A，使得E＼A的測(cè)度很小[6]66.在實(shí)變函數(shù)課的教學(xué)中，教師還要特別注意定理的聯(lián)系和區(qū)別，對(duì)定理進(jìn)行分類，方便學(xué)生掌握.例如：在講完Levi定理、Fatou引理和Lebesgue控制收斂定理后，比較這3個(gè)定理的條件和結(jié)論，這樣有利于學(xué)生理解和掌握定理.

4 精心設(shè)計(jì)習(xí)題課

學(xué)生感到實(shí)變函數(shù)課難學(xué)的一個(gè)重要原因是習(xí)題難度大，大部分為需要抽象思維的證明題.如果學(xué)生不能順利解答作業(yè)習(xí)題，長(zhǎng)此下去會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的心理負(fù)擔(dān)，滋生厭學(xué)情緒，不利于他們對(duì)實(shí)變函數(shù)知識(shí)與概念的鞏固復(fù)習(xí)；因此，教師精選習(xí)題并上好習(xí)題課，對(duì)于學(xué)生掌握解決實(shí)變函數(shù)問題的典型方法、分解難點(diǎn)及增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心十分必要[9].教師在選擇習(xí)題時(shí)要注意題量和難度適中，選擇的題目要符合“雙基”原則，即選擇運(yùn)用基本方法解決基本知識(shí)點(diǎn)的問題.教師講解習(xí)題的過程中要注意調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，多采用啟發(fā)式和提問式教學(xué)，爭(zhēng)取讓學(xué)生勤動(dòng)腦、多動(dòng)手，鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，增加他們解完習(xí)題后的成就感.教師還要注意總結(jié)解題過程中所用到的知識(shí)點(diǎn)和解題技巧，及時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生；此外，教師還要注意在學(xué)生解題過程中鍛煉其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生使用準(zhǔn)確、嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言描述數(shù)學(xué)問題.總之，通過習(xí)題講解，教師既要幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，又要培養(yǎng)他們多方面的數(shù)學(xué)技能，全面提升其學(xué)習(xí)能力.

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